2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕХАНИКА. Методические указания

• Название: Методические указания
• Анкор: 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕХАНИКА.docx
• Дата: 29.05.2018
• Размер: 9.32 Mb.
• Имя файла: 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕХАНИКА.docx
• Тип: Методические указания; #19753
• страница: 5 из 15

Задача 2.Расчет вала на прочность и жесткость при кручении

2.2.1. Содержание задания
К стальному брусу круглого поперечного сечения приложены четыре крутящих момента , три из которых известны (рисунок 30.2).

Требуется:

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения равен нулю;

2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении допускаемого напряжения [] определить диаметр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до ближайшей большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;

4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса при выбранном диаметре, если допускаемый угол закручивания 1 град/м;

5) построить эпюру углов закручивания.

Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали

Числовые данные берутся из табл. 2, расчетные схемы - по номеру варианта.
Рисунок 30.2

Таблица 2

Номера вариантов	Номер схемы	a, м	b, м	с, м	М1, кНм	М2, кНм	М3, кНм	[], МПа
1	1	0,4	0,8	0,6	2,0	1,6	1,0	35
2	2	0,5	0,6	0,8	3,0	2,0	1,5	40
3	3	0,6	0,7	0,8	3,5	4,0	2,5	45
4	4	0,4	0,5	0,6	4,0	4.5	5,5	50
5	5	0,5	0,7	0,8	4,2	5,5	6,6	55
6	6	0,7	0.8	0,9	4,0	5,0	6,0	40
7	7	0,8	0,9	1,0	5,0	6,0	7,0	40
8	8	0,4	0,6	0,9	5,4	6,4	7,4	35
9	9	0,7	0,8	0,9	6,2	7,2	8,2	55
10	10	0,7	1,0	1,2	6,6	8,9	10	45
11	1	0,9	0,6	0,5	7,5	10	12	50
12	2	0,7	0,5	1,0	10	12	15	40
13	3	0,9	1,2	1,4	12	15	20	60
14	4	1,2	1,7	2,8	14	16	18	35
15	5	0,8	0,6	1,2	11	18	10	40
16	6	0,5	1,0	1,5	15	20	25	60
17	7	0,6	0,9	1,2	18	10	15	35
18	8	1,4	0,8	1,7	15	20	25	35
19	9	0,9	0,5	1,3	13	23	33	40
20	10	0,5	0,8	1,3	14	17	22	55
21	1	0,9	1,1	1,6	16	22	13	25
22	2	1,1	2,1	2,6	20	25	35	55
23	3	1,5	2,5	3,5	24	34	44	50
24	4	0,7	0,4	1,5	15	10	28	40
25	5	0,6	1,1	2.1	16	14	24	35
26	6	0,9	1,9	2,0	12	24	34	45
27	7	0,5	0,9	1,8	14	34	10	40
28	8	0,4	1,4	2,8	10	20	30	50
29	9	0,8	1,2	1,6	16	22	28	55
30	10	1,0	1,5	2,5	15	25	35	50

2.2.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач
Брус, нагруженный парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его оси, испытывает деформацию кручения. Внутренним силовым фактором в поперечном сечении бруса в этом случае является крутящий момент , величину которого определяют методом сечений.

На основании этого метода можно сформулировать правило для определения крутящего момента в сечении бруса: крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме крутящих моментов, расположенных по одну сторону от этого сечения; при этом крутящий момент, приложенный к брусу, считается условно положительным, если при взгляде вдоль оси бруса с левого конца мы видим его направленным по ходу часовой стрелки.

Размеры и форма поперечного сечения бруса в расчетах на кручение учитываются двумя геометрическими характеристиками: полярным моментом инерции и полярным моментом сопротивления . Для круглого сечения они вычисляются по следующим формулам:

где d - диаметр сечения.

Крутящий момент вызывает в сечениях касательные напряжения , вычисляемых по формуле

,
где - крутящий момент в сечении бруса;

- полярный момент инерции сечения;

- расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой определяются напряжения.

Условие прочности записывается в виде


где - максимальная по модулю величина крутящего момента, определяемого по эпюре ;

- полярный момент сопротивления;

[] - допускаемое касательное напряжение.

Деформация при кручении характеризуется углом закручивания (рад):


где l-длина бруса;
G - модуль сдвига (модуль упругости второго рода).


Угол закручивания на единице длины бруса называется относительным углом закручивания и вычисляется по формуле
.
Условие жесткости накладывает ограничение на величину относительного угла закручивания:

,

где [] - допускаемый угол закручивания.

Условие жесткости имеет вид
.


Рисунок 31.2. Брус, работающий на кручение:
а - расчетная схема;
б - эпюра крутящих моментов;
в - эпюра углов закручивания
2.2.3. Пример решения задачи
Для заданного бруса круглого сечения (рисунок 31.2,а) определить величину момента X, при котором угол поворота свободного конца бруса равен нулю, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания, подобрать диаметр сечения по условию прочности и произвести проверку бруса на жесткость.

Числовые данные к задаче: а =0,8 м; в=1,0 м; с=0,4 м; M₁=2 кН м; M₂=0,9кНм; []=40 МПа; G=810⁴ МПа.

1.Определение величины неизвестного крутящего момента Х.

Брус жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В сечениях В, С, и D приложены известные крутящие моменты. Для определения неизвестного момента Х используем условие равенства нулю угла поворота сечения Е.

Угол поворота сечения Е относительно сечения А определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:

Крутящие моменты определяются по приведенному выше правилу.

Вычисления начинаем с незакрепленного конца:
.
Подставляя значения a, b, c(рисунок 31.2,а) и решая это уравнение, получаем Х = 0,34 кНм.

Если значение Х получится со знаком минус, направление крутящего момента задано неправильно. В данном примере X положителен, следовательно, направление крутящего момента, показанное на рисунке 31.2,а, правильно.

2. Построение эпюры крутящих моментов.

Подставляя найденное значение Х=0,34кНм, вычисляем величину крутящего момента на каждом участке:

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов. Для этого рассматриваем последовательно участки ЕD, DC, CB и CA. Крутящие моменты, действующие на этих участках, уже вычислены.

Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от положения сечения в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпюра крутящих моментов ограничена отрезками прямых (рисунок 31.2,б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует максимальный (по модулю) крутящий момент.

Опасными будут сечения в пределах участка АВ; расчетное значение крутящего момента

3. Подбор диаметра поперечного сечения бруса.

Условие прочности

.

Учитывая, что , выразим диаметр из условия прочности


Подставляя 1,56 кНм и , вычисляем диаметр поперечного сечения, округляя его до стандартной величины:

4. Проверка условия жесткости.

Условие жесткости записываем в форме:

.

По условию задачи []= 1 град/м. Переводя значение угла из градусной меры в радианную, получаем

Вычисляем выражение, стоящее в левой части условия жесткости, определив предварительно величину полярного момента инерции бруса:

Сравнение левой и правой частей условия жесткости показывает, что оно выполняется:

5. Построение эпюры углов закручивания.

Вычисляем углы закручивания по участкам:
Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соответствующих участков бруса. Суммирование углов начинаем с незакрепленного конца А:
так как сечение в заделке неподвижно;
По вычисленным углам поворота сечений построена эпюра углов закручивания (рисунок 31.2,в).

Равенство является проверкой решения, так как неизвестный крутящий момент Х определялся из условия равенства нулю угла поворота свободного конца бруса.
2.2.4. Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)
1. При каком силовом факторе возникает кручение?

2. Какие напряжения возникают в поперечных сечениях при кручении?

3. Как рассчитать максимальные напряжения при кручении?

4. Что такое полярный момент сопротивления?

5.Напишите условие прочности при кручении.

6. Какая деформация возникает при кручении?

7. Как рассчитать угол закручивания круглого вала?

8. Как определяется допускаемое касательное напряжение ?


Задача 3. Расчет балки на прочность при изгибе
3.3.1. Содержание задания
Для заданных схем балок (рисунок 32.2) требуется:

1. 
   Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
   

подобрать размеры поперечного сечения стальной балки для различных форм сечения: двутавровой балки, балки прямоугольного сечения со сторонами h и b при h/b = 2 и круглого поперечного сечения.