Лекции 2 курс СПО математика 48 часов. лекции 2 курс. Методическое пособие по дисциплине математика г. Балахна 2021г Данное методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям
![]()
|
П ![]() Найти вторую производную функции . Первая производная равна далее находим ![]() Пример 2. Найти вторую и третью производные функции Тогда Применение первой и второй производной для исследования функции Возрастание и убывание функции Пусть на отрезке [a,b] определена непрерывная функция f(x),имеющая внутри отрезка конечную производную. Тогда, для того чтобы f(x) была возрастающей (убывающей) на [a,b], достаточно выполнение условия ![]() ![]() Пример 1: Дана функция у = х3 – 3х2 Определить, возрастает или убывает функция в точках х = -1, х = 0, х = 2 Решение: Дифференцируем данную функцию ![]() При х = -1 получаем f ' (-1) = 10>0 т.е. ф-ция возрастает. При х = 0 имеем f ’(0) = 0 в этом случае функция может возрастать, убывать или иметь экстремум. При х = 2 f ‘(2)=-2< 0 т.е функция убывает Пример 2: Определить возрастает или убывает данная функция в указанных точках. У=х2 , при х = -3, х = -1, х=4 у = х3 при х = -1, х=3, х=5 Нахождение экстремума функции Первое правило: 1. Продифференцировать данную функцию 2. Найти критические точки, т.е точки, в которых либо ![]() 3. Выяснить знак производной в окрестности каждой критической точки: если слева от точки производная >0, а справа <0, то функция в этой точке имеет максимум; если слева от точки производная <0, а справа >0, то функция в этой точке имеет минимум если слева и справа от точки производная имеет один и тот же знак, то функция в этой точке не имеет экстремума Пример 3: Исследовать функцию у = х2- 3х на экстремум по первому правилу Решение: 1.у' = 2х-3 2.Решаем уравнение у' = 0 2х-3=0, х=1,5 Экстремум возможен только в этой точке, т.к. производная существует во всей области определения функции 3. Находим знак производной слева и справа от этой точки ( х= 1,5) у' ( 0) = -3 <0 у' ( 2)=1 >0 т.к. слева от х=1,5 производная отрицательна, а справа положительна, то функция имеет минимум Второе правило: 1. Продифференцировать данную функцию 2. Найти критические точки 3. Найти вторую производную в критических точках: если y’’(x0)< 0, то функция имеет в точке x0 максимум; если y’’(x0) > 0, то минимум если y’’(x0) = 0 или не существует, то в этом случае следует пользоваться первым правилом Пример 4: Исследовать функцию у = х3 + 2х2 на экстремум по второму правилу Решение: Дифференцируем данную функцию ![]() Находим критические точки, где ![]() 3х2 + 4х =0 х1 = 0 х2 = -4/3 Вычисляем вторую производную y’’ = 6x + 4 Определяем знак y’’ в точках х1 и х2 . y’’(0) = 4 > 0 - минимум y’’(-4/3) = - 4 < 0 - максимум Исследование кривых на выпуклость, вогнутость Пусть ![]() ![]() ![]() Кривая, заданная функцией ![]() ![]() Кривая называется вогнутой на интервале ![]() Точка кривой M0(x0, f(x0)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Для того, чтобы кривая ![]() ![]() ![]() Для того, чтобы кривая ![]() ![]() ![]() Исследование кривых на перегиб 1-е правило - чтобы кривая ![]() - чтобы кривая ![]() 2-е правило - чтобы кривая ![]() Пример 5. Определить направление выпуклости и точки перегиба кривой ![]() Решение - область определения - вся ось абсцисс; область непрерывности - вся ось абсцисс - находим первую производную и вычисляем вторую производную Ищем точки х из области определения функции, в которых ![]() ![]() Вторая производная равна нулю ![]() ![]() ![]() Исследуем найденные точки, определяя знак ![]() Таблица
Пример 6. Дана кривая у = ( х3 – 21 х2 )/2. Найти точки перегиба Решение: Находим первую производную у’ =1/2 (3х2 – 42х) Вычисляем вторую производную У” = 1/2 (6х -42) =3(х – 7) Вторая производная равна нулю ![]() Т.к. вторая производная существует во всей области определения функции, то перегиб может быть лишь при х = 7
Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy. Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов ![]() ![]() Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точки разрыва функции второго рода. Пример 7. Найти вертикальные асимптоты для функции ![]() Решение Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Прямая ![]() ![]() Определим числа k и b. ![]() Определим коэффициент ![]() ![]() Если хотя бы один из пределов не существует, то при ![]() Аналогично решается вопрос об асимптотах при ![]() 0>0> |