Лекции 2 курс СПО математика 48 часов. лекции 2 курс. Методическое пособие по дисциплине математика г. Балахна 2021г Данное методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям
![]()
|
Неопределенный интеграл и его свойстваФункция F(x) называется первообразной функции f (х) на интервале (а; b), если выполняется равенство ![]() Из этого определения следует, что для нахождения первообразной необходимо по заданной функции f(x ) найти функцию F(x), производная которой равна f(x). Пример: Найти первообразную функцию для функции f(x) =cosx Решение: Первообразной функции f(x) =cosxявляется функция F(x) = sin x, так как F’(x) = (sin x)’ = cos x = f(x) Первообразными будут также любые функции F(x) = sin x + C, где С – постоянная величина, так как F’(x)=(sinx +C)’ = cosx = f(x) Множество всех первообразных функций F(x) + C для функции f(х) называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом ![]() Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции Геометрически неопределенный интеграл представляет собой множество интегральных кривых y=F(x) + C, каждому числовому значению С соответствует определенная кривая. График каждой кривой называется интегральной кривой. Cвойства неопределенного интеграла: 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению ![]() 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной ![]() 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ![]() 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций ![]() Таблица основных неопределённых интегралов![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1. 1. Вычислить неопределенный интеграл ![]() ![]() Пример 2. 1. Вычислить неопределенный интеграл ![]() Пример 3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого ![]() Пример 4. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя ![]() Пример 5. ![]() Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой) Если интеграл ![]() Два правила подстановки: Независимую переменную заменяют по формуле x = t(z), где t(z) – дифференцируемая функция. Тогда dx = t'(z) dz, а интеграл ![]() ![]() Полагаем z = f(x), тогда f(x)dx = g(z)dz. Вычисление интеграла сводится к вычислению ![]() Пример 1. ![]() ![]() t = cos(x) ![]() Пример 2. Вычислить интеграл ![]() Делаем подстановку t=sin(x), тогда ![]() ![]() В результате ![]() Пример 3. ![]() ![]() Пример 4. ![]() ![]() Метод интегрирования по частям Пусть u=u(x) и v=v(x) функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = udv+ vdu. Интегрируя это равенство получим ![]() или ![]() Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Интегрирование по частям состоит в том, что подинтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей u и dv. Типы интегралов, вычисляемые по частям ( Р(х) – многочлен, к – число, u = Р(х )): dv = P(x) dx ![]() ![]() Пример 1. Найти интеграл В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм Находим дифференциал du ![]() Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрировать равенства : ![]() Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . ![]() Пример 2. Найти интеграл Обозначим: u(x) = lnx. Тогда, если обозначить «остаток» подинтегрального выражения через dv(x): dv(x) = xdx, можно применять формулу. ![]() ![]() ТЕМА 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Основные свойства и методы вычисления Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : ![]() ![]() ![]() Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x0 = a, x1 , x2 , …, xn-1 = a, xn = b на n частей [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 , xi], …, [xn-1 , xn]; символом ![]() ![]() ![]() Sn называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [a,b] Sn равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками Pi , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. Sступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. О ![]() Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм Sn при ![]() ![]() Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. К ![]() В этом определении предполагается, что b> a. Свойства определенного интеграла ![]() Если b=a, то если b<a, то ![]() ![]() ![]() 6 ![]() Интегрирование неравенств. Если в любой точке ![]() ![]() ![]() Геометрический смысл определённого интеграла ![]() ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x). Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница Е ![]() ![]() то Пример 1. применения формулы Ньютона-Лейбница: ![]() Пример 2. Вычислить определенный интеграл Решение: ![]() Пример 3. ![]() Вычислить интегралы: ![]() Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция 1.определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке 2. ф ункция ![]() Т ![]() Пример 4. ![]() ![]() Пример Вычислить определенный интеграл Пример Вычислить определенный интеграл Вычисление площадей плоских фигур Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() ![]() Рисунок 2 Решение: ![]() ![]() (0;2) – вершина
Найдём пределы интегрирования. ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Выполним чертеж (уравнение задает ось ): ![]() На отрезке график функции расположен над осью , поэтому: ![]() Ответ: Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями a) f( x ) = 2 х – х 2 и осью абсцисс Решение: График функции f(x) = 2x - х2 парабола. Вершина: (1; 1). ![]() ![]() Ответ: Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение: График функции – прямая.
Функция является обратной функции y = х 2 на промежутке [0; +∞).
![]() Пределы интегрирования указаны в таблицах значений функций. ![]() Ответ: ( кв . ед ) |