Лекции 2 курс СПО математика 48 часов. лекции 2 курс. Методическое пособие по дисциплине математика г. Балахна 2021г Данное методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям
![]()
|
Пример 8. Найти асимптоты линии ![]() Решение Функция ![]() ![]() Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() отсюда ![]() ![]() значит, b = 0. Итак, прямая y=-x есть наклонная асимптота при ![]() ![]() Общая схема исследования функции При полном исследовании функции ![]() можно придерживаться следующей схемы: 1) указать область определения функции; Если каждому элементу ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Множество ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) исследовать функцию на четность; Если для любого ![]() ![]() ![]() то функция является четной, если же выполняется равенство ![]() то функция является нечетной. В том случае, когда ![]() ![]() График четной функции симметричен относительно оси ![]() ![]() 3) найти точки пересечения графика функции с осями координат; Точки пересечения графика функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4) определить уравнения асимптот графика функции: вертикальные и наклонные; Прямая ![]() ![]() ![]() ![]() Прямая ![]() ![]() ![]() ![]() или ![]() ![]() В частности, при ![]() ![]() ![]() Полученная прямая ![]() ![]() 5) исследовать функцию на монотонность и экстремумы; Найти производную ![]() ![]() Если при переходе аргумента х через критическую точку ![]() а) ![]() ![]() б) ![]() ![]() в) ![]() ![]() В промежутках где ![]() ![]() Полученные результаты для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом: 1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки; 2. Во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах; 3. В третьей строке описывается поведение функции на каждом интервале (↑ – функция возрастает, ↓– функция убывает). 6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба; Найти производную ![]() ![]() ![]() Если на некотором интервале ![]() ![]() ![]() ![]() Результаты, так же как и в п. 5 данного алгоритма для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом: 1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки второго рода разбивают числовую ось и сами точки. 2. Во второй строке указываются знаки второй производной на этих интервалах. 3. В третьей строке описать поведение функции на каждом интервале (выпукла или вогнута). 7) произвести необходимые дополнительные исследования; Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках. По составленным таблицам нетрудно построить график функции. Для этого нужно данные таблиц перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе. 8) построить график функции. Пример 1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию ![]() Решение. 1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Найдем ![]() ![]() Так как ![]() ![]() 3) Точка пересечения с осью ![]() ![]() ![]() ![]() Точка пересечения с осью ![]() ![]() ![]() т. е. ![]() ![]() 4) Так как при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и ![]() ![]() Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения: ![]() ![]() Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой ![]() ![]() ![]() Следовательно, прямая ![]() ![]() ![]() 5) Найдем производную ![]() ![]() Для того чтобы найти критические точки, решим уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов. ![]() Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 11). Например: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как при переходе через критические точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Полученные данные занесем в таблицу: Таблица 4
6) Найдем ![]() ![]() ![]() Определим критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю: ![]() Это уравнение равносильно уравнению ![]() ![]() Производная второго порядка не существует при ![]() ![]() ![]() ![]() На числовой оси отложим все критические точки и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 12): ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При переходе через точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таблица 5
8) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба: ![]() ![]() ![]() Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: ![]() ![]() Теперь построим график функции ![]() Пример 2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию ![]() и построить ее график. Решение. 1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Так как функция определена только для положительных значений ![]() 3) Найдем точки пересечения с осью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4) Данная функция непрерывна на всей области определения. Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел: ![]() Отсюда прямая ![]() ![]() Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы: ![]() ![]() ![]() ![]() Полученная прямая ![]() ![]() 5) Найдем ![]() ![]() ![]() Производная равна нулю, когда ![]() ![]() Производная существует на всей области определения функции ![]() ![]() Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной ![]() ![]() ![]() Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то ![]() ![]() ![]() 6) Найдем ![]() ![]() ![]() Производная второго порядка равна нулю, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую ось (рис. 15). Найдем знаки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При переходе через критическую точку ![]() ![]() ![]() 7) Найдем значения функции при ![]() ![]() ![]() ![]() Для более точного построения графика вычислим значения функции ![]() ![]() По полученным в пунктах 1–7 данным строим график функции ![]() ![]() ТЕМА 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |