Лекции 2 курс СПО математика 48 часов. лекции 2 курс. Методическое пособие по дисциплине математика г. Балахна 2021г Данное методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям
Скачать 1.81 Mb.
|
Пример 8. Найти асимптоты линии . Решение Функция определена, непрерывна на бесконечном интервале поэтому вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы при и при : = = , так как (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при наклонных асимптот нет. = , так как , отсюда . Далее, значит, b = 0. Итак, прямая y=-x есть наклонная асимптота при для графика функции Общая схема исследования функции При полном исследовании функции и построении ее графика можно придерживаться следующей схемы: 1) указать область определения функции; Если каждому элементу по определенному правилу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что задана функция , где называется независимой переменной или аргументом. Множество называется областью определения функции. Поэтому, чтобы найти , нужно определить множество точек действительной оси, для которых выражение имеет смысл и определяет действительные значения переменной . 2) исследовать функцию на четность; Если для любого из области определения выполняется равенство , то функция является четной, если же выполняется равенство , то функция является нечетной. В том случае, когда и – функция не является ни четной, ни нечетной. График четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной – относительно начала координат. Таким образом, график четной функции достаточно построить лишь для , а потом, используя симметрию, достроить его на оставшейся части области определения. 3) найти точки пересечения графика функции с осями координат; Точки пересечения графика функции с осью определяются из условия , т. е. . Точка пересечения с осью определяется из условия , значит, . 4) определить уравнения асимптот графика функции: вертикальные и наклонные; Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или . Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы , или , . В частности, при получаем или . Полученная прямая является горизонтальной асимптотой графика функции . 5) исследовать функцию на монотонность и экстремумы; Найти производную и критические точки, в которых или не существует, и которые лежат внутри области определения функции. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки. Если при переходе аргумента х через критическую точку : а) меняет знак с “+” на “-”, то есть точка максимума; б) меняет знак с “-” на “+”, то есть точка минимума; в) не меняет знака, то в точке нет экстремума. В промежутках где функция возрастает, где функция убывает. Полученные результаты для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом: 1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки; 2. Во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах; 3. В третьей строке описывается поведение функции на каждом интервале (↑ – функция возрастает, ↓– функция убывает). 6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба; Найти производную и критические точки, в которых или не существует, а сама функция непрерывна. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки. Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё имеет разные знаки. Если на некотором интервале , то функция вогнута ( ); если на некотором интервале , то функция выпукла ( ). Результаты, так же как и в п. 5 данного алгоритма для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом: 1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки второго рода разбивают числовую ось и сами точки. 2. Во второй строке указываются знаки второй производной на этих интервалах. 3. В третьей строке описать поведение функции на каждом интервале (выпукла или вогнута). 7) произвести необходимые дополнительные исследования; Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках. По составленным таблицам нетрудно построить график функции. Для этого нужно данные таблиц перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе. 8) построить график функции. Пример 1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график. Решение. 1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть . Отсюда , , . Итак, область определения: . 2) Найдем : . Так как , то функция является нечетной, и её график симметричен относительно начала координат. 3) Точка пересечения с осью определяется равенством , т. е. , . Точка пересечения с осью определяется равенством : , т. е. . Итак, график функции имеет единственную точку пересечения с осями координат – начало координат . 4) Так как при и не выполняется условие непрерывности функции в точке, то эти точки являются точками разрыва функции . Причем эти точки являются точками разрыва второго рода, так как , и , . Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения: и . Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой : , . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при и . 5) Найдем производную : . Для того чтобы найти критические точки, решим уравнение: и выясним, в каких точках не существует . Уравнение равносильно уравнению или . Отсюда находим стационарные точки: , , . Производная не существует в том случае, когда знаменатель , т. е. при , . Таким образом, получили пять критических точек: , , , , . Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов. Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 11). Например: ; ; ; ; ; . Так как при переходе через критические точки производная меняет знак, то эти точки являются точками экстремума функции. В частности, при достигается минимум функции, а при – максимум. Кроме того, на интервалах и функция возрастает, а на интервалах , и – убывает. Полученные данные занесем в таблицу: Таблица 4
6) Найдем : Определим критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю: . Это уравнение равносильно уравнению , откуда . Производная второго порядка не существует при . В итоге получили три критические точки: , , . На числовой оси отложим все критические точки и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 12): , , , . При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, – точка перегиба графика функции. На интервалах и график функции является выпуклым, а на интервалах и – вогнутым. Составим таблицу исследования на выпуклость и вогнутость. Таблица 5
8) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба: , , . Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: , . Теперь построим график функции Пример 2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график. Решение. 1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций и , получаем область определения функции: : . 2) Так как функция определена только для положительных значений , то она не является ни четной ни нечетной. 3) Найдем точки пересечения с осью : или , т. е. , откуда . Точки пересечения с осью не существует, так как никогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке – . 4) Данная функция непрерывна на всей области определения. Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел: . Отсюда прямая (ось ) является вертикальной асимптотой к графику функции. Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы: , . Полученная прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика функции 5) Найдем : . Производная равна нулю, когда , то есть при . Производная существует на всей области определения функции . Следовательно, существует только одна критическая точка. Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной на всех интервалах (рис. 14): , . Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то – точка экстремума функции (точка максимума). На интервале функция возрастает, а на – убывает. 6) Найдем : . Производная второго порядка равна нулю, если или , . Отсюда получаем: , . Так как не входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода. Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую ось (рис. 15). Найдем знаки на всех полученных интервалах: , . При переходе через критическую точку производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервале график является выпуклым, а на – вогнутым. 7) Найдем значения функции при и : , . Для более точного построения графика вычислим значения функции в дополнительной точке: . По полученным в пунктах 1–7 данным строим график функции ТЕМА 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |