Главная страница
Навигация по странице:

  • Общая схема исследования функции

  • 1) указать область определения

  • 2) исследовать функцию на четность

  • 3) найти точки пересечения

  • 4) определить уравнения асимптот

  • 5) исследовать функцию на монотонность

  • 6) определить интервалы выпуклости

  • 7) произвести необходимые дополнительные

  • ТЕМА 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

  • Лекции 2 курс СПО математика 48 часов. лекции 2 курс. Методическое пособие по дисциплине математика г. Балахна 2021г Данное методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям


    Скачать 1.81 Mb.
    НазваниеМетодическое пособие по дисциплине математика г. Балахна 2021г Данное методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям
    АнкорЛекции 2 курс СПО математика 48 часов
    Дата11.02.2022
    Размер1.81 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлалекции 2 курс.doc
    ТипМетодическое пособие
    #358225
    страница4 из 8
    1   2   3   4   5   6   7   8

    Пример 8. Найти асимптоты линии .

    Решение

    Функция определена, непрерывна на бесконечном интервале поэтому вертикальных асимптот нет.

    Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы при и при :

    = = ,

    так как (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при наклонных асимптот нет.

    = , так как ,

    отсюда . Далее,

    значит, b = 0.

    Итак, прямая y=-x есть наклонная асимптота при для графика функции

    Общая схема исследования функции

     При полном исследовании функции и построении ее графика
    можно придерживаться следующей схемы:

    1) указать область определения функции;

    Если каждому элементу по определенному правилу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что задана функция , где называется независимой переменной или аргументом.

    Множество называется областью определения функции. Поэтому, чтобы найти , нужно определить множество точек действительной оси, для которых выражение имеет смысл и определяет действительные значения переменной .

    2) исследовать функцию на четность;

    Если для любого из области определения выполняется равенство ,

    то функция является четной, если же выполняется равенство ,

    то функция является нечетной.

    В том случае, когда и – функция не является ни четной, ни нечетной.

    График четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной – относительно начала координат. Таким образом, график четной функции достаточно построить лишь для , а потом, используя симметрию, достроить его на оставшейся части области определения.

    3) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

    Точки пересечения графика функции с осью определяются из условия , т. е. . Точка пересечения с осью определяется из условия , значит, .

    4) определить уравнения асимптот графика функции: вертикальные и наклонные;

    Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если

    , или .

    Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

    ,

    или

    , .

    В частности, при получаем или .

    Полученная прямая является горизонтальной асимптотой графика функции .

    5) исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

    Найти производную и критические точки, в которых или не существует, и которые лежат внутри области определения функции. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки.

    Если при переходе аргумента х через критическую точку :

    а) меняет знак с “+” на “-”, то есть точка максимума;

    б) меняет знак с “-” на “+”, то есть точка минимума;

    в) не меняет знака, то в точке нет экстремума.

    В промежутках где функция возрастает, где функция убывает.

    Полученные результаты для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:

    1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки;

    2. Во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах;

    3. В третьей строке описывается поведение функции на каждом интервале (↑ – функция возрастает, ↓– функция убывает).
    6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

    Найти производную и критические точки, в которых или не существует, а сама функция непрерывна. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки. Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё имеет разные знаки.

    Если на некотором интервале , то функция вогнута ( ); если на некотором интервале , то функция выпукла ( ).

    Результаты, так же как и в п. 5 данного алгоритма для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:

    1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки второго рода разбивают числовую ось и сами точки.

    2. Во второй строке указываются знаки второй производной на этих интервалах.

    3. В третьей строке описать поведение функции на каждом интервале (выпукла или вогнута).

    7) произвести необходимые дополнительные исследования;

    Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках.

    По составленным таблицам нетрудно построить график функции. Для этого нужно данные таблиц перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе.

    8) построить график функции.

    Пример 1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.
    Решение.

    1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть . Отсюда , , . Итак, область определения: .

    2) Найдем :

    .

    Так как , то функция является нечетной, и её график симметричен относительно начала координат.

    3) Точка пересечения с осью определяется равенством , т. е.

    , .

    Точка пересечения с осью определяется равенством :

    ,

    т. е. . Итак, график функции имеет единственную точку пересечения с осями координат – начало координат .

    4) Так как при и не выполняется условие непрерывности функции в точке, то эти точки являются точками разрыва функции . Причем эти точки являются точками разрыва второго рода, так как

    ,

    и , .

    Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения: и .

    Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой :

    ,

    .

    Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при и .

    5) Найдем производную :

    .

    Для того чтобы найти критические точки, решим уравнение: и выясним, в каких точках не существует . Уравнение равносильно уравнению или . Отсюда находим стационарные точки: , , . Производная не существует в том случае, когда знаменатель , т. е. при , . Таким образом, получили пять критических точек: , , , , .

    Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов.



    Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 11).

     

    Например: ; ;

    ; ; ; .

    Так как при переходе через критические точки производная меняет знак, то эти точки являются точками экстремума функции. В частности, при достигается минимум функции, а при – максимум. Кроме того, на интервалах и функция возрастает, а на интервалах , и – убывает.

    Полученные данные занесем в таблицу:

    Таблица 4

    x

























    +

    0

    -



    -

    0

    -



    -

    0

    +





    -2,6







    0







    2,6



    6) Найдем :



    Определим критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю:

    .

    Это уравнение равносильно уравнению , откуда .

    Производная второго порядка не существует при . В итоге получили три критические точки: , , .

    На числовой оси отложим все критические точки и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 12):

    ,

    ,

    , .

     При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, – точка перегиба графика функции. На интервалах и график функции является выпуклым, а на интервалах и – вогнутым. Составим таблицу исследования на выпуклость и вогнутость.
    Таблица 5

    х



    -1



    0



    1





    -



    +

    0

    -



    +



    выпуклый



    вогнутый

    0

    выпуклый



    вогнутый

     

    8) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба:

    , , .

    Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: , .

    Теперь построим график функции



    Пример 2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

    и построить ее график.

    Решение.

    1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций и , получаем область определения функции: : .

    2) Так как функция определена только для положительных значений , то она не является ни четной ни нечетной.

    3) Найдем точки пересечения с осью : или , т. е. , откуда . Точки пересечения с осью не существует, так как никогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке – .

    4) Данная функция непрерывна на всей области определения.

    Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел:

    .

    Отсюда прямая (ось ) является вертикальной асимптотой к графику функции.

    Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы:

    ,

    .

    Полученная прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика функции

    5) Найдем :

    .

    Производная равна нулю, когда , то есть при .

    Производная существует на всей области определения функции . Следовательно, существует только одна критическая точка.



    Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной на всех интервалах (рис. 14):

    , .

    Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то – точка экстремума функции (точка максимума). На интервале функция возрастает, а на – убывает.

    6) Найдем :

    .

    Производная второго порядка равна нулю, если или , . Отсюда получаем: , . Так как не входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода.

    Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую ось (рис. 15). Найдем знаки на всех полученных интервалах:


    , .

    При переходе через критическую точку производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервале график является выпуклым, а на – вогнутым.

    7) Найдем значения функции при и :

    , .

    Для более точного построения графика вычислим значения функции в дополнительной точке: .

    По полученным в пунктах 1–7 данным строим график функции  



     

     


    ТЕМА 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

    1   2   3   4   5   6   7   8


    написать администратору сайта