Методологические основы моделирования
 Скачать 2.94 Mb.
|
|
Лекция 18 продолжение. Основные характеристики случайных процессов, определяемые из эквивалентной функции сети Известно, что под устойчивостью системы связи понимается ее способность поддерживать требуемое качество связи в условиях воздействия на нее всех видов физического деструктивного воздействия и помех. Для определения показателя устойчивости системы связи или ее элемента необходимо, по меньшей мере, знать среднее время исправной работы и простоя. Под исправным действием системы связи подразумевается обеспечение своевременной, достоверной и безопасной передачи управляющейинформации. Знание указанных значений времени позволит вычислить показатель устойчивости как коэффициенты исправного действия или простоя, к значению которых и предъявляются требования в руководящих документах по организации связи. В свою очередь, использование метода ТПСС обеспечивает вычисление вероятностно - временных характеристик процесса связи, и не позволяет на первый взгляд определить параметры устойчивости. Однако, стохастическая сеть представляет в модели именно анализируемый процесс связи, а значит соответствующая сети эквивалентная функция должна обеспечивать возможность определения основных характеристик этого процесса. С целью определения основных характеристик исследуемого процесса положим, что на основании описательной модели удалось построить стохастическую сеть процесса передачи сообщений по системе связи, а методом ТПСС получить ее эквивалентную функцию и докажем следующие теоремы.
Теорема 1. Если стохастическая сеть имеет голоморфную дробно-рациональную эквивалентную функцию Qэ(s) = f(s)/φ(s), то анализируемый случайный процесс является стационарным со спектральной плотностью, определяемой по формуле  ,где si – простые полюса эквивалентной функции. Доказательство. Так как Qэ(s)по условию являетсяголоморфной, то она может быть разложена в ряд, коэффициентами которого являются ее вычеты в полюсах si:  , (30)где φ’(si) – значения производной знаменателя Qэ(s) в полюсах si. Оригиналом (30) является функция плотности вероятности времени свершения анализируемого процесса  . (31)Отсюда, математическое ожидание времени свершения случайного процесса равно  , (32)а дисперсия  . (33)Из (32) и (33) видно, что ни математическое ожидание, ни дисперсия не являются функциями времени. Следовательно, анализируемый случайный процесс является стационарным. Используя взаимосвязь преобразования Лапласа с преобразованием Фурье, произведем в (30) замену параметра преобразования s на jω. В результате получим  .Так как из (30), по определению, следует, что si<0, то спектральная плотность анализируемого случайного процесса равна:  .Теорема доказана. Теорема 2. Закон распределения времени свершения процесса, моделирование которого приводит к неограниченному укрупнению стохастической сети сходится к нормальному, а сам моделируемый процесс является гауссовским. Доказательство. Как было показано выше, эквивалентная функция укрупненной стохастической сети произвольной структуры имеет вид  . (34)В соответствии с определением, укрупнение сети означает, что эквивалентная функция fj(s)каждой частной j-й ветви также определяется  , (35)где vj(s) – эквивалентная функция j-й ветви, соответствующей элементарному (неделимому) процессу. Подставляя (35) в (34) и обозначив  ,получим:  . (36)Понятно, что правая часть (36) может быть представлена в виде произведения (M + k) дробей, каждая из которых является изображением по Лапласу qi(s) функции плотности вероятностей времени свершения i –го, i = 1,(M+k), случайного процесса, т.е.  . (37)Неограниченное укрупнение сети приводит (37) к виду  . (38)Исходя из свойств преобразований Лапласа, (38) в пространстве оригиналов означает интегральную свертку (M + k) функций qi(t)=L{qi(s)} и соответствует сумме (M + k) независимых случайных времен tiс различными законами распределения. В соответствии с предельной теоремой Ляпунова закон распределения суммы большого числа независимых случайных величин сколь угодно близок к нормальному. Следовательно и оригинал qэ(t) = L-1{Qэ(s)} является плотностью нормального распределения, а моделируемый случайный процесс, реализация которого задается случайными временами его свершения является гауссовым. Теорема доказана.
Из первой теоремы нам известно, что спектральная плотность моделируемого процесса определяется как   . (39)Следовательно, на основании теоремы Винера-Хинчина мы можем определить корреляционную функцию моделируемого процесса по формуле  . (40)Для приближенного вычисления значений функции корреляции воспользуемся неравенством Буняковского – Шварца [4, 8]  .Тогда  (41) Интервал корреляции, определяемый как половина ширины основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого равна площади под кривой модуля коэффициента корреляции, вычисляется по формуле [8]  (42)Отметим, что более точные значения функции и интервала корреляции могут быть получены численными методами, [19]. Знание функции корреляции тем более полезно, что позволяет вычислить значение дисперсии показателя эффективности  (43)и определить интервал времени  , (44)через который значения этого показателя могут считаться практически независимыми. В нашем случае, таким показателем является вероятность успешной передачи сообщений за время не более заданного. Следовательно:
На основании теоремы 2 можно определить и одномерную плотность распределения моделируемого процесса  , (45)где x – наблюдаемые случайные значения частости (вероятности) успешной передачи сообщений за время не более заданного. В том случае, когда наблюдаемым (контролируемым) параметром является время успешной передачи, математическое ожидание и дисперсия определяются по фф(27,28), а значения коэффициента и интервала корреляции остаются прежними. Это объясняется однозначной взаимозависимостью значений вероятности и времени успешной передачи сообщений, определяемых из функции распределения времени передачи. Заметим, что если параметры эквивалентной функции изменяются в течение времени функционирования, что может иметь место при моделировании процессов передачи информации в условиях радиоэлектронного противодействия противника, стационарность исследуемого процесса может быть нарушена. Однако знание интервала корреляции позволит определять промежутки времени, в течение которых процесс можно считать стационарным. С целью определения характеристик случайной величины интервалов времени, в течение которых процесс доведения сообщений X(t) соответствует предъявляемым требованиям, рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть в течение периода наблюдения статистические вероятности своевременной передачи сообщений в k-е моменты времени k принимали значения Pkи являются дискретными значениями реализации случайного процесса X(t), имеющего математическое ожидание M[X(t)] и дисперсию D[X(t)], вычисляемыми по ф.(27) и ф.(43) соответственно. Определить среднюю длительность M[] и дисперсию D[] интервала времени , в течение которого система связи будет соответствовать требованиям по вероятности передачи сообщений за время не более заданного. Для решения этой задачи будем использовать методы теории выбросов. Предварительно заметим, что в силу теоремы 2 процесс X(t) является гауссовским. В общем случае, вероятность того, что в момент времени i-я реализация случайного процесса Xi() не пересечёт нижнего()или верхнего () барьеров равна:  (46)а математическое ожидание длительности пребывания в области G{, ()Xi(),  , (46.а)где - оцениваемый интервал времени. После подстановки (45) в (46) и (46.а) с учётом того, что задана только нижняя грань, то есть Pз= const получим:  (47) (48)где:ui = Pз– XI()]x , x = x = const.  - интеграл ошибок [18]. Для вычисления дисперсииD[] необходимо задаться двухмерной плотностью распределения вероятностей для процессаX(), то есть:  ,здесь: X1i(, X2i(и x(1), x(2) - соответственно математическое ожидание и дисперсия значений обобщённого показателя качества функционирования в моменты времени 1 и 2; 1-2=;N- объём произведённой статистической выборки;  - коэффициент корреляции;Отсюда  , (49)а  . (50)Определив численными методами [19] значение M[2], в предположении, что r12=0, 1 - 2; X1 = X2 = X = constи подставив полученный результат в (50) имеем  , (51)где P = [X(i) – X(i-1)]. Результаты ф(47) – ф(51) целесообразно использовать при решении задачи прогнозирования состояния системы связи в следующий момент времени. При этом, глубина прогнозирования определяется длительностью интервала корреляции рассчитываемого по ф.(44). В свою очередь, вероятность того, что значение показателя своевременности в любой момент времени будет не менее требуемого  ,а средняя длительность интервала времени, в течение которого система связи будет соответствовать требованиям  ,где (Pз) - математическое ожидание числа пересечений заданного уровня Pз. Для определения математическое ожидание числа пересечений(Pз) заданного уровня Pз. случайной функцией X(t) обозначим совместную плотность распределения вероятностей контролируемого параметра x и его производной  через f(x, x’). Тогда математическое ожидание числа пересечений уровня P равно:  .В силу теоремы 2, процесс X(t) является гауссовым, а значит и его производная по времени тоже имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием, следовательно совместная плотность вероятностей  ,где 1, 2– средние квадратичные отклонения параметров x и x’. Отсюда  .С учетом того, что значения P выбираются, как правило, примерно равными M[X(t)] величина (P) может быть определены непосредственно из корреляционной функции по формуле  ,при этом 2 = 21к. В том случае, когда задача решается в процессе боевого использования системы связи и имеется возможность статистического определения корреляционной функции для расчета целесообразно использовать следующий подход. Пусть Ri– значения функции корреляции в равноудаленных точках i. Тогда из условия дискретизации и с учетом периодичности реальных функций корреляции мы имеем разбиение : t1 = 0 1 2 …N t2на отрезке [t1, t2], [t2 - t1]=T; T – период функции корреляции. Из непрерывности и дифференцируемости случайного процесса X(t) на каждом интервале i, i-1] следует, что функция R() может быть с высокой точностью аппроксимирована многочленом степени n. То есть, функция корреляции R() может быть определена как сплайн Sn() степени n с узлами на сетке :  .Таким образом, задача определения R() сводится к линейной интерполяции рассчитанных экспериментальных величин сплайном Sn() с последующей аппроксимацией им реальной функции корреляции. Исходя из требования дважды дифференцируемости R() можно считать достаточным использования в этих целях кубических сплайнов  , (56)где  Отметим, что кубический сплайн S(), представленный в виде (56) на каждом из промежутков i, i-1] непрерывен вместе со своей первой производной всюду на отрезке [t1, t2]. Необходимые для построения сплайна S() значения miопределяются из условия непрерывности второй производной S’’()+0= S’’()-0в точках i, i = 1,N и для периодических функций имеют вид:  . . .  ;. . .  где  После вычисления значений miнесложно определить вторую производную сплайна S() по формуле:  (57)Подставляя в (57) значения , с учетом равенства (55) получим, что среднее число нулей процесса изменения показателя эффективности равно  .Полученное значение подставляется в ф(53). В свою очередь, определение значений TИпозволяет на этапе планирования определить нормируемый в руководящих документах показатель устойчивости системы связи  ,а на этапе боевого использования по ф(47). |