Методологические основы моделирования
 Скачать 2.94 Mb.
|
|
Имитационное моделирование Приимитационном 10имоделировании реализующий модель алгоритмвоспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируютсяэлементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логическойструктуры и последовательности протекания во времени. Основным преимуществом имитационных моделей по сравнениюсаналитическими является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных илинепрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействияи др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектированиясложных систем. Основным средством реализации имитационногомоделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровоемоделирование систем и сигналов. В связи с этим определим словосочетание «компьютерноемоделирование», которое все чаще используется в литературе. Будем полагать,что компьютерное моделирование - это математическое моделированиес использованием средств вычислительной техники. Соответственно,технология компьютерного моделирования предполагает выполнениеследующих действий: 1) определение цели моделирования; 2) разработка концептуальной модели; 3) формализация модели; 4) программная реализация модели; 5) планирование модельных экспериментов; 6) реализация плана эксперимента; 7) анализ и интерпретация результатов моделирования. Содержание первых двух этапов практически не зависит отматематического метода, положенного в основу моделирования (и даженаоборот - их результат определяет выбор метода). А вот реализация остальныхпяти этапов существенно различается для аналитического и имитационногомоделирования. При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводиталгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени приразличных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнениепрямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процессас помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдениеза изменением пройденного пути с течением времени.Очевидно, в одних случаях более предпочтительным являетсяаналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того идругого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса. С какой целью проводится моделирование? К какому классу может быть отнесено моделируемое явление? Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двухпервых этапов моделирования. Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуресоответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явноесоответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами,протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделированияявляется большое время решения задачи для получения хорошей точности. Результаты имитационного моделирования работы стохастическойсистемы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтомудля нахождения характеристик системы требуется многократное повторение ипоследующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяетсяразновидность имитационного моделирования - статистическое моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделяхслучайных факторов, событий, величин, процессов, полей. По результатам статистического моделирования определяют оценкивероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующихфункционирование и эффективность управляемой системы. Статистическоемоделирование широко применяется для решения научных и прикладных задачв различных областях науки и техники. Методы статистическогомоделирования широко применяются при исследовании сложныхдинамических систем, оценке их функционирования и эффективности. Заключительный этап статистического моделирования основан наматематической обработке полученных результатов. Здесь используют методыматематической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание,проверку гипотез). Примером параметрической оценки являетсявыборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрическихметодов большое распространение получил метод гистограмм. Рассмотренная схема основана на многократных статистическихиспытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин.Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальнойпо затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто засчет использования более точных методов оценивания. Как известно изматематической статистики, наибольшую точность при заданном объемевыборки имеют эффективные оценки. Оптимальная фильтрация и методмаксимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок.В задачах статистического моделирования обработка реализацийслучайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов. Весьма важен также и контроль характеристик входных случайныхвоздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределенийгенерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача частоформулируется как задача проверки гипотез. Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложныхуправляемых систем является стремление к уменьшению временимоделирования, а также проведение исследований в реальном масштабевремени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентнойформе, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации. Лекция 2 ПРИНЦИПЫ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА В МОДЕЛИРОВАНИИ
Основные положения теории систем возникли в ходе исследованиядинамических систем и их функциональных элементов. Под системой понимают группу взаимосвязанных элементов, действующих совместнос целью выполнения заранее поставленной задачи. Анализ систем позволяетопределить наиболее реальные способы выполнения поставленной задачи,обеспечивающие максимальное удовлетворение поставленных требований. Элементы, составляющие основу теории систем, не создаются с помощьюгипотез, а обнаруживаются экспериментальным путем. Для того чтобы начатьпостроение системы, необходимо иметь общие характеристикитехнологических процессов. Это же справедливо и в отношении принциповсоздания математически сформулированных критериев, которым долженудовлетворять процесс или его теоретическое описание. Моделированиеявляется одним из наиболее важных методов научного исследования иэкспериментирования. При построении моделей объектов используется системный подход,представляющий собой методологию решения сложных задач, в основекоторой лежит рассмотрение объекта как системы, функционирующейв некоторой среде. Системный подход предполагает раскрытие целостностиобъекта, выявление и изучение его внутренней структуры, а также связейс внешней средой. При этом объект представляется как часть реального мира,которая выделяется и исследуется в связи с решаемой задачей построениямодели. Кроме этого, системный подход предполагает последовательныйпереход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цельпроектирования, а объект рассматривается во взаимосвязи с окружающейсредой. Сложный объект может быть разделен на подсистемы, представляющие собой части объекта, удовлетворяющие следующим требованиям: 1) подсистема является функционально независимой частью объекта. Онасвязана с другими подсистемами, обменивается с ними информацией иэнергией; 2) для каждой подсистемы могут быть определены функции или свойства,не совпадающие со свойствами всей системы; 3) каждая из подсистем может быть подвергнута дальнейшему делению доуровня элементов. В данном случае под элементом понимается подсистема нижнего уровня,дальнейшее деление которой нецелесообразно с позиций решаемой задачи. Таким образом, систему можно определить как представление объектав виде набора подсистем, элементов и связей с целью его создания,исследования или усовершенствования. При этом укрупненное представлениесистемы, включающее в себя основные подсистемы и связи между ними,называется макроструктурой, а детальное раскрытие внутреннего строениясистемы до уровня элементов – микроструктурой. Наряду с системой обычно существует надсистема – система болеевысокого уровня, в состав которой входит рассматриваемый объект, причёмфункция любой системы может быть определена только через надсистему. Следует выделить понятие среды как совокупности объектов внешнего мира,существенно влияющих на эффективность функционирования системы, но невходящих в состав системы и ее надсистемы. В связи с системным подходом к построению моделей используетсяпонятие инфраструктуры, описывающей взаимосвязи системы с ееокружением (средой).При этом выделение, описание и исследование свойств объекта,существенных в рамках конкретной задачи называется стратификациейобъекта, а всякая модель объекта является его стратифицированнымописанием. Для системного подхода важным является определение структуры системы, т.е. совокупности связей между элементами системы, отражающих ихвзаимодействие. Для этого вначале рассмотрим структурный ифункциональный подходы к моделированию. При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о структуре системы. Наиболее общим описанием структуры является топологическое описание. Оно позволяет определить составные части системыи их связи с помощью графов. Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваютсяо тдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы. При этом реализуетсяфункциональный подход, определяющий функции, которые выполняетсистема. На базе системного подхода может быть предложена последовательностьразработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования:макропроектирование и микропроектирование. На стадии макропроектирования строится модель внешней среды,выявляются ресурсы и ограничения, выбирается модель системы и критериидля оценки адекватности. Стадия микропроектирования в значительной степени зависит отконкретного типа выбранной модели. В общем случае предполагает созданиеинформационного, математического, технического и программногообеспечения системы моделирования. На этой стадии устанавливаютсяосновные технические характеристики созданной модели, оцениваются времяработы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества модели. Независимо от типа модели при ее построении необходиморуководствоваться рядом принципов системного подхода: 1) последовательное продвижение по этапам создания модели; 2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и другиххарактеристик; 3) правильное соотношение различных уровней построения модели; 4) целостность отдельных стадий проектирования модели. 2. Принципы построения математических моделей Рассмотрим основные принципы моделирования, отражающие опыт, накопленный к настоящему времени в области разработки и использования ММ. 1. Принцип информационной достаточности. При полном отсутствииинформации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. Приналичии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла.Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе(уровень информационной достаточности), при достижении которого можетбыть построена ее адекватная модель. 2. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечиватьдостижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенноотличающейся от нуля, и за конечное время. 3. Принцип множественности моделей. Данный принцип являетсяключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в первуюочередь те свойства реальной системы (или явления), которые влияют навыбранный показатель эффективности. Соответственно при использованиилюбой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Дляболее полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разныхсторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс. 4. Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную системуможно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватногоматематического описания которых оказываются пригодными некоторыестандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет, крометого, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задачисследования. 5. Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая системаимеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы,характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такиеподсистемы можно заменять в модели соответствующими числовымивеличинами, а не описывать процесс их функционирования. Принеобходимости зависимость значений этих величин от ситуации можетзадаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительностьмоделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижаетадекватность модели. Степень реализации перечисленных принципов и каждой конкретноймодели может быть различной, причем это зависит не только от желанияразработчика, но и от соблюдения им технологии моделирования. А любаятехнология предполагает наличие определенной последовательности действий. Общая может быть сформулирована следующимобразом: это определение (расчет) значений выбранного показателяэффективности (ПЭ) для различных стратегий проведения операции (иливариантов реализации проектируемой системы). При разработке конкретноймодели цель моделирования должна уточняться с учетом используемогокритерия эффективности. Для критерия пригодности модель, как правило,должна обеспечивать расчет значений ПЭ для всего множества допустимыхстратегий. При использовании критерия оптимальности модель должнапозволять непосредственно определять параметры исследуемого объекта,дающие экстремальное значение ПЭ. Таким образом, моделирования определяется как целью исследуемой операции, так и планируемым способом использования результатовисследования. Например, проблемная ситуация, требующая принятия решения,формулируется следующим образом: найти вариант построениявычислительной сети, который обладал бы минимальной стоимостью присоблюдении требований по производительности и по надежности. В этомслучае целью моделирования является отыскание параметров сети,обеспечивающих минимальное значение ПЭ, в роли которого выступает стоимость. Задача может быть сформулирована иначе: из нескольких вариантовконфигурации вычислительной сети выбрать наиболее надежный. Здесьв качестве ПЭ выбирается один из показателей надежности (средняя наработкана отказ, вероятность безотказной работы и т. п.), а целью моделированияявляется сравнительная оценка вариантов сети по этому показателю. Приведенные примеры говорят о том, что сам по себе выбор показателяэффективности еще не определяет «архитектуру» будущей модели, посколькуна этом этапе не определена концептуальная модель исследуемой системы. В целом при решении любой задачи построения модели основную роль играют следующие четыре элемента: 1) эксперимент; 2) модель; 3) показатели эффективности; 4) критерии принятия решений. Необходимо должным образом определить перечисленные элементы ипонять их взаимосвязь, поскольку они оказывают большое влияние напроектирование системы и на планирование ее работы в целом. Критериипринятия решений позволяют выбрать наиболее эффективные параметрысистемы. Обычно этот процесс называется оптимизацией. 3.Классификационные признаки и классификация моделей В процессе построения модели различают три вида или стадии построения:мысленная модель, концептуальная модель и формальная модель. При наблюдении за объектом в голове исследователя формируетсямысленный образ объекта, его идеальная модель. Формируя такую модель,разработчик, как правило, стремится ответить на конкретные вопросы. От реального очень сложного устройства объекта отсекается все ненужноес целью получения его более компактного и лаконичного описания.Представление мысленной модели на естественном языке называетсясодержательноймоделью. По функциональному признаку и целям содержательные модели делятся наописательные, объяснительные и прогностические. Описательной модельюназывается любое описание объекта. Объяснительная модель позволяетответить на вопрос: почему это происходит? Прогностическая модельописывает будущее поведение объекта. Концептуальная (содержательная) модель - это абстрактная модель,определяющая структуру моделируемой системы, свойства ее элементов ипричинно-следственные связи, присущие системе и существенные длядостижения цели моделирования. Иными словами, это содержательная модель,при формулировании которой используются понятия и представленияпредметных областей, связанных с моделью. Например, ММ формулируется наязыке математики – с помощью математических структур: формул, пространственных форм и т.п. Выделяют три вида концептуальных моделей: логико-семантические,структурно-функциональные и причинно-следственные. Логико-семантическая модель – описание объекта в терминахсоответствующих предметных областей знаний. Анализ таких моделейосуществляется средствами логики с привлечением специальных знаний. При построении структурно-функциональной модели объектрассматривается как целостная система, которую расчленяют на отдельныеподсистемы или элементы. Части системы связывают структурнымиотношениями, описывающими подчиненность, логическую и временнуюпоследовательность решения задач. Причинно-следственная модель служит для объяснения ипрогнозирования поведения объекта. Такие модели ориентированы наследующие моменты: 1) выявление главных взаимосвязей междуподсистемами; 2) выявление определенного влияния различных факторов насостояние объекта; 3) описание динамики интересующих разработчикапараметров. Формальная модель является представлением концептуальной моделис помощью формальных языков. К таким языкам относятся математическийаппарат, алгоритмические языки, языки моделирования. Построение концептуальной модели включает следующие этапы: 1) определение типа системы; 2) описание внешних воздействий; 3) декомпозиция системы. На первом этапе осуществляется сбор фактических данных (на основеработы с литературой и технической документацией, проведения натурныхэкспериментов, сбора экспертной информации и т. д.), а также выдвижениегипотез относительно значений параметров и переменных, для которыхотсутствует возможность получения фактических данных. Если полученныерезультаты соответствуют принципам информационной достаточности иосуществимости, то они могут служить основой для отнесения моделируемойсистемы к одному из известных типов (классов). Одним из классификационных признаков моделируемой системы являетсямощность множества состояний моделируемой системы. По этому признакусистемы делят на статические и динамические. Система называетсястатической, если множество ее состояний содержит один элемент. Еслисостояний больше одного, или они могут изменяться во времени, системаназывается динамической. Процесс смены состояний называется движениемсистемы. Различают два основных типа динамических систем: – с дискретными состояниями (множество состояний конечно или счетно); – с непрерывным множеством состояний. Системы с дискретными состояниями характеризуются тем, что в любоймомент времени можно однозначно определить, в каком именно состояниинаходится система. Для такой идентификации обязательно нужно знать тотпризнак, который отличает одно состояние системы от другого. Например, приисследовании систем массового обслуживания в качестве такого признакаобычно используют число заявок в системе. Соответственно, изменение числазаявок в системе интерпретируется как переход системы в новое состояние.Если же не удается подобрать такой признак, либо его текущее значениеневозможно зафиксировать, то систему относят к классу системс непрерывным множеством состояний.Смена состояний может происходить либо в фиксированные моментывремени, множество которых дискретно (например, поступление новых заявокна обслуживание), либо непрерывно (изменение температуры тела принагревании). В соответствии с этим различают системы с дискретнымвременем переходов (смены состояний) и системы с непрерывным временемпереходов (точнее, «живущие» в непрерывном времени). По условиям перехода из одного состояния в другое различаютдетерминированные системы и стохастические. В детерминированных системах новое состояние зависит толькоот времени и текущего состояния системы. Другими словами, если имеютсяусловия, определяющие переход системы в новое состояние, то длядетерминированной системы можно однозначно указать, в какое именносостояние она перейдет. Для стохастической системы можно указать лишь множество возможныхсостояний перехода и, в некоторых случаях, - вероятностные характеристикиперехода в каждое из этих состояний. Рассмотренная схема классификации систем важна не сама по себе. На этапе разработки концептуальной модели она, во-первых, позволяетуточнить цели и задачи моделирования и, во-вторых, облегчает переход к этапуформализации модели. Кроме того, значительно позже, на этапе оценкикачества разработанной модели, знание классификационных признаков даетвозможность оценить степень ее соответствия первоначальному замыслуразработчика. Необходимо отметить, что рассмотренные классификационные признакиприменимы и для определения типа разрабатываемой модели. При этомисследуемая система и ее модель могут относиться как к одному, так ик разным классам. Например, реальная система может быть подверженавоздействию случайных факторов и, соответственно, будет относиться к классустохастических систем. Если разработчик модели считает, что влиянием этихфакторов можно пренебречь, то создаваемая модель будет представлять собой детерминированную систему. Аналогичным образом возможно отображениесистемы с непрерывным временем смены состояний в модель с дискретнымипереходами и т. д. Совокупность факторов, воздействующих на систему и оказывающихвлияние на эффективность её функционирования, назовем внешнимивоздействиями (ВВ).Например, пусть оценивается производительность бортовойвычислительной системы (ВС) при управлении полетом космического корабля.В качестве параметров внешних воздействий такой ВС целесообразнорассматривать поток информации, подлежащей обработке, и поток отказов,приводящий к нарушению вычислительного процесса. Оценкипроизводительности ВС будут иметь смысл только в том случае, если известно,для какой рабочей нагрузки они получены. Это утверждение справедливо длялюбой задачи принятия решения, к какой бы предметной области она ниотносилась. Нельзя говорить о прочности моста, не указывая, на какуюмаксимальную нагрузку он рассчитан; точно так же некорректно сообщатьмаксимальную скорость автомобиля, не уточнив, в каких условиях она быладостигнута. Описание ВВ является не только важной, но и достаточно сложнойзадачей. Особенно тех случаях, когда приходится учитывать влияниеслучайных факторов, или когда речь идет о внешних воздействиях напроектируемую принципиально новую систему. В связи с этим введем понятие«модели внешних воздействий», подчеркивая сопоставимость уровнясложности описания собственно системы и внешних воздействий на неё. Модель внешних воздействий должна обладать следующими основными свойствами: – совместимостью с моделью системы; – представительностью; – управляемостью; – системной независимостью. Свойство совместимости предполагает, что, во-первых, степеньдетализации описания ВВ соответствует детализации описания системы; во-вторых, модель ВВ должна быть формулирована в тех же категорияхпредметной области, что и модель системы (например, если в модели системыисследуется использование ресурсов, то должны быть выражена в запросах наресурсы) . Представительность модели ВВ определяется ее способностью адекватнопредставить ВВ в соответствии с целями исследования. Другими словами,модель ВВ должны отвечать целям исследования системы. Например, еслиоценивается пропускная способность, то должны выбираться ВВ,«насыщающие» систему. Под управляемостью понимается возможностьизменения параметров модели ВВ в некотором диапазоне, определяемомцелями исследования. Системная независимость - это возможность переноса модели ВВс одной системы на другую с сохранением ее представительности. Данноесвойство наиболее важно при решении задач сравнения различных систем илиразличных модификаций одной системы. Если модель ВВ зависит отконфигурации исследуемой системы или других ее параметров, тоиспользование такой модели для решения задачи выбора невозможно,И, наконец, обратимся к этапу, завершающему построениеконцептуальной модели системы, - ее декомпозиции. Декомпозиция системы производится исходя из выбранного уровнядетализации модели, который, в свою очередь, определяется тремя факторами: – целями моделирования; – объемом априорной информации о системе; – требованиями к точности и достоверности результатов моделирования. Уровни детализации иногда называют стратами, а процесс выделенияуровней, как уже упоминалось, - стратификацией. Детализация системы должнапроизводиться до такого уровня, чтобы для каждого элемента были известныили могли быть получены зависимости его выходных характеристик отвходных воздействий, существенные с точки зрения выбранного показателяэффективности. Повышение уровня детализации описания системы позволяетполучить более точную ее модель, но усложняет процесс моделирования иведет к росту затрат времени на его проведение. Например, если моделируетсядискретная система, то увеличение детальности ее описания означаетувеличение числа различных состояний системы, учитываемых в модели, и, какследствие - неизбежный рост объема вычислений. Поэтому при выборе уровняописания системы целесообразно руководствоваться следующим правилом:в модель должны войти все параметры, которые обеспечивают определениеинтересующих исследователя характеристик системы на заданном временноминтервале ее функционирования; остальные параметры по возможностиследует исключить из модели. Приступая к разработке или исследованию системы, мы, прежде всего,накапливаем информацию о данной, или подобной ей, системе. Этаинформация далее реализуется в описании системы, которое и являетсяосновой для построения её математической модели. Поэтому, прежде всего,рассмотрим классификацию технических систем, моделированию которыхпосвящено настоящее пособие. Все системы подразделяются на непрерывные идискретные. Непрерывные системы делятся на системыс сосредоточенными параметрами и системы с распределенными параметрами.В системах с сосредоточенными параметрами переменные зависят только отвремени и не зависят от прочих координат. Для систем с распределеннымипараметрами переменные зависят как от времени, так и от прочих координат. В зависимости от задачи одна и та же система может рассматриваться и каксистема с сосредоточенными параметрами и как система с распределеннымипараметрами. Например, нельзя указать точные границы для тока в проводе. Что касается классов моделей, то здесь имеется четкая граница. Системыс распределенными параметрами описываются с помощью ДУ в частных производных. Система с сосредоточенными параметрами – с помощью обыкновенных ДУ. Дискретные системы подразделяются на синхронные и асинхронные.В синхронных системах имеются точные метки времени, в которыепроисходят изменения состояния (например, тактовый генератор ПЭВМ).В асинхронных системах смена состояния не привязана ко времени (например,появление заявки или пакета в телекоммуникационной сети). В общем случае система определяется множеством Π признаков(особенностей), элементы π i , i =1. . . k которого характеризуют всюсовокупность её свойств: алгоритм функционирования, структуру, численныезначения параметров, особенности внешней среды, вид ВВ, начальные условия,реакцию системы и показатели качества системы [3]. Все это множествопризнаков и составляет описание системы.Задача исследования состоит в расширении наших знаний о системе,т. е. в итоге сводится к уточнению её описания. Поэтому множество Πнеизвестных на начальном этапе исследования признаков (или известныхнеточно), в общем случае можно представить неким потенциальнымисточником информации, а исследование системы, её описание, как процессизвлечения этой информации из источника. Описание действующей системы, когда её структура неизвестна,формируется с помощью её идентификации, т.е. подбора аппроксимирующихсоотношений с той или иной полнотой отображающих поведение наблюдаемойсистемы [3]. При этом единственной информацией, которой располагаетисследователь, является вектор входных воздействий u и соответствующийему вектор y реакций системы, а сама система Ψ представляется «чернымящиком». Принцип «черного ящика» может быть применен как к системев целом, так и к отдельным её звеньям. В последнем случае системаописывается совокупностью взаимодействующих «черных ящиков», каждый изкоторых наделен определенными функциями, которые можно выявитьв процессе изучения реакций при заданных воздействиях или задать априорно. |