цензурированной выборок, распределенных по закону Гнеденко-Вейбулла Как правило, для прогнозирования надёжности изделий в течение реальных сроков их эксплуатации используют данные цензурированных испытаний, при этом число реально наблюдавшихся отказов может быть невелико, что сильно ограничивает точность и надёжность прогнозов [5]. В этой связи возникает потребность в поиске более совершенных методов оценки надёжности, достаточно подробно освещенных в [96]. Цензурированность или усеченность данных означает неполноту исходных эмпирических данных об отказах. Рассмотрим модель однократно цензурированных слева выборок, когда время наблюдения за эксплуатацией фиксировано, а число отказов является случайной величиной [96]. Усечение слева приходится применять из-за отсутствия предыстории реальных данных по отказам на объектах систем автоматического управления в транспортировке газа, которые были построены еще в советские времена. Введем необходимые обозначения. Пусть
n
– первоначальный объем выборки н момент времени, начиная с которого фиксируются отказы в моменты времени
, (
1,.., )
t
k
r
n
k
= +
; r – количество наименьших ненаблюдаемых усеченных слева) элементов выборки. В дальнейшем удобнее рассматривать плотность двухпараметрического (с параметрами с параметрами
0,
0
) распределения Гнеденко-Вейбулла в виде
1
exp
,
0
( ; , )
0,
0
t
t
t
f t
t
−
−
=
(В) и функцией распределения
164 1 exp
,
0
( ; , )
0,
0
t
t
F t
t
−
−
=
(В) Для однократно цензурированной слева выборки следует максимизировать функцию правдоподобия [58, 64]:
1
( , н
−
−
−
−
−
= +В) В результате получаем систему уравнений правдоподобия для определения неизвестных параметров
и
:
1 1
2 2
1
ln ln
1
ln ln
0,
1
ln
1
+
0 1
н
н
n
n
o
н
k
k
T
k r
k н r
T
T
L
r
n
r
t
t
t
k
e
T
L
r
n
r
t
k
e
= +
= +
= +
−
=
+
+
−
=
−
−
=
−
=
Или после упрощения системы получаем
(
)
1 1
1 1 ln
,
1
ln
(
) н н н r
t
t
k
t
n
r
T
T
r
n
r
t
k
e
= +
= +
= +
+
=
+
−
+
=
− −
−
(В.4)
Численные решения для данной системы нелинейных уравнений относительно неизвестных
и
могут быть получены с использованием компьютерного пакета Wolfram Mathematica.
165 Существование и единственность решения уравнений правдоподобия для полной выборки В случае полной выборки (соответствующей полной информации о работе
ГПА и САУ ГПА, вернее, об их отказах) функция правдоподобия для (В) имеет вид
1 1
1
( , )
( , , )
exp
n
n
n
k
k
k
k
k
t
L
f t
t
−
=
=
=
=
−
Удобнее рассматривать логарифмическую функцию правдоподобия
1 1
1
ln ( , )
ln ln
(
1)
ln
n
n
k
k
k
k
L
n
n
t
t
Тогда уравнения правдоподобия записываются в виде
1 1
1 1
ln ln
0,
1
n
n
k
k
k
n
k
k
k
k
n
k
k
n
n
t
t
t
t
t
n
=
=
=
=
+
−
=
В) Указанная система (В) распадается, те. параметр
может быть определен из первого уравнения, а параметр
– из второго уравнения системы. Докажем, что решение (В) существует и единственно. Действительно, имеем для параметра соотношение
1 1
1 1
1 1
ln ln
n
n
k
k
k
n
k
k
k
k
t
t
t
n
t
=
=
=
− +Обозначим
1 1
1 1
( )
ln
n
k
k
n
k
k
k
g
t
t
t
=
=
= − +
166 Тогда
( )
0
lim
( )
, lim
( )
ln
n
g
g
t
→ +
→+
= −
=
, (П) где )
1
max{ }
n
k
k n
t
t
=
– максимальная порядковая статистика выборки моментов отказов . Покажем, что производная
( )
g
положительна для всех
0
, что будет означать монотонное возрастание функции ( )
g
для всех
0
. Действительно, имеем
( )
2 2
ln ln
1 1
1 1
( )
2 Но, так как
( )
( )
2 2
ln ln
0 1
1 1
2 2
ln ln
1 выполняется в силу известного неравенства Йенсена [57]:
2 2
1 1
,
0,
1,..., ,
1 1
n
n
p
x
p
x
k
k
k
k
k
k
p
k
n
k
n
n
p
p
k
k
k
k
=
=
=
=
=
k
t
167 где ln
x
t
k
k
=
и Итак,
( )
0 0.
g
Далее, ввиду очевидного неравенства
( )
1 1
ln ln
n
k
n
k
t
t
n
=
, с учетом (В, решение уравнения
1 1
( существует и единственно. Следовательно, зная, чему равно
, однозначно находим и значение параметра
из (В. Таким образом, система (В) имеет единственное решение, которое может быть найдено с использованием компьютерных пакетов, в частности Wolfram
Mathematica.
168 Приложение Г. Проблема моментов Чебышёва-Маркова- Стилтьеса для распределения Гнеденко – Вейбулла Задача однозначного определения распределения вероятностей по последовательности ее моментов впервые была рассмотрена великим русским математиком и механиком ПЛ. Чебышевым еще в 1874 году в связи с исследованиями по предельным теоремам теории вероятностей. Данная задача носит название проблемы моментов, и позже оказалось, что она тесно связана с теорией квазианалитических классов функций, общей теорией ортогональных многочленов, теорией непрерывных дробей, теорией квадратурных формул для приближенного вычисления определенных интегралов. Единственным пробелом в работе Чебышева было отсутствие доказательства одного неравенства (был намечен только путь доказательства. Только спустя 10 лет, в 1884 году в своей диссертации А.А. Марков полностью обосновал проблему моментов Чебышева когда распределение рассматривается на отрезке конечной длины. В 1885 году ПЛ. Чебышев опубликовал очередной мемуар поданной проблеме, в котором он находит новые важные формулы и распространяет все на случай функции, заданной в бесконечном интервале. А уже в 1887 году ПЛ. Чебышев использовал свой метод моментов при доказательстве центральной предельной теоремы. В дальнейшем метод моментов не получил широкого применения, так как в техническом отношении он оказался намного сложнее, чем более мощный и гибкий в аналитическом плане метод характеристических функций, предложенный А.М. Ляпуновым в 1900 году. В тоже время метод моментов Чебышева стал использоваться в математической статистике при изучении отклонений эмпирического распределения от теоретического и для статистической оценки параметров распределения по результатам наблюдений после работы 1984 года основателя математической статистики К. Пирсона. Почти одновременно с А. А. Марковым, но всё же несколько позже, аналогичные результаты по проблеме моментов опубликовал голландский математик Т. Стилтьес, не упоминая о работах ПЛ. Чебышева и А. А. Маркова.
169 Поэтому поводу А. А. Марков написал письмо Ш. Эрмиту, ив ответ на это письмо Т. Стилтьес поместил небольшую заметку, в которой признал приоритет русских учёных, объяснив, что о работах А. А. Маркова он не мог знать, а заметка ПЛ. Чебышева ускользнула от его внимания. На основании первого тома фундаментальной монографии по теории вероятностей и математической статистике [57]
,
а также известной книги [104] можно сделать вывод, что в зарубежной научной литературе ничего неизвестно про вклад в проблему моментов ПЛ. Чебышева, а есть только проблема моментов
Стилтьеса (если распределение задано на неотрицательной полуоси) и проблема моментов Гамбургера (если распределение задано на всей числовой оси. С учетом вышеизложенного, будем называть проблему моментов проблемой моментов Чебышёва-Маркова-Стилтьеса. Критерии однозначного определения распределения неотрицательной случайной величины своими моментами Имеются различные условия, с помощью которых возможна проверка единственности проблемы моментов, являющиеся как достаточными, таки необходимыми и достаточными в случае абсолютно непрерывного распределения, каким является распределения Гнеденко-Вейбулла. Условие Карлемана (см. [57]) для неотрицательной случайной величины состоит в проверке следующего условия
( )
1 2
1
n
n
n
+
−
=
= +
, где
n
– начальный момент случайной величины с плотностью
( )
f t порядка
n
:
0
( )
n
n
t f t dt
+
=
170 Критерий Крейна МГ. заключается в том, что если для абсолютно непрерывной неотрицательной случайной величины выполнено условие (см.
[104]):
2 2
0
ln (
)
1
f x
dx
x
+
−
+
, то она не определяется однозначно последовательностью своих моментов
Рассмотрим критерий Карлемана для распределения Гнеденко-Вейбулла. В случае распределения Гнеденко-Вейбулла
1
(
)
1
(
)
0 0
1 1
n
t
n
t
n
n
n
t
t
e
dt
t
e
dt
+
+
−
−
+ −
−
=
=
=
+
, и условие Карлемана выполняется при определенном условии назначение параметра формы
. Действительно
1 1
2 2
1 1
1 1
1
n
n
n
n
n
n
n
−
−
+
+
=
=
+
=
+
+
1 1
2
ln
1 2
1
n
n
n
n
e
−
−
+
+Но, так как
(
)
1 1
ln
1
ln ln(2 ),
(
)
2 2
x
x
x
x
x
+
+
− +
→ то
(
)
1 1
ln
1
ln
1
,
2 2
n
n
x
x
n
x
−
+
= −
+Следовательно
(
)
1 1
1 1
ln
1
ln ln(2 )
2 2
2 2
1 1 ln
1
ln(2 )
1 1
ln ln
,
(
)
2 4
2 4
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
− +
=
= −
−
+
−
−
+
→
171 Таким образом, имеем
( )
1 1
1 1
1 1
ln
1
ln
1 2
2 2
2 2
2 2
n
n
n
n
e
e
e
e
e
n
−
+
−
−
−
=
=
Итак,
( )
1 1
1 2
2 2
1 1
1
n
n
n
n
e
n
−
+
+
−
=
=
+Ввиду того что
1 1
1 2
2 1
1 1
1 1
2 2
,
1
,
n
n
n
n
+
+
−
=
=
=
=
=
, Окончательно, получаем
( )
1 1
2 2
1 1
1
,
2 1
1
,
2
n
n
n
n
n
n
−
+
+
−
=
=
=
+
=
= Поэтому, только при значении параметра формы
1 2
проблема моментов для распределения Гнеденко-Вейбулла решается однозначным образом. Осуществим теперь проверку условия Крейна, обеспечивающего однозначную определенность распределения последовательностью своих моментов
2 2
0
ln (
)
1
f x
dx
x
+
= В случае распределения Гнеденко-Вейбулла с функцией плотности
(
)
1
,
0
( )
0,
0
x
x
e
x
f x
x
−
−
=
, имеем
172 2
ln
2(
1) ln
2
ln (
)
2 2
1 1
0 0
2
ln ln
2(
1)
2 2
2 1
1 1
0 0
0
x
x
f x
dx
dx
x
x
dx
x
x
dx
dx
x
x
x
+
−
−
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
+
−
−
Первый интеграл, очевидно, сходится. Элементарными средствами математического анализа можно доказать также, что
2 0
ln
1
x
dx
x
+
Исследуем сходимость третьего интеграла. Имеем
1 2
2 2
2 2
2 0
0 1
1 Но
2 2
2
,
(
0)
1
x
x
x
x
→
+
,
1 1
2 1
2 0
0 1
2 1
2 1
x
x
dx
+
=
=
Поэтому, по предельному признаку сходимости несобственных интегралов
1 2
2 0
0 1
x
dx
x
Так как
2 2(
1)
2
,
(
)
1
x
x
x
x
−
→ +и, при этом,
2 1
2(
1)
1 1
1 1
,
0 2
1 2
1 2
x
x
dx
+
+
−
−
=
=
−
−
2 1
2(
1)
1 1
1
,
2 1
2
x
x
dx
+
+
−
−
=
=
−
173 Если же
1 2
= , то
2 2
0 0
1
ln |1
|
1 2
xdx
x
x
+
+
=
+
= +Таким образом, только при значении параметра формы
1 2
2 2
0
ln (
)
1
f x
dx
x
+
=
+
, что означает однозначную определенность распределения Гнеденко-Вейбулла своими моментами в силу выполнения критерия Крейна [104].
174 Приложение Д. Применение функции восстановления и её аппроксимаций к стратегии управления эксплуатационными затратами Полученные формулы для нахождения функции восстановления могут быть применены для стратегии групповой (или блоковой) политики замен («block replacement policy – BRP» [11, 137]) в задаче обеспечения надёжного и эффективного функционирования технологических объектов с позиций мониторинга показателей надёжности элементов. Согласно ГОСТ Р 27.606–2013 [30]: Если же отказ не несет угроз безопасности, но ведет к утрате изделием готовности к применению по назначению, то периодичность замен устанавливают, исходя из заданного уровня готовности, обеспечиваемого при оптимальных затратах, включающих в себя, в том числе, стоимость заменяемых изделий и экономический ущерб от отказов. Таким образом, необходим баланс между суммой, потраченной на профилактическое обслуживание, и суммой на замены при внезапном отказе. В схеме BRP предполагается, что объект заменяется новым изделием при постоянной длине интервала замен pt , независимо от возраста объекта, а также замены объекта происходят столько раз, сколько требуется на интервале (0, ) pt при внезапных отказах объекта. Пусть pC – средняя стоимость профилактического обслуживания, fC – средняя стоимость восстановления при отказе ( ) pfCC . Средняя стоимость на интервале (0, ) pt профилактического обслуживания и восстановления после отказа равна ( ) pfpCC H t+ , где ( ) pH t – среднее число восстановлений на интервале (0, ) pt В качестве критерия оптимальности рассматривается средняя стоимость эксплуатационных затрат в единицу времени (1 ( )) ( ) popppCc H tR tt+ = , (Д)
175 где
/
o
f
p
c
C
C
=
– коэффициент затрат. Точка минимума функции (Д) дает соответствующее значение времени оптимального профилактического обслуживания
p
t
. Покажем, что в точке
0
t экстремума
0 0
0
( )
( )
( )
f
f
R t
C H t
C h t
=
=
, те. значение функции ( )
R t определяется плотностью восстановления
0
( )
h В самом деле,
2 2
( ) 1
( )
( )
1
( )
( )
o
o
o
o
p
p
c tH t
c H t
c h t t
c H t
R t
C
C
t
t
− −
− −
=
=
. (Д) Следовательно, в точке
0
t экстремума
0 0
0
( )
1
( )
0
o
h t t
c H t
− −
=
, что означает
0 0
0 1
( )
( )
o
o
c H t
t
c h t
+
=
, (Д) и тогда
0 0
0 0
0 0
0
(1
( ))
(1
( ))
( )
( )
( )
1
( )
p
o
p
o
o
f
o
C
c H t
C
c H t
R t
c h t
C h t
t
c H Более того, можно доказать равенство
0 0
0
( )
( )
f
C H t
R t
t
=
. (Д) Действительно, из (Д) следует
2 3
( )
2
( )
2(1
( ))
( )
o
o
o
p
c t H t
c h t t
c H t
R t
C
t
−
+
+
=
, тогда, с учетом (Д) получаем
2 0
0 0
0 0
0 0
3 0
0
( )
( )
2
( )
2(1
( ))
( )
f
o
o
o
p
C H t
c t H t
c h t t
c H t
R Из равенства (Д) следует, что характер выпуклости функции ( )
R t в точках экстремума совпадает с характером выпуклости функции
( )
H t и осцилляция
176 функции восстановления согласуется с осцилляцией средней стоимости эксплуатационных затрат. Достаточным условием существования минимума функции ( )
R t является условие на коэффициент затрат с [134], имеющее в наших обозначениях вид
2 с, (Д) где
2 2
2
/
CV
=
– квадрат коэффициента вариации,
и
2
σ – математическое ожидание и дисперсия времени работы между отказами. Отметим, что условие (Дне является необходимым. Приведем иллюстрацию данного утверждения, служащую контрпримером условию (Д.5).
Рассмотрим распределение Рэлея, для которого ограничение (Д) означает, что
2,8
o
c
. Однако, как видно из графика (Рисунок Д) при значении коэффициента
2, 6
o
c =
, не удовлетворяющему условию (Д, функция
( )
R t имеет вполне конкретный минимум. Рисунок Д. Графики приближений функции стоимости ( )
R t для распределения Рэлея при коэффициенте затрат c
o
= 2,6 Более того, при этом же коэффициенте затрат функция стоимости имеет еще и максимум. Иными словами, при большем значении интервала профилактического обслуживания можно попасть в точку максимума затрата из асимптотической формулы для функции восстановления (асимптота Смита):
177 2
2 1
1
( )
,
(
)
2 2
H t
t
t
−
+
→ следует, что
( )
/
f
R
C
=
является наименьшим значением функции стоимости. Поэтому в этом случае оптимальной стратегией будет замена лишь после наступления отказа. Заметим, что применение критерия (Д) для определения времени оптимального профилактического обслуживания требует достаточно точного вычисления функции восстановления. Сравнение графиков (Рисунок Д) критерия Д) показывает значительное расхождение графиков
( )
R t при вычислении функции восстановления по методу производящих моментов или дискретизацией с графиком ( )
R t по методу [14] с использованием трёх моментов. Рисунок Д. Графики приближений функции R(t) для распределения Рэлея при коэффициенте затрат со = 10 Соответствующие координаты точек минимума
0,32;
{
6, 28};
{0,32; 6, 22}; {0, 22; 5,17}. Сравнение результатов, полученных в данной работе с результатами {0,34;
6,17} работы [145] показывают небольшое расхождение 5% и 2% соответственно.
178 Приложение Е.
НИОКР
«Информационно-аналитические системы мониторинга для оценки надёжности и качества функционирования технологических процессов и объектов нефтегазовой отрасли Цель проекта – создать действующий в режиме реального времени исследовательский прототип информационно-аналитической системы(ИАС) оценки и мониторинга надежности и качества функционирования технологического процесса или объекта нефтегазовой отрасли. Создание такого уровня мониторинговых систем открывает возможности для перехода к управлению локальными объектами на основе малолюдных технологий. Данное предложение основано на разработанной авторами информационно- аналитической технологии, включающей
➢ информационную систему сбора данных об отказах оборудования
➢ совокупность математических моделей и алгоритмов обработки данных об отказах и качестве обслуживания
➢ математические модели оценки качества функционирования сложных технологических объектов, соответствующих программных средств
➢ обучаемые и самообучающиеся интеллектуальные системы диагностики сложных технических систем, работающих в условиях, не допускающих отказ функционирования. Отдельные компоненты системы прошли апробацию на решение локальных задач. Предлагаемый проект призван
➢ обеспечить необходимый уровень надежности и безопасности технологических объектов и производственных комплексов
➢ снизить риски возникновения аварийных ситуаций и минимизировать масштабы ущербов;
➢ создать единое информационное пространство компании за счет формирования и обеспечения производственно-технологической информации из САУ и АСУ ТП в информационно- управляющие системы.
179
Информационно-аналитические мониторинговые системы должны
обеспечитьтребуемоевзаимодействие между двумя уровнями управления уровнем управления технологическими процессами, те. АСУТП и уровнем управления организационно-технологическими системами (уровень ERP-систем).
Практически введение в эксплуатацию предлагаемых ИАС позволит создать новый контур обратной связи для управления процессами планирования, перевооружения, реконструкции и развития объектов нефтегазовой отрасли. Информация об отказах и состоянии технической части нефтегазовой системы поступает с АСУ ТП в ИАС, в которой обрабатывается, а полученные на основе этих расчетов оценки и прогнозы передаются на верхний уровень управления, те. на уровень ERP- системы, например, в подсистему TOPO (следующим этапом развития проекта может быть согласование проектируемой ИАС с модулем ТОРОВ этой подсистеме планируются ремонты и сроки замены оборудования. Эта информация в свою очередь передается на уровень АСУ ТП. В АСДУ данная информация необходима для планирования диспетчерских графиков, которые уже далее реализуются системой оперативного диспетчерского управления. Особенностью данного проекта является его междисциплинарный характер поэтому реализация проекта требует объединения усилий специалистов различного профиля. Реализация прототипа ИАС следует принципу системной интеграции. Конечный результат – прототип ИАС, в которой на основе предложенных методик с помощью разработанных моделей обрабатывается статистическая информация об отказах и паспортных характеристиках объектов управления производятся оценки технического состояния, показателей надежности и качества функционирования этих объектов На основе полученных оценок производятся расчеты оценки качества функционирования системы и оценки рисков, отражающие реальные техническое состояние и показатели надежности функционирования технологических объектов. Также оцениваются риски возникновения аварийных ситуаций и т д. На основе применения технологий производятся расчеты и формируются отчеты по
180 запросу. В ИАС для различных уровней пользователей иерархической АСДУ должны быть сформированы формы типовых запросов и отчетов. Мониторинговая информация о качестве функционирования объекта, обработанная на моделях, отражающих требования по стандарту ГОСТ Р 57193- 2016 Системная и программная инженерия. Процессы жизненного цикла систем, обеспечивает руководство компании необходимыми данными для принятий управленческих решений. |
Скачать 3.85 Mb.