Модели и методы. Модели и методы построения вероятностно статистических оценок для мониторинга показателей надёжности в диспетчерском управлении транспортом газа

• Название: Модели и методы построения вероятностно статистических оценок для мониторинга показателей надёжности в диспетчерском управлении транспортом газа
• Анкор: Модели и методы
• Дата: 06.03.2022
• Размер: 3.85 Mb.
• Имя файла: ds04_15_rusev_main.pdf
• Тип: Диссертация; #384628
• страница: 5 из 12

1938 года, будучи доцентом кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, Б.В. Гнеденко работал над задачами построения асимптотических распределений максимального члена вариационного ряда ив начале июня 1941 года защитил докторскую диссертацию, включавшую в себя, в том числе, эту тему. В 1943 г. классическая работа Б.В.

47
Гнеденко, положившая начало целому направлению в теории вероятностей, была издана только на французском языке [135]. Поэтому (вслед замы будем использовать термин распределение Гнеденко–Вейбулла». Позже В. Вейбулл
[150] призывал активно использовать данное распределение в теории надёжности и контроле качества ввиду достаточной гибкости моделирования различных возникающих на практике форм функции интенсивности отказов, которая будет рассмотрена в дальнейшем в работе. Как отмечается в [22] примерно половина всех работ по статистическим методам в надёжности за 1967-1980 гг. была посвящена распределению Гнеденко-Вейбулла. Таким образом, начиная с х годов прошлого века, распределение Гнеденко-Вейбулла использовалось в весьма обширном спектре прикладных задач из самых разных областей знаний таки и нашло чрезвычайно широкое применение в машиностроении,
приборостроении,
радиоэлектронике. Приведем только некоторые из тем исследований, в которых применялся анализ данных на основе распределения Гнеденко-Вейбулла: моделирование скорости ветра над океаном, обобщенная модель массового отравления, моделирование сроков хранения продукции в фармакологии, описание человеческого поведения, изучение моделей продолжительности промышленных кризисов, динамические модели течения этнополитических конфликтов, задачи об оффшорных торгах по аренде нефтяных и газовых месторождений, оценивание влияния температуры на прорастание люцерны, описание процессов ползучести материалов, изучение проблем надёжности нефтепромыслового оборудования [7,
46, 59, 77, 141, 143]. Можно с полной уверенностью сказать, что распределение Гнеденко-
Вейбулла является одним из трех (наряду с лог-нормальным и гамма- распределением, которые используются в современной практике для аппроксимации распределений различных односторонне ограниченных случайных величин [17]. Также интересно отметить, что история возникновения и развития распределение Гнеденко-Вейбулла удивительным образом пересекается с историей и этапами формирования самой теории надёжности. Примерно водно время появились (начало х годов XX века, стали бурно использоваться и развиваться в е годы. Приведем достаточно наглядную модель возникновения распределения
Гнеденко-Вейбулла (которое будем в дальнейшем обозначать как , )
GW
 
): так называемую модель слабого звена см. [87]). Пусть имеется последовательная цепь, состоящая из большого числа
n
звеньев. Допустим, что прочности отдельных звеньев можно трактовать как реализации
n
независимых, одинаково распределенных неотрицательных случайных величин
1
,...,
n
X
X
. На оба конца цепи подается равномерно возрастающая нагрузка, и фиксируется напряжение, при котором происходит разрыв цепи. Очевидно, что это напряжение равнопрочности наислабейшего звена цепи (разрыв происходит, когда рвется самое слабое звено, поэтому его можно трактовать как реализацию случайной величины
1 Если ( )
F x − функция распределения каждой из
k
X
,
1,...,
k
n
=
, то функция распределения
( )
n
G x
для
n
X находится следующим образом (в силу независимости и одинаковой распределённости случайных величин
1
,...,
n
X
X
):
1
( )
(
) 1
(
) 1
(
,...,
)
n
n
n
n
G x
P X
x
P X
x
P X
x
X
x
=

= −

= −


=
1 1
(
) 1 (1
( )) .
n
n
k
k
P X
x
F x
=
= −

= − В технических приложениях, при больших
n
, как правило, вместо
( )
n
G будет использоваться ее асимптотическое представление. Однако, при каждом фиксированном положительном
x
очевидно, что lim
( ) 1
n
n
G x
→
= . Поэтому необходимо провести нормировку
n
X по аналогии стем, как это делается в центральной предельной теореме из классической теории вероятностей, чтобы распределение не вырождалось при n →  . Понятно также, что
n
X по вероятности сходится к нулю, что по определению означает

49 0 {|
|
}
0, (
)
n
P X
n


 

→
→  . Действительно,


1
{|
|
}
{ min
}
n
n
k
k
n
P
X
P X
P
X






=

=

=


1 1
,...,
{
}
(1
( ))
0, (
),
n
n
n
k
k
P X
X
P X
F
n




=
=


=

= −
→
→ так как 1
( ) 1
F

−
 . Произведем нормировку
n
X с помощью домножения на некоторую растущую функцию от
n
. При этом нам не избежать условий на поведение функции распределения
( )
F x при
0
x → + . Предположим, что
( )
F x
ax

,
(
0
x → + ), где
a
и

− неотрицательные числа, (все стандартные непрерывные распределения, сосредоточенные на положительной полуоси, удовлетворяют данному условию (см, например, [46])). Функция распределения
( )
W x нормированной случайной величины
1
n
Y
n
X

=
уже не вырождается с ростом
n
, и её предельное распределение находится с помощью следующих выкладок
1 1
( )
(
)
1 1
n
n
x
x
W x
P Y
x
P X
F
n
n








=

=

= − −












1 1
1 1
1 1
, (
).
n
n
ax
x
ax
a
e
n
n
n




−






− −
= − −
−
→ Заменяя параметр
a
на новый параметр

, определяемый из уравнения
a


=
, получаем распределение Гнеденко-Вейбулла, которое в дальнейшем будем обозначать как , )
GW
 с функцией распределения
( )
( ) 1
,
0,
0,
0.
x
F x
e
x




−
= −




50
2.2. Различные аппроксимации фундаментальных числовых характеристик распределения, точность полученных приближенных формул Итак, пусть случайная величина
( , )
GW

 
подчиняется распределению
Гнеденко-Вейбулла, те. её функция распределения имеет следующий вид
(
)
1
,
0
( )
0,
0
t
e
t
F t
t


−
 −


= 


(1) где

называется масштабным параметром
(
0)

 , а − параметром формы
(
0)

 , от которого существенно зависит вид графика плотности распределения см. Рисунок 7):
(
)
1
,
0
( )
0,
0
t
t
e
t
f t
t




 
−
−



= 


(2) Рисунок 7. Формы кривой плотности распределения Гнеденко-Вейбулла для некоторых значений параметров

(при
0.5

=
). В современной литературе по теории надёжности данное распределение нашло широкое применение, в связи сего универсальностью и гибкостью в приложениях. Целый ряд распределений является частным случаем распределения
Гнеденко-Вейбулла (см. Рисунок 7): значение параметра формы

, равное 1, превращает его в показательное распределение при

= 2 распределение оно

51 совпадает с распределением Рэлея начиная с значений

> 2 распределение
Гнеденко-Вейбулла позволяет аппроксимировать лог-нормальное распределение
[46]; если же

> 3,5, то данное распределение служит достаточно хорошим приближением для нормального распределения, на котором базируются различные модели прикладной математической статистики. Математическое ожидание и дисперсия

равны, соответственно,
1 1
1
M





=  +




,
2 2
1 2
1 1
1
D










=
 +
− 
+












, (3) где
( )
1 0
x
t
x
t
e dt
+
−
−

=

− гамма-функция Эйлера. Введем для краткости следующее обозначение
1
def
k
k




 =  +




. Тогда
1 1
M



=  ,
( )
2 2
1 2
1
D






=
 − 




, а коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса имеют вид, соответственно
( )
( )
2 2
1 2
2 1
1 1,
V
D
C
M








 − 

=
=
=
−


(4)
( )
( )
3 3
1 2
1 3
2 2
1 2
3 2
,
S
A







 −   + 
=


 − 




(5)
( )
( ) ( )
( )
2 2
4 4
1 3
1 2
2 1
2 2
2 1
4 12 3
6
X
E










 −   +

 − 
− 
=


 − 




(6) Отметим, что вышеуказанные коэффициенты являются специальными мерами, позволяющими охарактеризовать форму и другие особенности функции распределения, в чем состоит важность их рассмотрения. В силу того, что все

52 перечисленные характеристики случайной величины

с функцией распределения
(1) включают в себя функцию специального вида
( )
x

, значения которой можно найти только численными методами, и требующими достаточно трудоемких вычислений, возникает проблема теоретического изучения распределения
Гнеденко-Вейбулла. Для исследования числовых характеристик данного распределения используем методы асимптотического анализа [43, 74] и теории рядов [117], еще со времен И. Ньютона и Г. Лейбница являющиеся мощным инструментарием-орудием математического анализа. Асимптотические разложения для математического ожидания, дисперсии, коэффициентов вариации, асимметрии и эксцесса. Все указанные выше выражения (3) – (6) являются некоторыми комбинациями от выражений вида
1
,
1, 2,3, 4
k
k
k




 +
= Нас интересует асимптотика числовых характеристик распределения
( , )
GW
 
при достаточно больших

. С этой целью найдем разложение вряд Тейлора функции
(
)
1 x
 + в окрестности действительной точки
0
x = :
(
)
( )
( )
( )
( )
2 3
1 1
1 1
1
...,
(
0)
1!
2!
3!
x
x
x
x
x






 +
= 
+
+
+
+
→ . Как известно, (1) 0! 1

= = . Требуется найти
( )
1


,
( )
1


,
( )
1


и т.д. Можно использовать для этой цели вспомогательную специальную функцию, тесно связанную с теорией Эйлеровых интегралов, которая представляет собой логарифмическую производную гамма-функции, и обозначаемую обычно через
( )
( )
( )
x
x
x



=

, называемую дигамма-функцией [74].

53 Номы пойдем другим путём. Известно разложение гамма-функции в бесконечное произведение Вейерштрасса [33, 117]:
1 1
1
( )
x
x
k
k
x
xe
e
x
k

+
−
=


=
+






, где
0,57721...

=
− постоянная Эйлера-Маскерони. Тогда
1 1
1 1
( )
(1
)
x
x
k
k
x
e
e
x
x
x
k

+
−
=


=
=
+



 +



, и, следовательно,
1 1
1 1
ln
1
ln 1 1
(1
)
1
x
k
k
k
x
x
x
x
e
k
k
k
x
x
x
k
k
x
x
e
e
e
e
e
e
k



−
+
+
=
=






−
+
+
−
+










−
−
−


=




 +
=
+
=

=






(7) В силу стандартного разложения функции ln(1
)
x
+ вряд Маклорена имеем
2 3
4 5
1 1
1 1
ln 1
...,
1 2
3 4
5
x
x
x
x
x
x
x
k
k
k
k
k
k
k


 
 
 
 
−
+
=
−
+
−
+



 
 
 
 


 
 
 
 Таким образом, получаем следующее соотношение
( )
( )
( )
2 3
4 5
1 1
1 2
2 1
2 1
1 1
1 1
1
ln 1 1
1 1
( )
2 3
4 5
n
n
n
n
n
n
n
k
k
k
n
n
k
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
k
k
k
k
k
k
n k
n
n
k
e
e
e
e
e

+
+
+ +
+
+
+
=
=
= =
=
=
=


 
 
 
 




 
−
+
−
+


−
+
−
−
−
 
 
 
 


 


 
 
 
 




 










=
=
=
=
, где
1 1
( )
s
k
s
k

+
=
=

− дзета-функция Римана, задаваемая в виде ряда Дирихле. Ввиду известного разложения функции
x
e вряд Маклорена получаем
( )
2
( )
2 1
2 3
4
(2)
(3)
1
(2)
1
(4)
2 3
4 2
n
n
n
n
x
n
e
x
x
x





+
=
−



= +
−
+
+
−




,
2 2
3 3
4 4
1 2!
3!
4!
x
x
x
x
e
x





−
= −
+
−
+
−
, и, следовательно, на основании правила перемножения рядов [33, 117] из (7) следует

54
( )
2 1
( )
2 2
3 3
2 3
2 2
3 3
(1
)
(2)
(3)
1 1
2!
3!
2 3
1 1
1
(2)
2 (3) 3
(2)
...,
2 6
n
n
n
x
n
n
x
x
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x













+
=
−
−

 +
=

=

 

= −
+
−
+
 +
−
+
=

 









= нов силу того что
2 2
1 см, например, [33]), в конечном итоге получаем разложение
2 2
2 2
3 3
1 1
(1
) 1 2 (3)
...,
2 6
6 2
x
x
x
x

 








 +
= где
(3)
1, 202...

=
− постоянная Апери, а
0,577...

=
− постоянная Эйлера-
Маскерони. Также получено полезное соотношение
2 4
2 3
4
(3)
1
(1
)
1
(4)
12 3
4 72
x
x
e
x
x
x





−




 +и, как следствие
2 4
2 3
4
(3)
1 1
1
(4)
12 3
4 72 Таким образом можно окончательно получить разложения фундаментальных характеристик (3)-(6) распределения Гнеденко-Вейбулла по обратным степеням параметра формы

до любого порядка малости, используя технику оперирования со степенными рядами [117]. В силу громоздкости полученных выражений ограничимся 3-4 слагаемыми в разложениях:

55 2
2 2
3 2
3 4
4 2
2 4
4 1
1 1
1 1
1 2 (3)
2 6
6 2
1 3
1 1
8
(3)
,
(
)
24 20
M
o













 









=
− +
+
−
+
+
+















+
+
+
+
+
→ 










(8)
(
)
2 2
2 2
4 2
2 3
4 3
2 4
2 2
5 5
1 1
1 29 1
2 (3)
4
(3)
6 3
3 360 1
1 40 29 720
(3) 140
(3) 1080 (5)
180 1
,
(
)
D
o


 








 

 
 









=
−
+
+
+
+
−











−
+
+
+
+
+




+
→ 




(9)
(
)
(
)
2 6
2 3
3 3
6 4
5 4
4 19 2160
(3)
1 6 (3) 1 1
120 6
(3) 1080
(3)
360
(5) 1 1
, (
)
20
V
D
C
M
o








 


 

 





−
=
=
−
+
−



+
+


−
+
→ 






(10)
(
)
(
)
2 6
3 2
3 6
4 4
2 2
11 2160
(3)
1 3
1 24 (3)
2 5
(3)
432
(3)
24
(5)
1 1
15
, (
)
S
A
o







 

 





−
=
+



−
−


−
−
+
→ 






(11)
(
)
2 4
2 8
2 6
2 2
1 6
(3)
20 (5) 1 27 72 5
1087
(3) 15120
(3)
3628800 (3) (5)
2 1
35 1
, (
)
X
E
o
 




 
 







+
=
+
−



−
−
−
+




+
→ 




(12)

56 где ( и

определены выше. Получим некоторые комбинированные функционально-степенные разложения для фундаментальных характеристик случайной величины

, имеющей распределение Гнеденко-Вейбулла
( , )
GW
 
. Эти разложения могут быть использованы для приближенных вычислений. Будем исходить из следующих классических соотношений, выполняющихся для всех
1

 (см. [33]; фактически, первое было нами доказано выше
2 1
( ) 1
ln
1
( 1)
n
n
n
n
n





+
=


 +
= − +
−





,
2 1
1 1
1
(2 1)
1
ln
1
ln
,
2
Sin (
)
2 1
n
n
n
n
 



 


+
+
=


+
 +
=
− После потенцирования первых двух перечисленных выше рядов, ограничившись разложениями вряд до членов порядка малости не больше пяти, которые выполняются при

→  , получаем
3 2
4 2
3 4
4 1
1 1
1
,
(
)
A
A
A
e
o








−






 +
=
+
+
+
+
→ 












, (13)
3 5
1 3
5 5
1 1
1 1
,
(
)
Sin (
)
B
B
B
o
 


 










 +
=
+
+
+
+
→ 












, (14) где
2 4
2 3
4
(2)
(3)
1
;
;
(4)
,
2 12 3
4 72
A
A
A







=
=
= −
=
+




3 2
1 3
5
(3)
(5)
(3)
,
,
3 2
5 2
B
B
B



 

= −
= −
−
= Таким образом, имеем два гибридных разложения для математического ожидания
( , )
GW
 
, выполняющихся при

→  :
3 2
4 2
3 4
4 1
1 1
1 1
1
,
A
A
A
M
e
o










−






=  +
=
+
+
+
+












(15)

57 3
5 1
3 5
5 1
1 1
Sin (
)
B
B
B
M
o
 


 








=
+
+
+
+








, (16) Также можно получить два соотношения для дисперсии (при

→  ):
2 2
3 2
4 2
2 2
3 4
4 6
2 14 1
1
,
A
A
A
A
D
e
o








−


−


=
+
+
+








(17)
2 2
2 2
4 2
2 1
3 1
1 3
1 2
2 3
4 4
7 6
2 1
1 6
3 12 160 96
Sin (
)
B
B
B
B B
B
D
o





 


 Доказательство приведено в Приложении Б. И, как следствие, получаем следующие асимптотические разложения для коэффициента вариации
( , )
GW
 
(при

→  ):
4 2
3 3
1 6 (3) 1 252 (4)
1 1
24 С 







+
=
−
+
+








, (18)
2 4
2 2
2 2
1 6 (3) 1 1 21 (4)
1 1
1 2
12 С Коэффициенты вариации
V
C

, асимметрии и эксцесса
X
E

, случайной величины

являются в силу задания безразмерной величиной. Данный факт позволяет использовать их в качестве универсальных количественных оценок распределения. В приложениях коэффициент вариации играет большую роль. Он содержит только параметр

(отсюда следует, что

представляет собой безразмерную величину. Учитывая, что (3) 1, 202


и
(5) 1, 037


, (см. [33]) получаем следующие аппроксимирующие формулы, выполняющихся при больших значениях

:

58 2
3 4
5 1
0,577 0,989 0,907 0,981 0,982 1
M










−
−
+
−
+




(19)
2 2
3 4
5 1
1, 645 4,303 11, 718 26,531
D









−
+
−




(20)
2 3
4 5
1, 282 0,937 1, 662 2, 753 4,855
V
C







−
+
−
+
(21)
2 3
4 5
5,966 12, 280 36, 224 106, 077 315,549 1,140
S
A






 −
+
−
+
−
+
(22)
2 3
4 5
27 28,918 152, 616 666, 448 2877,877 12120,831 5
X
E







−
−
+
−
+
(23) Указанные выражения предлагается использовать при инженерных расчетах для приближенного и упрощенного вычисления важных числовых характеристик распределения Гнеденко-Вейбулла. Заметим, что из (15) можно получить совсем грубое, но вполне имеющее практическую значимость, приближение для математического ожидания случайной величины
( , )
GW

 
:
2 2
1 1
,
12
M
e






−



+




(24) меру точности которой приведем далее. Оценки точности полученных аппроксимаций Для оценки степени точности полученных аппроксимирующих соотношений был использован профессиональный компьютерный математический пакет

59
Wolfram Mathematica [149]. На основании численных расчетов, выполненных в указанном пакете, была исследована степень точности полученных приближенных равенств (19) и (21) с учетом количества членов данных разложений. Результаты сведены в Таблицу 1 значений относительной погрешности Таблица 1.
Таблица значений относительной погрешности аппроксимирующих формул количество членов

5 4
3 5
4 3
1,5 5,79