Модели и методы. Модели и методы построения вероятностно статистических оценок для мониторинга показателей надёжности в диспетчерском управлении транспортом газа
 Скачать 3.85 Mb.
|
|
2.4. Теоретическое описание процессов деградации в терминах показателей надёжности Вопросы энергетической безопасности и надёжности в нефтегазовой отрасли напрямую зависят от возможности математического моделирования деградационных процессов, протекающих в трубопроводном транспорте углеводородов. Они всегда будут в приоритете, поскольку месторождения 2 3 4 5 6 7 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 80 переходят в стадию падающей добычи, основные производственные фонды стареют, оборудование изнашивается. При этом уровень обязательных поставок углеводородного сырья все более увеличивается. Скорость износа и старения определяется режимами работы и интенсивностью воздействия различных факторов (природные условия. Оценка скорости протекания процесса деградации во времени является необходимой для решения задач надёжности. Различные режимы работы, уровень нагрузок, диапазон (перепады) температур, скоростей, химических или атмосферных воздействий окружающей среды, запыленности и влаги воздуха, наличие агрессивных сред оказывают значительное влияние на скорость протекания процессов деградации и старения. Износ систем можно существенно замедлить своевременным проведением профилактических ремонтов и технических обслуживаний, которые следует осуществлять на основе системного мониторинга показателей надёжности технологического оборудования. Суть методов расчета технологических объектов на надёжность сводится к определению целого комплекса количественных характеристик показателей надёжности [49, 56, 94]. Конечно же, в основе потери системой работоспособности лежат физические закономерности, нов силу разнообразия и переменности действующих факторов эти зависимости приобретают вероятностный характер и для решения задач надёжности необходимо знать закономерности изменения выходных параметров технологических система также их элементов во времени и представить совокупность явлений, происходящих при эксплуатации технологических систем, которые происходят при различных режимах нагружения. Необходима удобная вероятностная модель, пригодная для инженерных расчётов, которые подразумевают удобство и простоту вычислений, интуитивную наглядность интерпретации результатов анализа надёжности. Закон распределения времени до отказа Гнеденко-Вейбулла как рази представляет такую модель. Технологические системы имеют регламентируемый цикл работы и простоев, являются восстанавливаемыми (ремонтируемыми) изделиями и работают до предельного состояния, указанное в нормативно-технической 81 документации. Нов пределах отдельного интервала работы для восстанавливаемых систем справедливы все показатели надёжности, описывающие работу невосстанавливаемых объектов, если считать за начальный момент времени начало интервала. Соответственно, существует определенная зависимость между показателями надёжности восстанавливаемых и невосстанавливаемых объектов в силу двойственного подхода к функционированию объектов системы транспорта газа сточки зрения показателей теории надёжности. Она естественным образом может быть описана с помощью аппарата теории восстановления [60, 89], о чем будет речь в Главе 3. На данном этапе диссертационной работы можно рассматривать пару надёжностных показателей, на языке которых очень удобно и наглядно описываются процессы деградации, особенно в рамках модели Гнеденко-Вейбулла распределения отказов. Это функция интенсивности отказов ( ) t и функция средней остаточной наработки ( ) t Средняя остаточная наработка до отказа ( ) t позволяет удобно классифицировать распределения времени жизни объекта сточки зрения процессов старения (деградации) в зависимости от выполнения свойства монотонности функции ( ) t [21]. В отличие от функции интенсивности отказов функция ( ) t часто выражается сложным образом для многих известных распределений времени жизни объекта [3, 4]. Основное преимущество функции средней остаточной наработки ( ) t перед функцией интенсивности отказов ( ) t состоит в следующем. Кривая ( ) t имеет очевидный наглядный смысли достаточно просто вычисляется, но статистическое оценивание ( ) t весьма нестабильно, неустойчиво. Напротив, статистические свойства оцениваемых средних намного устойчивее и стабильнее, чем их производные характеристики, к коим относится ( ) t . Таким образом, информация, содержащаяся в ( более надёжная и достоверная. 82 Но существует еще один показатель надёжности, необходимый для дальнейшего рассмотрения параметр потока отказов, а также связанная с ним ведущая функция потока отказов, которым будет посвящена Глава 3. Соотношения, характеризующие протекание процессов деградации Резюмируем ряд соотношений, характеризующих процессы деградации с позиций ( , ) GW , в том случае, когда 2 : 1 1 2 ( ) 1 1 1 2 , ln , , ( ) 1 ( ) crit crit t t t t t F t − − − (48) Действительно, из (1) следует, что 1 ln ln 1 ( ) ln( ) F t t − = , а значит, верна цепочка неравенств 2 1 1 2 ln ln 2 ln( ) ln ( ) 1 ( ) 1 ( ) t t F t F t − − 1 1 ln 1 ( ) t F t − при 1 1 t t , ввиду того, что 2 ( ) ( ) ln( ) 2 ln( ) ln( ) 0 1 t t t t t t 2.5. Связь распределения Гнеденко-Вейбулла с распределением Гаусса Исследование границ параметра формы для нормальной аппроксимации распределения Гнеденко-Вейбулла позволяют определить реальные границы 83 применимости распределения Гнеденко-Вейбулла, отсекая ту область, где хорошо применяется нормальный закон и те прикладные задачи, которые решаются в предположении выполнения нормального закона распределения. К тому же как отмечено в зарубежной литературе, что распределения, которые аппроксимируются при помощи нормального распределения, можно рассматривать как распределения, которые сами аппроксимируют нормальное распределение Впервые самостоятельный интерес к нормальной аппроксимации распределения Гнеденко-Вейбулла возник в 1960 [132] при одном только значении параметра формы распределения Гнеденко-Вейбулла 3, 25 . Позже В. Вейбулл в 1961 высказывался о близости распределений принадлежащем выборе параметров распределений [26]. В обширной статье [132] S. Dubey был рассмотрен диапазон (3, 25; 3,61) значений параметра , при которых нормальный закон распределения может быть приближен распределением Гнеденко-Вейбулла. В качестве вероятностной меры близости бралась равномерная метрика (или метрика Колмогорова, как принято в зарубежной литературе [27]). Подгонка параметров распределений осуществлялась в ручном режиме с использованием ЭВМ и только для четырех значений параметра Эмпирическим путем в пакете Wolfram Mathematica было установлено, что распределение Гнеденко-Вейбулла с заданными математическим ожиданием и дисперсией D удовлетворительно аппроксимируется в среднеквадратичной метрике нормальным законом распределения 2 ( , ) a N с параметрами a M = и D = . Отметим, что размерности a и остались прежними. Таким образом 2 ( , ) ( , ) GW a N , где 1 1 1 a = + , 2 3 2 1 1 1 = + − + 84 Указанная аппроксимация имеет ограничение назначения параметра формы 3, 25 5 . Отметим, что найденная аппроксимация улучшает результаты Dubey [132] и Cui, Xie [130], уменьшая погрешность рассматриваемого приближения (см. Таблицы 3 и 4), и расширяет диапазон для параметра формы 3, 25 5. К тому же указанные выше авторы рассматривали значение параметра масштаба только , равное 1. В нашем случае значение это любое положительное число. Отметим, что указанную нижнюю границу для значений параметра , можно получить исходя из свойств, характерных для нормального распределения • попарное равенство (примерное) между собой математического ожидания, моды и медианы, что возможно при 3, 26 ( ) Mo Me , 3,31 ( ) Mo M , 3, 44 ( ) Me M • очевидного соотношения для коэффициентов асимметрии (5) и эксцесса (6): 0 S A и 0 X E , возможных при 3, 60 и 3, 25 , соответственно. Также из наглядных соображений понятно, что нормальная аппроксимация распределения Гнеденко-Вейбулла имеет смысл, когда выполнено условие 2 1 2 1 3 0 1 3 1 1 0 M D − + − + − + , что возможно при Все численные расчеты были выполнены в среде Mathematica. Таблица 3 Значения 2 ( , ) ( , ) 0 sup ( ) ( ) GW a x F x F x по Dubey (1967) 2 ( , ) ( , ) 0 sup ( ) ( ) GW a x F x F x − N 3,25899 0,0105 0,0177 (+68%) 3,31125 0,0099 0,0126 (+27%) 3,43938 0,0088 0,0102 (+16%) 3,60232 0,0078 0,0073 (-6%) 85 Таблица 4 Значения 2 ( , ) ( , ) 0 sup ( ) ( ) GW a x F x F x по Cui, Xie (2003) 2 ( , ) ( , ) 0 sup ( ) ( ) GW a x F x F x − N 3,0 0,0144 0,0197 (+37%) 3,5 0,0084 0,0092 (+9%) 4,0 0,0115 0,0098 (-15%) 4,5 0,0168 0,0156 (-7%) 5 0,0240 0,0214 (-11%) 7 0,0344 0,0389 (+13%) 10 0,0450 0,0536 (+19%) На Рисунке 17 для наглядности приведены сравнительные графики плотностей и функций распределений Гнеденко-Вейбулла и нормального закона. Рисунок 17. Сравнительные графики плотностей и функций распределения данного распределения Гнеденко-Вейбулла и аппроксимирующего его нормального распределения ( 3, 4 = = ). Вычисления в профессиональном пакете Wolfram Mathematica дают меру отклонения в среднеквадратичной метрике для значений параметров 3, 4 = = : 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 0 1 0, 0241 2 t a t t e e dt − − + − − − 86 Замечание 1. Найденная зависимость между параметрами дает возможность получить нормальную аппроксимацию суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин k , подчиненных закону распределения Гнеденко-Вейбулла с параметрами и 2 2 1 3 1 1 2 1 1 ; 1 1 n k k N n = + + − Замечание 2. Также возможна аппроксимация кривой интенсивности отказов для нормального распределения с помощью распределения Гнеденко- Вейбулла с учетом зависимостей между их параметрами. Известна зависимость для функции интенсивности отказов для нормального распределения [78, 124]: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( , ) ( ) 2 1 2 ( ) 0,5 t a t a a x a t e e t t a e dx − − − − − + − = = − − Для больших значений времени t интенсивность отказов имеет асимптоту 2 ( , ) ( ) , ( , ) a t a t t t a − → Теперь мы можем при известных значениях параметров нормального закона a и из системы 2 3 1 1 1 , 2 1 1 1 a = + = + − найти численными методами значения параметров и . После чего можно найти интенсивность отказов для нормального распределения 87 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 1 2 3 2 ( , ) 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 2 ( ) 2 t a t a t t e t e e − − − + − + + − + − = N , где 2 3 2 1 1 1 = + − Метод максимального правдоподобия для выборок, распределенных по закону Гнеденко-Вейбулла Общепринятыми, классическими методами получения статистических оценок параметров распределения в классической математической статистике являются графический метод вероятностной бумаги или метод наименьших квадратов метод моментов метод максимального правдоподобия [17, 46, 64, 121]. Метод получения графических оценок основан на графической линеаризации функции распределения Гнеденко-Вейбулла путем введения логарифмической шкалы аргумента и двойной логарифмической шкалы функции 1 ln ln ln ln 1 ( ) i i t F t угловой коэффициент полученной таким образом прямой является оценкой параметра , по которой затем легко находится оценка . Данный метод позволяет находить оценки параметров распределения непосредственно по статистическому ряду без вычисления его моментов. Графический метод требует точных графических построений (особенно для в диапазоне 0, 2 1,5 − ) (см. [58]). Отметим, что полученные поэтому методу статистические оценки можно использовать в качестве начального приближения для искомых параметров в методе максимального правдоподобия. Кроме того, в результате использования данного метода появляется возможность наглядной проверки согласия 88 эмпирических данных применяемому теоретическому закону распределения, в нашем случае закону Гнеденко-Вейбулла. Метод моментов состоит в приравнивании значений выборочных начальных моментов данной выборки и теоретических моментов закона распределения, реализацией которого является исходная выборка. Это исторически первый общий метод оценивания неизвестных параметров, предложенный английским математиком и биологом К. Пирсоном в 1894 г. Система уравнений в методе моментов во многих случаях проста сточки зрения решения вычислительными методами численного анализа. Зависимость моментов распределения Гнеденко-Вейбулла от его параметров очень сложна (включает в себя комбинации гамма-функций), поэтому рассчитаны специальные таблицы, связывающие моменты с параметрами распределения Гнеденко-Вейбулла. Возникает только естественный вопрос об однозначном определении распределения вероятностей по последовательности ее моментов, в частности, для распределения Гнеденко-Вейбулла. Данная проблема будет подробно освещена в следующей главе, тоже по необходимости. Методом, который наилучшим образом использует информацию о параметрах, содержащихся в наблюдаемых данных, является метод максимального правдоподобия (ММП), наиболее универсальный метод оценивания параметров распределения. В работах Р. Фишера, популяризировавшего данный метод, было показано, что для многих задач самой различной статистической природы ММП дает хорошие результаты. Широкие границы применимости оценок максимального правдоподобия связаны сих хорошими асимптотическими свойствами, в частности, состоятельности, несмещённости и эффективности. В Приложении В рассмотрен ММПдля однократно цензурированной слева выборки, распределенной по закону Гнеденко-Вейбулла. Там же приведено доказательство существования и единственности решения уравнений правдоподобия для полной выборки. Результаты этого раздела опубликованы в [82], [83], [84] и [87]. 89 Выводы по главе 2 1. Приведено обоснование применение модели двухпараметрического распределения отказов Гнеденко-Вейбулла ( , ) GW (модель слабого звена) для описания жизненного цикла функционирования объектов ГТС. 2. Представлен системный подход к получению статистических оценок фундаментальных числовых характеристик распределения Гнеденко-Вейбулла ( , ) GW с позиций ускоренных расчётных схем. 3. Рассмотрен вопрос нормальной аппроксимации распределения Гнеденко-Вейбулла ( , ) GW с указанием конкретной зависимости между параметрами распределений ( , ) GW и 2 ( , ) a N 4. Изложена схема деградационных процессов на заключительном этапе жизненного цикла функционирования объектов газотранспортной системы в терминах кривой интенсивности отказов и средней остаточной наработки до отказа. 5. Получено детальное описание случайной величины остаточной наработки (остаточного времени безотказной работы, а именно найдены разложения и асимптотические представления математического ожидания, дисперсии и коэффициента вариации в пакете символьной математики Mathematica. 6. Приведено доказательство существования и единственности решения уравнений правдоподобия нахождения оценок распределения Гнеденко-Вейбулла ( , ) GW в методе максимального правдоподобия. 7. Получена система уравнений правдоподобия для однократно цензурированной слева выборки из распределения Гнеденко-Вейбулла ( , ) GW в методе максимального правдоподобия. |