Модели и методы. Модели и методы построения вероятностно статистических оценок для мониторинга показателей надёжности в диспетчерском управлении транспортом газа
 Скачать 3.85 Mb.
|
|
. Далее, в силу того что для распределения Гнеденко–Вейбулла 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 0 2 0 0 0 ( ) ( ) t t t d L f s d t e d d t e d e d s − − − − − − = − = − = ( ) 0 0 1 1 1 1 1 1, ( ) 1 , ( ) ( ) 1 , ( ) , t d t t d tF t t + = − + = − + где 0 1 ( , ) x a t t e dt a x − − = – неполная гамма- функция Эйлера, ввиду равенств ( ) 1 0 1 1 , ( ) t e d t − + + = , ( ) ( ) 0 1, ( ) ( ) t z t e dz F t − = = , окончательно получаем следующее представление 114 ( ) ( ) 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 , ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ... 1 ( ) 1 1 , ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ... 1 ( ) 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ... H t F t d t F t t d F t d F t d F t d F t d t t d F t d F t d F t d d t F t t d F t d F t d F t = + − + + − + + + = + − + + − + + + = = − +где коэффициенты определены выше. Другая запись полученного соотношения 0 1 2 3 4 1 1 1 ( ) ( ) 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ... d H t F t t d t d F t d F t d F t = + − +Осталось только еще удостовериться в том, что полученное соотношение согласуется с асимптотической формой функции восстановления [59], которая в наших обозначениях имеет вид (см. (Рис. 22)): 1 1 1 ( ) 1 (1), H t t d o t = + − + → (68) 3.3. Комбинированный метод дискретизации Ритца–Галеркина численного решения уравнения восстановления, получение рекуррентных формул Для численного решения уравнения восстановления (50) в работе используется дискретизация интегрального уравнения, как в методе Ритца в вариационных задачах или в методе Галеркина [55]. Обычный метод дискретизации интегрального уравнения [12] состоит в использовании квадратурных формул, которые применяются ко всей подынтегральной функции. Для уравнения восстановления (50) дискретизация уравнения (прямой RS- метод) была рассмотрена в статьях [152,153], с использованием значений первой подынтегральной функции в середине отрезка разбиения. В статье [147] получены 115 алгоритмы дискретизации уравнения (50) методами типа метода трапеций и метода Симпсона. Используемая в настоящей работе дискретизация состоит в применении соответствующего алгоритма только к неизвестной функции, стоящей под знаком интеграла, а интегралы от ядер операторов вычисляются в пакете Wolfram Mathematica. Таким образом, решение ищется как в методе Ритца- Галеркина виде линейной комбинации соответствующих базисных функций. Точность аппроксимации решения достигается не за счет использования более сложных базисных функций, как в методе Галеркина, аза счет более мелкого разбиения области. Такая дискретизация функционалов с использованием кусочно - полиномиальной аппроксимации называется также методом конечных элементов [106]. Дискретизация по методу Галеркина с использованием кубических сплайнов была рассмотрена в работе [131]. Однако счёт для большого числа точек разбиений по предложенной в этой работе схема затруднителен из-за большого массива данных в оперативной памяти компьютера. Дискретизация интегрального уравнения восстановления по методу Ритца– Галеркина позволяет получить систему линейных уравнений простого треугольного вида, решение которой выписывается в рекуррентном виде. Так что численные расчеты на обычных персональных компьютерах можно производить с большой скоростью для любого числа точек разбиения, обеспечивающих необходимую точность вычислений. При обычной дискретизации из-за большой размерности массива коэффициентов соответствующей системы линейных уравнений счёт для большого числа точек разбиения делать затруднительно. Получение рекуррентных формул в методе дискретизации Рассмотрим три способа дискретизации уравнения (50). Разделим рассматриваемый отрезок времени max [0, ] t на n равных частей точками 0 1 0 0 0, , , n t t t t t n = = + = + , где – шаг разбиения. Базисные функции, 116 используемые для дискретизации уравнения Вольтерра в первом и третьем способах, были рассмотрены ранее в работе [105]. Используемый нами алгоритм решения линейных систем, позволяет решать системы большой размерности, тем самым получать аппроксимацию решений с необходимой точностью. В результате численных экспериментов получено также, что наиболее оптимальным является второй способ дискретизации, так как при первом способе сходимость к точному решению хуже, а при третьем способе – счёт для большого числа точек разбиения требует много машинного времени. 1. Метод правых узлов Будем искать решение ( ) t уравнения (50) в виде суммы кусочно-постоянных функций равных на каждом отрезке разбиения 1 k k t t t − значению искомого решения в правой точке k t разбиения ( ) k k u t = , также как в квадратурном методе прямоугольников. В качестве базисных функций возьмем характеристические функции ( ) k I t равные 1 при 1 k k t t t − и нулю в остальных точках, тогда приближенное решение ищется в виде 1 ( ) ( ) n k k k u t u I Найдем решение по первому способу. Подставим точки разбиения в уравнение (60), заменив ( ) t на ( ) k k t u = . 0 0 (0) , u f f = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , t t u f t u f t s ds t s r f t u f r dr u f u K = + − = − = где 1 1 1 1 0 ( ), ( ) t f f t K f r dr = = 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 2 2 1 2 0 0 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , t t t t t t t t t t t u f t u f t s ds u f t s ds t s r f t u f r dr u f r dr f t u f r dr u f r dr u f u K u K − − = + − + − = − = = = + + = + + = + + 117 где 2 1 2 2 2 ( ), ( ) t t f f t K f r В общем случае 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n n n n n n t t t n n n n n n n t t t t t n n t t n n n n n u f t u f t s ds u f t s ds u f t s ds t s r f t u f r dr u f r dr u f r dr u f u K u K u K − − − − − = + − + − + + − = − = = = + + + + = + + + +где 1 ( ), ( ) n n t n n n t f f t K f r Решение по первому способу задается рекуррентными формулами 0 0 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 , / (1 ), ( ) / (1 ), ( ) / (1 ). n n n n n u f u f K u f u K K u f u K u K u K K − − = = − = + − = + + + +где 0 0 (0) , u f f = = 1 1 1 0 ( ), ( ) , ( ) n n t t n n n t f f t K f r dr K f r dr − = = = 2. Метод средних. Положим значение приближённого решения ( ) u t на k - ом отрезке равное среднему значению 1 ( ) ( ) 2 k k k t t u − + = , (см. Рисунок 18). Приближенное решение, соответственно, ищется в виде 1 ( ) ( ) n k k k u t u I t = = 118 Рисунок 18. Метод средних При втором способе дискретизации заменим ( ) t на соответствующем отрезке средним 1 2 k k k u u u + − = . Соответственно модифицируется система рекуррентных формул 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 , ( ) / (1 ), 2 2 ( ) / (1 ), 2 2 2 2 ( ) / (1 ). 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n u f u K u f K u u u K u f K K K u u u u u u K u f K K K K K K − − − − = = + − = + + + − = + + + + + + + + − 3. Линейные сплайны. В качестве приближённого решения на k -ом отрезке ( ) k u t выберем интерполяционные многочлены Лагранжа первой степени, которые в узлах равны значениям решения 1 1 ( ), ( ) k k k k u t u t − − = = 1 1 1 1 ( ) k k k k k k k k k t t t t u t u u t t t t − − − − − − = + − − 119 Таким образом, на каждом отрезке разбиения искомое решение заменяется линейной функцией, те. рассматривается приближение решения ( ) t ломаной. Обозначим 1 ( ) k k k k k t t t t l Тогда 1 1 ( ) ( ) ( ). k k k k k u t u l t u Для линейных функций k l справедливо при m k равенство ( ) ( ) ( ). k m m k m k k m m k t t t t t t t t l t t l t − − − + − − + − − = = = − = − (69) Из уравнения (50) 0 0 (0) , u f f = = далее при 1 t t = , учитывая равенство (69), имеем 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 10 1 11 ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t u f t f t s u l s u l s ds t s r f t f r u l t r u l t r dr f u f r l r dr u f r l r dr f u G u G = + − − = − = = + + − − − = − + = Отсюда 1 11 1 0 10 (1 ) , u G f u G − = − Подставим в уравнение n t t = : 1 2 1 1 1 1 2 0 1 1 0 1 2 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 2 1 ( ) ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) n n n n n t t n n n n t t n n n n n n n t t t n n n n t t u f t f t s u l s u l s ds f t s u l s u l s ds f t s u l s u l s ds t s r f f r u l t r u l t r dr f r u l t r u l t r dr − − − − − − = + − − + − − + + + − − = − = = + + − − − + − − − + + 1 1 1 0 ( )( ( ) ( )) n t n n n n n n f r u l t r u l t r dr − − + − − − = 120 1 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1 22 10 11 ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) , n n n n n n n n t t n n n t t t t n n t t t t n n n n n n n n n n n f u f r l r dr u f r l r dr u f r l r dr u f r l r dr u f r l r dr u f r l r dr f u G u G G u G G u G − − − − − − − − − − − − − − = − + − − + − − − + = = − + − + +где 1 ( ) ( ) k k t kj j t G f r l r Таким образом, 11 0 1 1 1 2 1 22 10 (1 ) ( ) ( ). n n n n n n n n n u G f u G u G G u G G − − Итак, система уравнений имеет вид 0 0 1 11 1 0 10 2 11 2 0 21 1 22 10 11 0 1 1 1 2 1 22 10 , (1 ) , (1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ). n n n n n n n n n u f u G f u G u G f u G u G G u G f u G u G G u G G − − − − = − = − − = − + − − = − + − + +Окончательные рекуррентные формулы для приближенного при приближении линейными сплайнами решения имеют вид 0 0 1 1 0 10 11 2 2 0 21 1 22 10 11 0 1 1 1 2 1 22 10 11 , ( ) / (1 ), ( ( )) / (1 ) ( ( ) ( )) / (1 ). n n n n n n n n n u f u f u G G u f u G u G G G u f u G u G G u G G G − − − − = = − − = − + − − = − + − + + − − где 1 ( ) ( ) , k k t kj j t G f r l r dr − = 1 ( ) k k k k k t t t t l t t t − − − = = − 121 Рисунок 19. Линейные сплайны ( Проверка приближенных методов на тестовом распределении Рэлея Полученные алгоритмы были проверены на контрольных примерах с использованием профессионального математического пакета Wolfram Mathematica. Погрешность приближенного решения определяется не только построенным алгоритмом, но также погрешностью численного интегрирования в пакете Wolfram Mathematica, равной 15 10 − . Отметим, что при больших значениях t погрешность решения контролируется известным в теории восстановлений ([60], стр) асимптотическим значением параметра потока 1 lim ( ) , t t T → = (70) где T – среднее время между отказами. Так, для распределения Рэлея (плотность распределения 2 ( ) 2 t f t te − = ) 1, 3 2 1 1 T = (на Рисунке 20 – прямая зеленого цвета, при 20 точках разбиения получены следующие кривые 122 Из графиков на рисунке 17 видно, что приближение линейными сплайнами и метод трапеций даёт одно и тоже решение, которое близко к приближенному решению, полученному методом производящих функций моментов. Рассмотренные приближённые решения быстро сходятся к предельному значению параметра потока (70). Отметим, что для квадратурных формул совпадение приближений по методу трапеций и линейными сплайнами следует из геометрических соображений, т.к. вычисляется площадь трапеции двумя способами по формуле и с помощью интеграла. Метод прямоугольников для рассмотренного числа точек разбиения (20) даёт большую погрешность при 1 t . Однако, увеличение числа точек разбиения до 200 даёт практически совпадение приближённых решений (Рисунок 21), найденных рассмотренными выше методами прямоугольников, трапеций, аналитическим. Время счёта при таком разбиении, как показывает опыт, составляет 2-3 секунды. Рисунок 2 Рисунок 20. Графики параметра потока отказов для распределения Рэлея, полученные дискретизацией (20 точек) и аналитическим методами Рисунок 21. Графики параметра потока отказов для распределения Рэлея, полученные дискретизацией (200 точек) и аналитическим методами 123 Аналитический и численный методы нахождения функции восстановления W.L. Smith и M.R. Leadbetter [146] разработали метод для вычисления функции восстановления для распределения Гнеденко-Вейбулла с помощью разложения в степенной ряд для 1, численное вычисление этого ряда ограничено малым диапазоном t . A. G. Constantine ив представили метод вычисления ( ) H t с помощью вычетов, позволяющих получить представление для ( ) H t равномерно сходящимся рядом затухающих экспоненциальных членов. В статье [138] была предложена оценка функции восстановления, основанная на первых трех моментах распределения, уточняющая асимптотическую формулу (68). Получен также ряд других приближений, таких как L. Cui и M. Xie [130], E. Smeltink и R. Dekker [145], S. Maghsoodloo и D. Helvaci [139], изучавших функцию восстановления для нормального, гамма, равномерного распределений времени жизни. На Рисунке 22 для сравнения представлены различные аппроксимации функция восстановления для распределения Рэлея. Сравнение графиков функций восстановления, полученных для распределения Рэлея методом вычетов [129] и методом производящих функций моментов, представленных в диссертационной работе, показывает совпадение результатов (Рисунок 23). Метод производящих функций моментов Метод линейных сплайнов Метод правых узлов Метод средних Асимптота Смита 0.5 1.0 1.5 2.0 0.5 1.0 Рисунок 22. Аппроксимации функции восстановления для распределения Рэлея |