Модели и методы. Модели и методы построения вероятностно статистических оценок для мониторинга показателей надёжности в диспетчерском управлении транспортом газа
 Скачать 3.85 Mb.
|
|
3.1. Зависимость между показателями надёжности восстанавливаемых и невосстанавливаемых объектов с позиций теории восстановления Как было отмечено в п. 2.4. технологически активные элементы системы газоснабжения можно рассматривать как с позиций ремонтнопригодных, таки неремонтнопригодных объектов. Для наглядности можно рассмотреть следующий пример. Автомобиль, очевидно, представляет собой восстанавливаемый объект его всегда починят в автосервисе. Нов момент движения, на пути в аэропорт, к примеру, автомобиль, уже необходимо рассматривать как невосстанавливаемый. Поломка – аварийный останови свою функцию он не выполнит Параметр потока отказов ( ) t характеризует надёжность восстанавливаемых систем. Это есть отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки [75]. Время восстановления, при этом, не учитывается. Как говорят, происходит мгновенное восстановление. Для таких объектов моменты отказов на оси суммарной наработки или на оси непрерывного времени образуют поток отказов. В качестве характеристики потока отказов используют ведущую функцию ( данного потока – математическое ожидание числа отказов за время t : ( ) ( ( )) t M n t = , где ( ) n t – число отказов за время t . Тогда по определению имеем ( ) ( ) t t = , или, что тоже самое 0 ( ) ( ) t t d = 91 Статистически параметр потока отказов определяется по формуле (см. [75]): 1 0 ( ) ( , ) n t t t N t = , (49) где 1 ( ) n t – общее число отказов восстанавливаемого объекта за интервал времени ; 2 В терминах теории процессов восстановления или просто теории восстановления, которая возникла и весьма плодотворно развивалась на почве задач теории надёжности, мы имеем дело с плотностью восстановления ( ) h t и функцией восстановления ( ) H t , соответственно. Отметим, что одним из наиболее важных вопросов в приложениях процессов восстановления является исследование асимптотического поведения функции восстановления [88]. 3.2. Аналитический способ решения интегрального уравнения восстановления, обобщение на случай произвольного распределения Для рекуррентных потоков, или потоков с ограниченным последействием, следующее интегральное уравнение Вольтерра устанавливает соотношение между параметром потока отказов ( ) t и плотностью распределения времени работы между отказами ( ) f t см. [75, 78]): ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t t f t f t d = + − (50) Уравнение (60) называется уравнением Вольтерра второго рода типа свертки с разностным ядром [55, 65]. Из общей теории интегральных уравнений известно, что интегральное уравнение Вольтерра (50) при условии непрерывности ядра ( ) f t всегда имеет решение Решение уравнения (50) можно найти аналитически или средствами численного анализа. Отметим, однако, что аналитическое решение уравнения восстановления в замкнутом виде можно найти только для экспоненциального распределения. Обычно используется представление решения 92 рядом. Обзор соответствующих работ имеется в статье [147]. Для распределения Гнеденко-Вейбулла в работе [146] получено представление функции восстановления степенным рядом, имеющим хорошую сходимость для малых 2,5 t . Исследователи Constantine и Robinson [129] для распределения Гнеденко- Вейбулла получили решение в виде экспоненциального ряда по вычетам преобразования Лапласа плотности распределения, для приближенного вычисления которого требуется около 500 членов [143]. Используя аппроксимацию распределения Гнеденко-Вейбулла нормальным распределением, в статье [130] дано представление функции восстановления в виде ряда по функциям Лапласа стандартного нормального распределения при значении параметра формы 3 . Решим уравнение (50) относительно ( ) t , используя методы операционного исчисления [69] и теории рядов [117]. Пусть ( ) s и ( ) f s обозначают преобразования Лапласа от функций ( ) t и ( ) f t , соответственно. Иными словами, 0 ( ) ( ) st f s e f t dt + − = , где s , те. является комплексным числом. Заметим [107], что преобразование Лапласа для неотрицательной непрерывной случайной величины с плотностью ( ) f t представляет собой производящую функцию моментов, так как 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ! ! n n st n n n n st s f s e f t dt f t dt n n + + + + − = = − = = = − , (51) где n – начальный момент случайной величины с плотностью ( ) f t порядка n : 0 ( ) n n t f t dt + = , Рассмотрим выражение для плотности вероятности отказав виде ( ) 1 , 0 ( ) 0, 0 t t e t f t t − − = (52) 93 представляющее собой двухпараметрическое распределение Гнеденко-Вейбулла с параметром формы 0 и параметром масштаба 0 . Найдем преобразование Лапласа для данного распределения в терминах производящей функции моментов. Имеем ( ) 1 0 1 ( ) 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) x z x e dx dz x d x dz d x x + − − − = = = = = + = 1 ( ) 1 ( ) 0 0 1 0 ( ) 1 1 ( ) n n t n t n n z n t t e dt t e dt z t n z e dz dz t dt + + − − +− − + − − − = = = = = = = + = Таким образом, 0 ( 1) ( ) 1 ! n n n n s f s n + = − = + , (53) где s . Исследуем данный степенной ряд на сходимость в области комплексных чисел в зависимости от значений параметра + . Найдем радиус сходимости ряда R , используя функциональное свойство и асимптотическое разложение для гамма-функции Эйлера 1 n n n + = , 1 2 1 ( ) 2 1 , ( ) x x x e x o x x − − = + → + , ( ) ( ) 1 2 1 ( ) 2 , ( ) n n n n n ne n n − − + = → + , где 1 Следовательно, 94 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) 1 ! lim lim 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)! ( 1) lim lim ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) n n n n n n n n n R n n n n n n n n n n n n n n ne n ne n e − − − + − + − − + − + + + = = →+ →+ − + + + + + + + →+ →+ + + + = = = = 1 2 lim lim 1 1 0, 1 1 lim , 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) n n n n n n n n e n n e n n n n n − − →+ →+ + + = = →+ + = = + + = + = = Итак, при 1 указанный ряд сходится абсолютно везде в области комплексных чисел, а при 1 ряд сходится в окрестности нуля s . Предельная ситуация 0 s → соответствует случаю t → , который нас интересует в первую очередь. Заметим, что соотношение (60) на языке преобразования Лапласа имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) s f s s f s = + . (54) Откуда получаем, что 0 0 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ! ( ) ! ( ) 1 ( ) ( 1) ( 1) 1 ! ! n n n n n n n n n n n n n n n s s n f s n s f s n s s n n + + = = + + + = = − + − = = = − − − − + (55) Применим технику деления бесконечных рядов для нахождения разложения ( ) s в (55). 0 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ! ! ( ) ( 1) ( 1) ! ! n n n n n n n n n n n n n n n n s s n n s s s n n + + = = + + + = = − + − = = = − − − 95 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ! ! n n n n n n n n s s s n n + + − = = = − − = Найдем ряд, обратный к 1 1 ( Будем искать его в виде 2 3 1 0 3 1 1 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ! n n n n n n n n c c c c c s s s s s n + − − + − = = = + + + + Отсюда следует, что 1 1 1 1 1 1 1 ( или 2 3 4 2 3 4 3 5 0 3 1 2 4 1 2 4 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1! 2! 3! 4! 5! c c c c c s s s s s s s s = − + − + − + + + + + + Получаем бесконечную систему линейных уравнений относительно коэффициентов n c : 0 1 0 0 2 0 1 1 0 3 0 2 1 1 2 0 4 0 3 1 2 2 1 3 0 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 1 1 0 1 1 2 2 3 2 1 1 0 1, 0, 0, 0, 0, 0, ... ( 1) ( 1) 0, n n n n n n n n c c m c c m c m c c m c m c m c c m c m c m c m c c m c m c m c m c m c c m c m c m c m c m c + + − − − − − = − − = − + = − + − = − + − + = − + − + − = − + − + + − − где 1 2 , 0,1, 2,3... ( 2)! k k k m k k + = = + 96 Введем обозначение 0 n n A c + = = . Тогда из указанной системы уравнений, рассматривая её по столбцами сложив все её строки, получаем соотношение 1 0 2 1 3 1 2 1 4 1 1 2! 3! 4! A − + − + = или ( ) 0 1 2 3 1 1 A m m m m − + − + = − . Следовательно, 1 2 0 0 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 2)! k k k k k k k A m k + + + = = = = − + − − +Докажем, что ряд 1 2 0 0 ( 1) ( 1) ( 2)! k k k k k k k m k + + + = = абсолютно сходится в случае распределения Гнеденко-Вейбулла. Действительно, 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 1 ( 1) ( 2)! ( 2)! k k k k k k k k k k k k m m k k + + + + + + = = = = + + + − = = = + + , в силу того, что 1 1 k k k = +Для обоснования сходимости полученного ряда используем признак Даламбера, учитывая, что 1 , и, применяя формулу Стирлинга: 97 1 1 1 3 3 1 1 2 2 3 2 2 lim lim lim lim lim ( 2)! ( 3)! 3 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 2 2 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k m k m k k k k k k k k + + + + + + + + →+ →+ →+ →+ →+ + = = = + + + + + + + = = + = + + + + + + 3 1 3 2 2 1 2 2 2 lim ( ) 3 2 1 1 1 2 3 2 k k k k k k e k k e + − + − + − + − →+ + = + = + + 1 2 1 1 2 2 2 lim 3 1 1 3 1 3 2 2 k k k k e k k k k + + − − + →+ + + = + = + + + ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 lim lim lim 3 1 3 3 1 3 2 2 1 1 ( 3) 3 1 1 1 3 2 2 1 1 1 3 k k k k k k e k k k k k e k k k k k e e k + − − − − + − →+ →+ →+ + + + = + = + + + + + = + + = + + + = + + 1 1 2 2 0 3 k k − + Численные расчеты показывают, что 0 1 ( 1) 0, 0, 0 k k k m + = − + − Таким образом, 0 n n A c + = = 98 Следовательно, lim 0 n n c →+ = , что означает 0 0 : 1 k k k k c Найдем компактное выражение для коэффициентов n c . Для этого указанную выше систему перепишем в более удобном виде 0 1 0 2 0 1 1 3 0 2 1 1 2 4 0 3 1 2 2 1 3 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 1 2 0 1 1 2 2 3 2 1 1 1, , , , , , ... ( 1) ( 1) , n n n n n n n n c c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m + + − − − − − = − = − − = − + = − − + − = − + − + = − − + − + + − = Для нахождения первых n коэффициентов n c искомого ряда рассмотрим конечную систему 1 0 2 0 1 1 3 0 2 1 1 2 4 0 3 1 2 2 1 3 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 1 0 1 1 2 2 3 2 1 1 , , , , , ... ( 1) ( 1) n n n n n n n n c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m c m + − − − − − = − − = − + = − − + − = − + − + = − − + − + + − = воспользуемся правилом Крамера решения систем линейных уравнений , 1,..., k c k c k n = = , где 99 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 1 1 2 3 2 3 4 5 6 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 n n n n n n n n n n m m m m m m m m m m m m m m m + − − − − − − − − − − и 0 0 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 4 1 1 2 3 4 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1) 1 k c n n n n n n n n m m m m m m m m m m m m m m m m m m + − − − − − − − − − Причем, определитель го порядка k c сводится (редуцируется) в итоге к определителю го порядка на основании свойств вычислений определителей. В частности, 1 0 c m = − , 0 2 2 0 1 0 1 1 m c m m m m − = = − + − , 0 3 3 0 1 0 0 1 2 1 0 2 1 0 1 2 m c m m m m m m m m m − = − = − + − − − − , 0 0 1 4 2 2 4 0 0 1 1 0 2 3 1 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1 0 3 2 1 m m m c m m m m m m m m m m m m m m − − = = Или в общем случае 100 0 0 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 4 1 1 2 3 4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( Справедливо также рекуррентное соотношение 2 1 0 1 1 2 2 3 2 1 1 0 0 1 0 ... ( 1) ( 1) , 1, n n n n n n n n c m c m c m c m c m c c c m + + − − − − − = − + − + − + − = − = − . Итак, получаем следующий ряд 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 ( 1) ! n n n n n n n n n n n n n n n n c c c s s s s s s s n + + + − − − − − + + − = = = = = − − = − − = − − = Выпишем несколько первых членов найденного разложения 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 3 1 4 2 2 3 4 1 1 1 1 3 2 3 4 1 ( ) 1 2 12 24 s s s s − − + = + − + + + ( ) 4 2 2 2 2 3 3 2 1 2 3 1 3 1 2 4 1 5 5 1 5 3 2 2 2 2 3 3 4 4 4 2 1 2 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 1 2 5 1 6 6 1 45 90 20 30 6 56 720 45 120 60 45 20 12 2 ( ) 1440 s s o s − + + − + + − + + − − + Отметим, что данное соотношение выполняется для произвольного распределения, имеющего конечные моменты любого порядка и удовлетворяющего определенным условиям, о которых речь впереди. Если от изображения ( ) s в (56) перейти к оригиналу ( ) t , то получим следующее выражение 101 2 3 2 2 1 3 2 1 2 3 1 4 2 2 3 4 1 1 1 1 4 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 4 1 5 5 1 3 2 3 4 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 12 24 45 90 20 30 6 ( ) ... 720 t t t t t − − + = + − + + + − + + − + + , (57) где ( ) t обозначает дельта − функцию Дирака, а ( ) t , ( ) t , ( ) t ,… − её первую, вторую, третью и т.д. производные, соответственно. Известно (см, например, [65]), что решение уравнения (50) имеет вид ( ) ( ) t f t R f = + , (58) где ( ) R t – резольвента уравнения (50), а символ * обозначает свертку функций. Применяя преобразование Лапласа к (58) получаем ( ) ( ) ( ) ( ) s f s R s f Следовательно, ( ) ( ) ( ) ( ) s f s R s f s − = (59) Тогда с учетом первой части формулы (58) имеем ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) f s f s f s f s R s s f s f s − − = = = Таким образом, ( ) ( ) t f t f = + или ( ) ( ) ( ) ( ) t f t s f s = + Отсюда, если подставить ряд (57), содержащий дельта – функции, в последнее соотношение, то получим решение в виде бесконечной суммы сверток дельта – функций и их производных с функцией f . Приведем выкладку, обеспечивающую указанное разложение. 102 В силу известных из теории обобщенных функций свойств дельта – функции имеем (см. [55,65]) в точках непрерывности функции ( ) f t : ( ), ( ), ( ), ( ), ... f f t f f t f f t f f t = = = а также 0 1 ( ) t f f d = В конечном итоге получаем, что 2 2 1 1 0 2 3 2 2 1 3 2 1 2 3 1 4 3 4 1 1 4 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 4 1 5 5 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 3 2 3 4 ( ) ( ) 12 24 45 90 20 30 6 ( ) ... 720 t t f t f d f t f t f t f t = + + − + − − + + + + − + + − + + (60) Или после упрощения 2 3 2 2 1 3 2 1 2 3 1 4 2 2 3 4 1 1 1 1 0 3 2 3 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 24 t t f d f t f t f t − − + = + + + + 4 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 4 1 5 5 1 45 90 20 30 6 ( ) ... 720 f t − + + − + + (61) Коэффициент при (4) ( ) f t в полученном разложении равен 3 2 2 2 2 3 3 4 5 2 1 2 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 1 2 5 1 6 6 1 45 120 60 45 20 12 2 1440 − + + − − + В качестве первичного, очевидного обоснования заметим, что 2 2 1 3 2 2 3 1 1 1 0 3 2 1 lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ... 2 12 t t t t f d f t f t →+ →+ − = + + + = 1 1 1 0 0 1 1 1 lim ( ) ( ) t t f d f d + →+ = = = 103 в силу того, что для распределения Гнеденко-Вейбулла, на основании правила Бернулли – Лопиталя lim ( ) 0 t f t →+ = , lim ( ) 0 t f t →+ = , lim ( ) 0 t f t →+ = и т.д. Замечание Полученное разложение (71) параметра потока отказов (или плотности восстановления) имеет асимптотический характер. Оно описывает ( при достаточно больших значениях времени t , характерных для процессов деградации или третьего этапа жизненного цикла функционирования объекта. Действительно, имеем интегральное уравнение Вольтерра второго рода с разностным ядром 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t t f t f t x x dx = + − В терминах преобразования Лапласа ( ) ( ) ( ) ( ) s f s f Тогда ( ) ( ) 1 ( ) f s s f В силу (56) коэффициенты выражаются через моменты распределения с плотностью f 2 3 0 1 2 3 1 1 ( ) s c c s c s c s s = + +Тогда ( ) ( ) 2 3 0 1 2 3 1 0 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 1 ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) (0) (0) (0) (0) s f s f s c f s c sf s c s f s c s f s s f s c f s c sf s f f s c s f s sf f sf f = + + + + + = = + + − + + + − − + + + 104 ( ) 3 2 2 3 0 1 2 3 1 2 1 2 2 3 3 3 ( ) 0 1 1 0 ( ) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... (0) (0) (0) (0) (0) (0) .... 1 ( ) ( ) ( ) t k k k c s f s s f sf f s f sf f f s c f s c f t c f t c f t s c f c sf c f c s f c sf c f f x dx c f t c f t + = + − − − + + + + = = + + + + + + + + + + + + + = = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 4 2 3 2 2 2 3 4 5 3 4 5 4 5 6 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 (0) (0) (0) (0) 1 ( ) ( ) ( ) (0) ( ), ( 0) t k k k k k k f c c s c s c s f c c s c s c s f c c s c s f c c s c s f x dx c f t c f t c f o s s + + + = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + В итоге получаем ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ), ( ) t k k k k k k s f s f x dx c f t c f t t c f o t t + + + = = = + + + + → +при расчётах берётся во внимание только первые три слагаемых, предполагая, что ( ) 1 1 (0) k k k c f + + = Проверим формулу (61) на простом законе распределения, когда известно, чему равен в точности параметр потока отказов, а именно, показательном распределении с плотностью, являющемся частным распределения Гнеденко- Вейбулла ( ) t f t e − = . (62) Как известно (см, например, [78]), в этом случае ( ) t . (63) Действительно, для показательного распределения (62) имеем 105 1 2 3 2 3 1 2 6 ! , , , ..., n n n = = = = , то есть, 1 ! n n n = , и, значит, 1 2 2 2 1 , 0,1, 2,3... ( 2)! k k k k m k k + + Тогда, пользуясь рекуррентной зависимостью для n c , получаем 0 1 c = − , 1 2 1 c = − , 2 0 1 1 2 2 3 1 1 1 1 ( 1) 0 c m c m = + = − − − = , 3 0 2 1 1 2 3 2 4 2 1 1 1 1 1 0 ( 1) 0 c m c m c m = − − = − − − − = , 4 0 3 1 2 2 1 3 4 2 2 5 3 1 1 1 1 1 0 0 ( 1) 0 c m c m c m c m = − + + = + + − − − = , 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 5 3 2 6 4 1 1 1 1 1 0 0 0 ( 1) 0 c m c m c m c m c m = − + − − = + + − − + − = , Используя метод доказательства по индукции, получаем, что 0 1 1 2 2 3 1 2 2 1 1 ... ( 1) 1 1 1 1 1 0 0 ... ( 1) 0 n n n n n n n n n n c m c m c m c m − − − − − − + = − + − + − = = + + + − − − = Следовательно, для показательного распределения получаем, что 1 1 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 n n n n c s s s s + − + = = − − = − + + = − + , что означает 106 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ). 2 2 0 1 1 t t f t f d f t = + + − В итоге, получаем ( ) ( ) 1 0 1 ( ) 1 1 1 , t t t t t t e e d e e e − − − − − = + + − = + − что согласуется с указанным выше свойством параметра потока отказов для показательного распределения (63). Еще раз запишем полученную формулу (61) для распределения Гнеденко- Вейбулла с плотностью (2) в окончательном виде ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k k k k c t F t F t + = = + , (64) где ( ) ( ) k F t означает ю производную функции ( ) F t , а коэффициенты разложения k c находятся по правилу 1 2 2 1 0 , , 0, 1, 2,... 2! ( 2)! k k k c m m k k + = − = − = = + , 1 1 1 1 = + 0 0 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 4 1 1 2 3 4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) k k k k k k k k k m m m m m m c m m m m m m m m m m m m m + − − − − − − − − − = В частности, первые пять коэффициентов имеют вид 0 1 1 c = , 2 1 2 1 2 c = , 2 2 1 3 2 3 1 3 2 12 c − = , 3 2 2 1 2 3 1 4 3 4 1 3 4 24 c − + = , 107 4 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 4 1 5 4 5 1 45 90 20 30 6 720 c − + + − = , 5 3 2 2 2 2 3 3 4 2 1 2 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 1 2 5 1 6 5 6 1 45 120 60 45 20 12 2 1440 c − + + − − + Проведем исследование первых несколько коэффициентов для распределения Гнеденко-Вейбулла. Имеем 2 2 0 2 2 1 1 1 , ( ) 2 12 1 1 c o = = + + − + → + +где − постоянная Эйлера, равная 0,577... Элементарный анализ показывает, что 2 2 2 1 1 0 2 12 + + − прите. Таким образом, 0 0 c при условии 2 . Далее, 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 , ( ) 2 12 1 2 1 c o + = = + + → +Очевидно, что 1 0 c уже при 1 . 2 2 3 2 1 3 3 1 2 1 1 1 1 12 1 c + − + + = = + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 6 , ( ) 12 12 o = − + + + → + 108 причем нетрудно убедиться, что 2 0 c 1 . Продолжая, получаем 3 2 3 2 4 2 1 2 3 1 4 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 24 1 c + − + + + + + + = = + 2 2 2 2 1 1 1 0 , ( ) 24 6 o = − + → +при этом, очевидно, что 3 0 1 c Аналогично 2 2 4 3 2 2 1 3 9 1 1 1 0, ( ) 2 4 c o = − + − + + → + 2 5 4 2 2 1 1 0, ( ) 2880 c o = + → +Более того, учитывая общую формулу для производной n - го порядка от сложной функции из [33], которая для распределения ( , ) GW принимает вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( 1) ( ) (1 ( ) ) !( )! l k t j k l k t k l j t l j k e e t j l j − − − = = − − + − − = − , где ( ) ( ) ( ) k a k a a + = , можно записать формулу для нахождения ППО ( ) t : ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 0 0 ( 1) ( ) (1 ( ) ) 1 ( ! ) 1 ( )! l j k l k t t l k k j k k t l j k e e j t t l j c − − = = + = − − + − − = − + − 109 Отметим, что при аналитическом подходе к решению интегрального уравнения восстановления методами производящей функции моментов было сделано неявное предположение об однозначном задании распределения ( , ) GW рядом своих моментов, что не совсем очевидно. Подробное рассмотрение данного вопроса изложено в Приложении Г. Обобщение аналитического метода на случай произвольного распределения Рассмотренный выше аналитический метод решения интегрального уравнения восстановления (60) при определенных условиях можно распространить на более общий случай рекуррентного потока отказов. Выделив ключевые позиции в предыдущих рассуждениях, сделав некоторые предположения, можно сформулировать следующее утверждение. Сделаем это с позиций теории восстановления, те, для плотности восстановления. Теорема Пусть имеется неотрицательная непрерывная случайная величина с плотностью ( ) f t и функцией распределения ( ) F t , у которой существуют все начальные моменты порядка , ( ) n n (те, определена производящая функция моментов для , являющаяся преобразованием Лапласа от ( ) f t ): 1 0 ( ) , n n t f t dt M + = = , удовлетворяющие условиям 1. ( ) 1 2 1 , n n n + − = = + 2. 1 lim ( 1) n n n n →+ + + = + , 3. 1 2 1 ( 1) 1 ( 2)! n n n n n + + = − + , 4. ( ) lim ( ) 0 n t f t n →+ = . 110 тогда решение уравнения восстановления для плотности восстановления ( ) h t : 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t h t f t h f t d = + − имеет следующий вид ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k k k k c h t F t F t + = = + , где ( ) ( ) k F t означает ю производную функции ( ) F t , а коэффициенты разложения k c находятся по правилу 1 2 2 1 0 , , 0, 1, 2,... 2! ( 2)! k k k c m m k k + = − = − = = + 0 0 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 4 1 1 2 3 4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) k k k k k k k k k m m m m m m c m m m m m m m m m m m m m + − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − , При этом справедливы соотношения 0 1 1 2 2 3 1 ... ( 1) k k k k k k c m c m c m c m − − − − = − + − + − , 0 1 0 ( 1) 1 ( 1) k k k n k n k k m c m + + = + = = − = − + − , что означает lim 0, k k c → = следовательно, 0 0 : 1. k k k k c 111 Замечания 1. Условие 1 представляет собой достаточное условие Карлемана для однозначной определенности проблемы моментов, иными словами, для существования производящей функции моментов для ; 2. Условие 2 обеспечивает абсолютную сходимость производящей функции моментов для на всей комплексной плоскости ; 3. Абсолютная сходимость ряда из Условия 3 следует из условия 2. Действительно, применим признак Даламбера 1 1 3 1 1 3 3 1 1 2 1 2 2 3 1 1 2 1 ( 2)! ( 3)! lim lim lim ( 3)! ( 3) ( 2)! 1 lim 0 1, ( 3) lim ( 1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + + + + + →+ →+ →+ + + + + →+ + →+ + + + = = = + + + = = = что влечет за собой сходимость ряда. Следствие Аналитическое разложение функции восстановления 0 ( ) ( ) t H t h d = в предположении, что для функции 2 ( ) f существует обратное преобразование Лапласа, имеет следующий вид 1 ( ) 2 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( 1 ) k k k k c f s H t L F t s + + − = = − , (66) где 0 ( ) ( ) st f s e f t dt + − = обозначает преобразование Лапласа для функции ( ) f t , а ( )] L G s − обозначает обратное преобразование Лапласа для функции ( ) G s . В самом деле, рассмотрим уравнение восстановления для функции восстановления сначала в рамках модели Гнеденко–Вейбулла: 112 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 t t H t F t F t dH F t H t f d = + − = + − (67) Применим методы операционного исчисления. Из (67) получаем ( ) ( ) ( ) ( ) H s F s H s f s = + , что приводит к выражению ( ) ( ) ( ) 1 ( ) (1 ( )) F s f s H s f s s f Принимая во внимание разработанную методику, для нахождения оригинала преобразования Лапласа ( ) H s воспользуемся производящей функции моментов плотности распределения Гнеденко–Вейбулла. Соотношение ( ) ( ) h t H t = в терминах преобразования Лапласа можно записать как ( ) ( ) / H s h Выше было получено представление преобразования Лапласа плотности восстановления 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 3 1 4 2 2 3 4 1 1 1 1 3 2 3 4 1 ( ) 1 2 12 24 h s s s s − − + = + − +отсюда 2 3 2 2 1 3 2 1 2 3 1 4 2 2 2 3 4 1 1 1 1 3 2 3 4 ( ) 1 1 ( ) 1 2 12 24 h s H s s s s s − − + Используя обозначения k d , связанные с введенными выше k c (см. ( 71 )): 1 1 , 1, 2,3,... k k k c d k + = = , 0 1 1 d = , 2 1 2 1 2 d = , 2 2 1 3 2 3 1 3 2 12 d − = , 3 2 2 1 2 3 1 4 3 4 1 3 4 24 d − + = , 4 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 4 1 5 4 5 1 45 90 20 30 6 720 d − + + − = , 5 3 2 2 2 2 3 3 4 2 1 2 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 1 2 5 1 6 5 6 1 45 120 60 45 20 12 2 , 1440 d − + + − − + = 113 6 4 2 2 2 3 3 2 3 3 6 2 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 4 4 2 3 2 4 4 5 7 1 4 1 2 5 1 3 5 1 2 6 1 7 1 (945 3150 2520 280 1260 1260 105 378 168 84 12 ) / 60480 ,.... d = − + − + − + + − + + − имеем ( ) 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 2 1 ( ) 1 d H s d d d s d s d s d Тогда ( ) 1 2 3 0 1 2 3 4 5 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... d H t F t L f s d f s d f s d sf s d s f s d s f где 1 [ ( )] L G s − обозначает обратное преобразование Лапласа для функции ( ) G s . Таким образом, ( ) 1 0 1 2 3 4 2 0 1 0 1 2 3 4 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..., t d H t F t L f s d f d d f t d f t d f t s d L f s d F t d F t d F t d F t s − − = + + − + + + + что совпадает с (66) с учётом 1 1 , 1, 2,3,... k k k c d k + = = |