Определение модуля непрерывности функции на множестве. Примеры нахождения модуля непрерывности

• Название: Определение модуля непрерывности функции на множестве. Примеры нахождения модуля непрерывности
• Дата: 22.01.2022
• Размер: 1.54 Mb.
• Имя файла: 1 2.docx
• Тип: Документы; #339148
• страница: 6 из 6

Интегрирование тригонометрических выражений. Рационализация. Tích phân các biểu thức lượng giác. Hợp lý hóa.

Пусть , где и - многочлены от - đa thức từ и .

1) Если один из многочленов 1) Nếu một trong các đa thức , четный по thậm chí ở , а другой – нечетный по , và cái còn lại là kỳ quặc trong , то подстановка , sau đó thay thế рационализирует интеграл. hợp lý hóa tích phân.

2) Если один из многочленов Nếu một trong các đa thức , четный по thậm chí ở , а другой – нечетный по và cái còn lại là kỳ quặc trong , то подстановка sau đó thay thế рационализирует интеграл. hợp lý hóa tích phân.

3) Если оба многочлена четные по Nếu cả hai đa thức là chẵn trong и , то подстановка sau đó thay thế рационализирует интеграл. hợp lý hóa tích phân.

3’) Выражения вида Biểu thức của dạng , где и - четные. Они сходны с 3 случаем, где cũng. Chúng tương tự như trường hợp 3, trong đó

4) Универсальная подстановка. Thay thế phổ quát.

Рационализация Hợp lý hóa также достигается с помощью подстановки cũng đạt được bằng cách thay thế , которая называется универсальной. В самом деле, , được gọi là phổ quát. Thật,

; ;

.

5) Выражения вида ) Biểu thức của biểu mẫu ; ; . Они рационализируются с помощью перевода в тригонометрические суммы.

Chúng được hợp lý hóa bằng cách chuyển đổi thành các tổng lượng giác.

37. 
    Вычисление интегралов вида и Tính tích phân dạng
    

38. 
    Интегрирование выражений, содержащих квадратичную иррациональность. Тригонометрические подстановки. Tích phân của biểu thức chứa vô tỉ bậc hai. Các phép thế lượng giác.
    

Следующие интегралы превращаются в тригонометрические выражения при помощи тригонометрических подстановок: Các tích phân sau được chuyển thành biểu thức lượng giác bằng cách sử dụng các phép thay thế lượng giác:

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

Пример:

39. 
    Интегрирование выражений вида . Tích hợp các biểu thức của biểu mẫu
    

Докажем, что любой такой интеграл – берущийся в элементарных функциях. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng bất kỳ tích phân nào như vậy được lấy trong các hàm cơ bản . Пусть , т.к. . Пусть m=НОК , . Сделаем замену: Hãy thay thế: , тогда , причем последнее выражение - рациональное, т.к. m делится на любое và biểu thức cuối cùng là hợp lý, bởi vì m chia hết cho bất kỳ .

Тогда получим, что x=φ(t), dx=φ΄(t)dt, где φ(t) и φ΄(t)dt – рациональные выражения, поэтому: Khi đó chúng ta nhận được rằng x = φ (t), dx = φ΄ (t) dt, trong đó φ (t) và φ΄ (t) dt là các biểu thức hữu tỉ, do đó: - тоже рациональное выражение cũng là một biểu thức hợp lý

40. 
    Подстановки Эйлера. Thay thế Euler.
    

1) , где R-рациональная дробь. trong đó R là một phân số hữu tỉ.

Пусть многочлен Cho đa thức имеет вещественные корни. rễ thật.

Пусть - корни GỐC , тогда .

Рассмотрим подстановку Cân nhắc sự thay thế



2) , где .

Корни трехчлена ax2+bx+c комплéксные. Тогда надо считать, что a>0, иначе трехчлен был бы отрицателен для всех x. Các nghiệm của tam thức ax2 + bx + c là phức. Sau đó, chúng ta phải giả sử rằng a> 0, nếu không thì tam thức sẽ âm với mọi x. Thay .Возводя это равенство в квадрат и заменяя .So sánh sự bình đẳng này và thay thế  его выражением, biểu hiện của nó, chúng tôi nhận được: получим:



Где x, y и dx – некоторые рациональные функции от t. В конечном счете получаем: Trong đó x, y và dx là một số hàm hữu tỉ của t. Cuối cùng thì chúng tôi nhận được:

.

Типовые задачи

1. 
   Вычисление производных, в том числе с помощью предварительного дифференцирования.
   
2. 
   Найти второй дифференциал функции : .
   
3. 
   Найти производную порядка 2016 функции .
   
4. 
   Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки функцию до п-го порядкас остаточным членом в форме Пеано, используя стандартное разложение.
   

5. 
   Вычисление интегралов.
   

Упражнения к повышенному уровню

1. 
   Найти модуль непрерывности функций на множестве :
   

а) б) в) г)

2. Верно ли утверждение: «Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в некоторой окрестности этой точки» ? Если да, то доказать, если нет – привести пример.

3. Верно ли утверждение: «Если функция возрастает в точке, то она возрастает в некоторой окрестности этой точки»? Если да, то доказать, если нет – привести пример.

4. В каких случаях инвариантна форма:

а) второго дифференциала; б) третьего дифференциала?

5. Для функции вычислить

6. Решить уравнение при .

7. Пусть функции непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале Доказать, что при некотором

8. Дифференцируемая функция такова, что Доказать, что существует точка такая, что

9. Доказать, что при всех

10. 
    О дифференцируемой функции известно, что Доказать, что существует число такое, что
    
11. 
    Пусть – дифференцируемая функция такая, что Доказать, что существует число такое, что
    
12. 
    Определить, сколько действительных решений имеет уравнение
    
13. 
    Функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале Доказать, что существует такое что
    
14. 
    Найти и если
    
15. 
    Для функции найти
    
16. 
    Найти и если
    
17. 
    Найти , если с помощью рекуррентной формулы.