Теоретическая справка для кинематики ЕГЭ. Кинематика ЕГЭ. Основы кинематики
 Скачать 0.6 Mb.
|
 Таким образом, мы понимаем, что предмет в процессе движения останавливается в некоторой координате и затем поворачивает назад. Как найти момент времени, когда предмет поворачивает? Для этого необходимо получить уравнение скорости и приравнять его к нулю, поскольку именно в точке поворота скорость предмета обращается в ноль, а затем меняет свое направление. Имеем:  Тогда получим:  В точке поворота:  То есть, предмет поворачивает в третью секунду своего движения. Теперь определим путь. Для этого необходимо знать, в какой координате находился предмет в момент времени  с. Имеем: То есть, координаты предмета и соответствующие этим координатам моменты времени есть:    Очевидно, что путь равен 2 м. Теперь приступим к определению средней путевой и средней скорости перемещения. По определению, средней скоростью называется весь путь, пройденный предметом, деленный на время, за который этот путь был пройден:  Тогда средняя путевая скорость:  Поскольку предмет двигался  А средняя скорость перемещения:  Пример 4. Рассмотрим еще одну задачу на определение перемещения и пути предмета за определенное время движения. Дана зависимость координаты от времени:  . Задача стоит та же – определить перемещение и путь предмета с момента времени  до  .Мы видим, что координата зависит от времени квадратично, следовательно, движение либо равноускоренное, либо равнозамедленное. Определим, какое именно, но для начала запишем уравнение скорости. Запишем уравнение скорости этого предмета, предварительно определив:   Тогда уравнение скорости будет иметь вид:  Подставляя сюда различные t, мы замечаем, что скорость с начала движения (с момента t=0) начинается уменьшаться по величине:   Это продолжается до определенного момента. Определим, до какого, то есть, найдем точку поворота:  То есть, в момент времени  предмет останавливается, а затем начинает движение в противоположную сторону относительно начального направления движения. Действительно, скорость предмета изменит знак сразу после полуторной секунды, для наглядности подставим в уравнение скорости   И для любого последующего момента времени величина (модуль) скорости будет увеличиваться, т.е. после 1.5 секунды предмет станет двигаться равноускоренно. Таким образом: с начала движения (t=0) до момента времени t=1,5 с предмет движется равнозамедленно, а затем, начиная с 1,5 с и до бесконечности – равноускоренно. Для того, чтобы определить путь, необходимо знать координаты предметы в три момента времени: для t=1, 1,5 и 10 секунд.    Определим путь, пройденный предметом с 1 до 10 ой секунды: С 1ой до 1.5 секунды предмет прошел путь:  С 1,5ой до 10ой секунды предмет прошел путь:  Путь – это длина траектории, то есть имеет смысл только его модуль. Таким образом, полный путь пройденный предметом с 1 до 10ой секунды:  Перемещение – отрезок, соединяющий конечное положение предмета и начальное (на самом деле, говоря точно, перемещение – вектор, соединяющий конечную координату с начальной, т.е. знак у перемещения определяет направление движения предмета между начальной и конечной координатами). Определим перемещение:  Сравним полученные результаты. Из них видно, что перемещение меньше пути на величину 1,5 метра – действительно, предмет в начале движения (до полуторной секунды) прошел в одну сторону 1,5 метра, а затем начал движение в противоположную сторону от исходного направления. Перейдем к следующему виду задач, называемых типовыми задачами ЕГЭ. К ним относится вертикальное падение предмета вниз, вертикальное бросание предмета вверх, горизонтальный бросок, бросок под углом к горизонту. Именно на типовых задачах студент способен закрепить навык применения двух основных уравнений кинематики для равноускоренного и равномерного движения. Пример 5. Вертикальное падение предмета вниз с некоторой высоты h из состояния покоя. В данной задаче предмет движется в вертикальной плоскости Земли. На Земле всюду существует ускорение свободного падения, направленное вниз (существует оно из-за силы тяжести, силы, с которой Земля притягивает предметы, находящиеся на малой высоте от поверхности Земли). Если бы в задаче присутствовали еще другие силы, то они бы тоже создавали какое-либо ускорение. Однако, для начала рассмотрим случай, когда предмет находится в состоянии покоя на некоторой высоте h над поверхностью Земли и что в процессе его движения на него действует только сила тяжести, сообщающая ему ускорение свободного падения, направленного вниз. Предмет движется из состояния покоя – означает, что в начале телу не была придана какая-либо начальная скорость, к примеру, камень, находящийся в сжатой ладони, начинает падать вниз с нулевой начальной скоростью (начинает падать, как только ладонь разжимают). Такое падение называется свободным падением. Сделаем рисунок:  Из рисунка становится еще очевиднее, что начальное положение предмета расположено на высоте h над поверхностью Земли, конечное – на поверхности Земли. Запишем уравнения кинематики:  И преобразуем их для данной задачи. Во-первых, разберемся с начальной координатой. Мы заранее знаем, что предмет пролетит высоту  , следовательно, если мы запишем первое уравнение в таком виде: То в нем можно будет заменить разность координат высотой .Тогда получим:  Предмет начинает свое движение из состояния покоя, т.е.  . Тогда:  Вспомним, что единственное ускорение в этой задаче – ускорение свободного падения. Тогда:  С помощью этих двух уравнений можно решить любую задачу на свободное падение, начавшееся из состояния покоя (и при условии, что в рассматриваемой задаче отсутствуют силы, кроме силы тяжести). Следует отметить, что данное движение является равноускоренным (ускорение свободного падения постоянно по величине и направлению). Приведем немного альтернативный подход. Поскольку в рассматриваемой задаче присутствуют векторные величины, то нам необходимо задать положительное направление некоторой оси, вдоль которой происходит движение (напомним, что вектор задан полностью только тогда, когда известны его величина и направление).  Мы выбрали положительное направление оси y вниз. Тогда вектора, направленные туда же, куда и положительное направление данной оси, будут положительными, иначе – отрицательными. Имеем:  Конечная скорость и ускорение свободного падения направлены вниз, следовательно, все два данных вектора – положительные. Дальнейшие преобразования аналогичны преобразованиям выше. Пример 6. Вертикальное падение предмета вниз с некоторой высоты h с начально переданной ему скоростью. Текущая задача отличается от предыдущей только тем, что предмету придают начальную скорость, направленную вниз (в отличия от случая, когда камень начал свободное падение из разжатой ладони, в данной случае мы кидаем его вертикально вниз с некоторым «усилием», сообщающее ему начальную скорость).  Тогда уравнения кинематики для данной задачи примет вид:  Обратите внимание – все вектора – положительные, поскольку начальная и конечная скорости, а также ускорение свободного падения – направлены вниз, то есть со направлены с положительным направлением выбранной оси. Пример 7. Вертикальное подбрасывание предмета вверх с начальной скоростью  . Очевидно, что начальное положение предмета находится на поверхности Земли, конечное – на некоторой высоте h. Выберем направление оси – вверх, тогда:  Когда предмет в процессе вертикального полета вверх достигнет точки максимального подъема, то он остановится, следовательно, конечная скорость на максимально достигнутой высоте равна нулю, тогда:  Окончательно получим:  Обратите внимание – данное движение – равнозамедленное. Пример 8. Горизонтальный бросок предмета с начальной скоростью с некоторой высоты h над поверхностью Земли.Данная задача отличается от рассмотренных выше тем, что предмет, брошенный горизонтально, движется сразу по двумя осям, вдоль x и вдоль y, или иначе говоря – движется в плоскости xy. Сделаем рисунок прямоугольной системы координат и изобразим на ней траекторию движения предмета:  На данном рисунке изображена именно траектория (кривая, вдоль которой движется предмет), а не зависимость вертикальной координаты  от горизонтальной  !Разберемся с каждой осью по очереди. Начнем с оси x. Начальное положение предмета выберем на высоте h, конечную – на некотором расстоянии  от места бросания.Для оси уравнения кинематики будут иметь вид: Ускорения в плоскости нет (не действует никаких сил). Начальная координата по оси – равна нулю. Однако, если мы перенесем  влево, то получим расстояние, на которое удалится предмет, брошенный горизонтально, т.е.: Это называется дальностью полета. Получим систему уравнений для оси   Таким образом, движение вдоль оси x – равномерное. Рассмотрим теперь ось y.  Единственное ускорение в этой задаче – ускорение свободного падения, направленное вниз. Начальной скоростью в вертикальной плоскости предмет не обладает, поскольку бросок – горизонтальный. Тогда, согласно выбранному направлению оси y, ускорение свободного падения и конечная скорость будут иметь знак «-». Получим, с учетом всего сказанного выше:  Начальная координата предмета по оси y равна , а конечная – 0. Тогда, очевидно: А система уравнений примет вид:  Или же:  Примечание: Если бы мы направили ось y вниз, то направление ускорения свободного падения и конечная скорость имели бы положительный знак, тогда:  Обратите внимание, что во втором варианте вывода выражение:  Поскольку начальная координата предмета при таком расположении осей равна нулю, а конечная – высоте  Также заметим, что вертикальная и горизонтальная скорости направлены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Из рисунка видно, что их векторная сумма дает некоторую скорость  . Это скорость и есть та самая скорость, с которой предмет движется по траектории. Полная скорость вычисляется как: Для горизонтального бросания в качестве итога можно привести следующие формулы:  Пример 9. Бросок предмета с поверхности Земли с начальной скоростью , направленной под углом α к горизонту. В данной задаче начальная скорость направлена ни вдоль оси х, ни вдоль оси y. Тогда для того, чтобы записать уравнения кинематики по осям координат, необходимо сделать проекции начальной скорости на ось х и ось y. Из рисунка видно, что:  Запишем уравнения кинематики для оси х:  Изначально предмет находится в начале координат, следовательно,  .Начальная скорость вдоль оси x имеет величину  .Вдоль горизонтальной оси никакие силы не действуют, следовательно, ускорение равно нулю. Вектора |