Билеты. БИЛЕТЫ. Основные понятия и аксиомы статики

• Название: Основные понятия и аксиомы статики
• Анкор: Билеты
• Дата: 24.03.2022
• Размер: 1.03 Mb.
• Имя файла: БИЛЕТЫ.docx
• Тип: Закон; #412793
• страница: 1 из 8

1. 
   Основные понятия и аксиомы статики.
   

Наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом взаимодействиях между телами на­зывается теоретической механикой.

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Объектами изучения ТМ являются модели материальных тел, а именно, материальная точка (МТ), система МТ и абсолютно твердое тело (АТТ).

МТ называют тело, размерами которого можно пренебречь, считая, что масса сосредоточена в точке. Системой МТ называют совокупность МТ, положения и движения которых взаимосвязаны между собой. АТТ называют тело, в котором расстояния между любыми точками остаются неизменными. Все реальные тела в результате воздействий в определенной мере изменяют свои размеры и форму (деформируются). Эти деформации зачастую малы, и при решении ряда задач ими можно пренебречь, считая тело абсолютно твер­дым.

Состояние равновесия или движения тела зависит от характера его взаимодействий с другими телами, мерой которых является сила. Сила - вектор, характеризующийся численной величиной, направлением и точкой приложения; графически изображается направленным отрезком прямой. Прямую, вдоль которой направлена сила, называют ее линией дейст­вия (ЛД). Силу будем обозначать, например, как  , тогда ‌F=  -‌‌ ее модуль. Система сил – это совокупность сил, действующих на объект; обозначаем  .

Если систему сил (СС), действующих на тело, можно заменить другой СС, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела, то эти СС называют эквивалентными,  . Если данной СС эквивалентна одна сила, то эта сила называется равно­действующей для этой СС. Если обозначить ее как  ^*, то  ^* . Не каждая СС имеет равнодействующую. СС называют уравновешенной, если она, будучи приложенной к телу, не изменяет его состояния покоя или движения. Действие уравновешенной СС эквивалентно нулю, т.е.  0. Силой, уравновешивающей СС, на­зывают силу, которая, будучи присоединенной к этой СС, составит вместе с ней новую СС, эквивалентную нулю. Сила, приложенная к телу в одной точке, называется сосредоточенной.

В основе статики лежат 6 аксиом, рассматриваемых ниже.

1. Для равновесия 2 сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы силы были равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей их точки приложения: F₁ = F₂,  .

2. Не изме­няя действия системы сил на твердое тело, можно к этой системе прибавить или отнять от нее уравновешенную СС. Следствие: не изменяя действия силы на АТТ, ее можно переносить в любую точку тела вдоль ее ЛД.

3. Равнодействующая двух сил, прило­женных в одной точке, определяется диагональю па­раллелограмма, построенного на силах, т.е.  .

4. Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены вдоль одной прямой в про­тивоположные стороны: F₂₁ = F₁₂,  .

5. Несвободное тело можно рассматривать как свобод­ное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями.

 6. Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной СС, не нарушится, если считать его за­твердевшим (абсолютно твердым).

2. 
   Система сходящихся сил.
   
   

Различают следующие типы систем сил (СС): система сходящихся сил, система параллельных сил, произвольная СС. СС сил называется: сходящейся, если линии действия (ЛД) всех сил системы пересекаются в одной точке; параллельной, если ЛД сил параллельны между собой; произволь­ной - если ЛД сил не параллельны и не пересекаются в одной точке. Все указанные СС могут быть плоскими или пространст­венными. СС называется плоской, если ЛД всех сил лежат в одной плоскости; в противном случае СС - пространственная.

                                                          (1.1)

Равнодействующая    соединяет начало первого вектора с концом последнего. Т.е., равнодействую­щая системы сходящихся сил (ССС) равна  векторной сумме сил, входящих в сис­тему, и ее ЛД проходит через точку пересечения ЛД слагаемых сил. Чтобы найти равнодействующую геометрическим способом, надо построить в точке пересечения их ЛД силовой многоугольник на слагаемых силах; замыкающая силового многоугольника будет равнодействующей.

Аналитический способ определения равнодействующей ССС.

,   ,     .                                 (1.2)

Модуль равнодействующей силы и направление определяются, как

                                        (1.3)

          ,              ,             .      (1.4)

         Для равновесия ССС необходимо и достаточно, чтобы   или   (усло­вия равновесия в векторном виде). В геометрическом смысле: силовой многоугольник должен быть замкнут. В аналитическом виде: должны равняться нулю суммы проекций на три оси всех сил, входящих в систему,

,    ,     .                                  (1.5)

Для плоской ССС:          ,    .                               (1.6)

3. 
   Произвольная плоская система сил.
   

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости.

Если все силы, действующие на твердое тело, лежат на одной плоскости, выберем систему координат xOy в плоскости действия сил (рисунок 2.1). В этом случае обнаружим, что



Далее, вспомнив определение момента силы относительно оси, замечаем, что сумма моментов всех сил относительно оси z равна алгебраической сумме моментов этих сил относительно начала координат, т.е. точки О.

В результате останутся следующие три аналитические условия равновесия:





Рисунок 2.1

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей x и y и сумма моментов всех сил относительно любой точки, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю.

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил:

R = ΣF_k      (1.1)

Главным моментом системы сил относительно точки O тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки:

M_O = ΣM_O(F_k)    (1.2)

4. 
   Пара сил.
   

Парой сил, приложенной к АТТ, называют систему двух равных по мо­дулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны и не ле­жащих на одной прямой (см. рисунок 2.3). Сумма сил пары равна нулю, но пара сил не уравновешена. Кратчайшее расстояние между ЛД сил пары называют плечом пары, а плоскость, в которой лежат силы пары - плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар сил, действующих на тело, называется системой пар сил. Пара не приводится к равнодействующей. Действие пары на тело характеризуется векторным моментом пары - это вектор  , перпендикуляр­ный плоскости действия пары и направленный в ту сторону, откуда видно, что пара стремится повернуть тело против часовой стрелки, и численно равный произведению модуля одной из сил пары на ее плечо F∙d. Пару сил можно пере­носить куда угодно в плоскости и в параллельную плоскость, изменяя модуль силы и плечо, но, сохраняя при этом неизменными модуль момента пары и направление, в котором она стремится вращать твердое тело, т.е. векторный момент пары сил есть свободный вектор.

Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эквивалентны независимо от расположения и величин модулей сил и плечей пар.

Если пары расположены в одной плоскости, то моменты пар можно рассматривать как алгебраические ве­личины. Момент пары считают положительным, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки. Тогда для плоской системы пар сил

                                                    (2.8)

и                                         .                                                    (2.9)

5. 
   Момент силы относительно оси. Условия равновесия.
   

Моментом силы   относительно оси называется проекция на эту ось векторного мо­мента силы, взятого относительно любой точки на оси, т. е.

.                          (2.5)

Иначе: момент силы  относительно оси- это алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятый отно­си­тельно точкипересечения оси с плоскостью (см. рисунок 2.2)

.                           (2.6)

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости. Момент силы относительно начала координат   равен

                        ,

откуда получим моменты силы относительно осей координат

,      ,      .    (2.7)



Теорема о сложении пар сил. Совокупность пар сил, действующих на тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным сумме век­торных моментов всех пар сил,  . Условия равновесия сис­темы пар имеют вид

.                                                     (2.10)

Чтобы произвольная СС находи­лась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы  выполнялись равенства

           ,                          (3.1)

Эти условия эквивалентны аналитическим условиям равновесия в виде      

       ,            ,          ,             

    ,    ,     ,                             (3.2)

т.е., для равновесия произвольной СС, приложенных к АТТ, необходимо и достаточно равенства нулю сумм проекций всех сил на оси декартовой сис­темы координат и сумм моментов всех сил относительно этих осей.

Условия равновесия для пространственной системы параллельных сил (ось Oz параллельна ЛД  сил) имеют вид

        ,        ,        .      (3.3)

Первая форма условий равновесия произвольной плоской СС: необхо­димо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две оси и сумма алгеб­раических моментов сил относительно любого центра были равны нулю

        ,        ,     .      (3.4)

Вторая форма:

,   ,   (   не перпендикулярна  ).  (3.5)         

Третья форма

,   ,   (А,В,С - не на 1прямой )   (3.6)

         Условия равновесия для плоской системы параллельных сил имеют вид

,           ( не перпендикулярна силам)             (3.7)

или                  ,                 ( силам).               (3.8)

6. 
   Трение. Силы трения скольжения.
   

Законы трения скольжения (Кулона – Амонтона):

1) При стремлении сдвинуть одно тело относительно другого в плоско­сти их соприкосновения возникает сила трения  , модуль которой 0≤F≤ F_max. Эта сила приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.

2) Максимальная сила трения равна произведению коэффициента трения f на силу нормального давления N          

F_max=f∙N.                                                  (3.9)

f зависит от материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел (шероховатость, темпера­тура, влажность и т. п.); определяется опытным путем. Значения f: дерево по дереву 0,4-0,7; металл по металлу 0,15-0,25.

 Различают коэффициенты трения покоя и трения скольжения. Коэффи­циент трения покоя определяется по максимальной силе трения F_max, соответ­ствующей предельному состоянию равновесия. Обычно он больше коэффициента трения скольжения. С увеличением скорости скольжения последний сна­чала несколько уменьшается, а затем практически остается неизменным.

3) F_max не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.

Р еакцию шероховатой поверхности представляют в виде нормальной реакции   (равна по модулю силе нормального давле­ния) и силы трения   (см. рисунок 3.1). Полная реакция  отклонена на угол α (tg α = F/N).

Если тело лежит на горизонтальной шероховатой поверхности и на него не действуют никакие внешние силы, кроме силы тяжести, то F = 0, а полная реакция R = N и перпендикулярна опорной поверхности. Приложив к телу силу  , мы стремимся вызвать его движение, но оно не происходит, так как возникает сила трения  , причем F≤ F_max. С увеличением   возрастает и  . При F₁ = F_max наступит предельное состояние равнове­сия, при котором полная реакция   отклонится от вертикали на угол α_max, называемый углом трения. Обозначив его через φ, находим                                            tg φ= F_max/N=f .                                             (3.10)

Полная реакция неидеальной связи при равновесии имеет направление в пределах угла трения. Равновесие тел с учетом сил трения скольжения рас­сматривают обычно для предельного состояния, когда сила трения достигает максимального значения.

7. 
   Центр тяжести. Центр тяжести простейших тел.
   

Рассмотрим две параллельные силы  и  , приложен­ные к телу в точках А₁и A₂ (см. рисунок 3.3). Равнодействующая  , ее ЛД параллельна сла­гаемым силам и проходит через некоторую точку С, лежащую на прямой A₁A₂,. По­ложение точки С найдем с помощью теоремы Вариньона   , откуда

      .                         (3.12)

Повернув силы  и   на угол α вокруг точек А₁, А₂, придем к вы­воду, что иравнодействующая поворачивается в ту же сторону на угол α и при­ложена в той же точке С, называемой центром параллельных сил.Аналогично -  для любого числа сил.

Равнодействующую сил тяжести  ,  ,…,  , приложенных к частицам тела, обозначим   (см. рисунок 3.4). Модуль этой силы  называется весом тела и он равен

.                                                            (3.13)

Точка С является центром параллельных сил тяжести  и  называется центром тя­жести тела. Т.о., центр тяжести АТТ - неизменно связанная с телом точка, через ко­торую проходит ЛД равнодействующей сил тяжести, приложенных к частицам дан­ного тела, при любом положении тела в пространстве. Координаты его опреде­ляются как

,    ,                (3.14)

где   ,  ,  – координаты точек приложения сил тяжести   .