лекции по дм. лекции. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств 4 Диаграммы Венна. 4

• Название: Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств 4 Диаграммы Венна. 4
• Анкор: лекции по дм
• Дата: 08.02.2021
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: лекции.docx
• Тип: Документы; #174835
• страница: 25 из 40

Представление графов в ЭВМ

Наиболее распространены следующие 4 метода представления графов в ЭВМ:

• 
  Матрица смежности,
  
• 
  Матрица инцидентности,
  
• 
  Списки смежности вершин,
  
• 
  Списки смежности дуг.
  

Вы уже имеете представление о представлении графа матрицами смежности и инцидентности (Тема 11, пункт 1). Поясним суть списков смежности вершин.

Списки смежности вершин – представление графа с помощью списочной структуры, отражающей смежность вершин и состоящей из массива указателей на списки смежных вершин, где элемент списка представлен структурой.

Представление графа с помощью массива структур представляется в виде записей: .

Тема 12. Компоненты связности и объединение графов. Оценка числа ребер через число вершин и число компонентов связности. Вершинная и реберная связность. Мосты и блоки.

Объединение графов и компоненты связности. Оценка числа рёбер через число вершин и число компонентов связности. Вершинная и рёберная связность: мосты и блоки, меры связности.

Напомним, что если граф G состоит из одной компоненты связности, (то есть k(G) = 1), то он называется связным.

В связном графе любые две вершины соединены (простой) цепью.

Теорема: Граф связен тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде объединения двух графов.

Рассмотрим граф:



Vk1 k2

Замечание: Несвязный граф можно всегда представить как объединение связных компонент. Эти компоненты можно рассматривать независимо.

Вершина графа называется точкой сочленения, если ее удаление увеличивает число компонент связности.

В любом нетривиальном графе есть, по крайней мере, две вершины, которые не являются точками сочленения.

Теорема: Пусть р – число вершин, q – число ребер, k – число компонент связности графа. Тогда (p-k) ≤ q ≤ (p-k)(p-k+1) / 2.

Следствие: Если q > (p-1)(p-2) / 2 , то граф связен.

Мостом называется ребро, удаление которого увеличивает число компонент связ­ности.

Рассмотрим рисунок:

w c d


a


bef

u, v – точки сочленения, х – ребро-мост, awb, buw, awub, cdv, evf – блоки.


Блоком называется связный граф, не имеющий точек сочленения.

Если в графе есть мост, то есть и точка сочленения. Концы всякого моста кроме висячих вершин являются точкой сочленения, но не всякая точка сочленения является концом моста.

Вершинной связностью графа G (обозначается x(G)) называется наименьшее чи­сло вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

Пример:

æ(G) = 0, если G несвязен;

æ(G) = 1, если G имеет точку сочленения;

Граф G называется k-связным, если æ(G) = k.
Реберной связностью графа G (обозначается A(G)) называется наименьшее число ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

Пример:

λ(G) = 0, если G несвязен;

λ(G) = 1, если G имеет мост;

λ(К_р) = р-1, значит, граф К_р – полный.

Тема 13. Потоки в сетях. Определение потока. Разрезы. Пример сети с потоками. Теорема Форда и Фалкерсона. Алгоритм нахождения максимального потока.

Потоки в сетях. Примеры практических задач, определение потока, разрезы.

Рассмотрим некоторые примеры практических задач.

Пример:

1) Пусть имеется сеть трубопроводов, соединяющих пункт А (скажем, нефтепромысел) с пунктом В (скажем, нефтеперерабатывающим заводом). Трубопроводы могут соединяться и разветвляться в промежуточных пунктах. Количество нефти, которое может быть перекачено по каждому отрезку трубопровода в единицу времени, также не безгранично и определяется такими факторами, как диаметр трубы, мощность нагнетающего насоса и т. д. (обычно это называют «пропускной способностью» или «максимальным расходом» трубопровода). Сколько нефти можно прокачать через такую сеть в единицу времени?

2) Пусть имеется система машин для производства готовых изделий из сырья, и последовательность технологических операций может быть различной (то есть операции могут выполняться на разном оборудовании или в разной последовательности), но все допустимые варианты заранее строго определены. Максимальная производительность каждой единицы оборудования, естественно, также заранее известна и постоянна. Какова максимально возможная производительность всей системы в целом и как нужно организовать производство для достижения максимальной производительности?

Определения:

Пусть G(V, Е) – сеть, сетью называется граф, имеющий вершины. S и t – соответственно источник и сток сети. Дуги сети нагружены неотрицательными вещественными числами Е  R+ . Если u и v – вершины, то число с(u, v) – называется пропускной способностью дуги (u, v).


При решении будем полагать, что C(2,1)= C(1,2).

Максимальное количество Xij вещества, которое может пропустить в единицу времени ребро между вершиной (i,j) называют его пропускной способностью.

В общем случае Xij ≠Xji. Пропускные способности рёбер сети можно задать квадратной матрицей n-го порядка, где n – число вершин сети. В теории потоков предполагается, что Xii=0. И поэтому главная диагональ матрицы состоит из нулей.

||Cij|| =

1 2 3 4 5 6 0 6 1 0 0 0 6 0 2 0 3 0 1 2 0 3 0 0 0 0 3 0 1 2 0 3 0 1 0 5 0 0 0 2 5 0

Сформируем начальный поток 0, состоящий из суммы потоков по

следующим путям, и найдем пропускные способности путей:

1 = (1, 3, 4, 6), ( 1 ) = 1;

2 = (1, 2, 3, 4, 6), ( 2 ) = 2;

3 = (1, 2, 5, 6), ( 3 ) = 3.

Т.e. пропускная способность потока 0 равна:

0 = ( 1 )+ ( 2 )+ ( 3 ) = 6
Величина потока каждого ребра выглядят так :

(e13) = 1;

(e12) = 4;

(e23) = 1;

(e34) = 2;

(e46) = 2;

(e25) = 3;

(e56) = 3.
Составим теперь матрицу построенного потока ( M2 ) c эле- ментами (eij):
1 2 3 4 5 6

1. 
   0 4 1 0 0 0
   
2. 
   -4 0 1 0 3 0
   
3. 
   -1 -1 0 2 0 0
   
4. 
   0 0 -2 0 0 2
   
5. 
   0 -3 0 0 0 3
   
6. 
   0 0 0 -2 -3 0
   

Далее строим матрицу М3 = М1 - М2 = { C(eij) - (eij) }:
1 2 3 4 5 6

1. 
   0 2 0 0 0 0
   
2. 
   10 0 1 0 0 0
   
3. 
   2 3 0 1 0 0
   
4. 
   0 0 5 0 1 0
   
5. 
   0 6 0 1 0 2
   
6. 
   0 0 0 4 8 0
   

В соответствии с данным алгоритмом составляем максимальный поток:

1)Построим начальный поток.

2)Составляем по ненасыщенному пути А={1,2,3,4,5,6},где 1I и

6S,в сответствии с п.2 алгоритма построения по теореме Форда-Фалкерсона,сток попал в количество ребер по ненасыщенному пути.

3)Выделим путь из истока в сток состоящий из ненасыщенных ребер ₄=(1,2,3,4,5,6).

Потом высчитываем С_ij-X_ij:C₁₂-X₁₂=6-4=2, C₂₃-X₂₃=2-1=1,

C₃₄-X₃₄=3-2=1,∆₄₅=1,∆₅₆=2.

Min(C_ij-X_ij)=1,увеличиваем на единицу построенный поток и возвращаемся к п.2 (4)=1.

П.2 строим множество по ненасыщенным ребрам А={1,2}

Построим разрез min пропускной способности. Этот разрез будет иметь вид (A\B)=1+2+3=6.

Построим разрез транспортной сети. Он будет пересекать дуги, начало которых принадлежит множеству А,а конец мно-жеству В.



Считаем пропускную способность разреза:

R(A\B)=1+2+3=6.

Таким образом, согласно теореме Форда- Фалкерсона построен

Максимальный поток, равный минимальной пропускной способности pазреза сети.