лекция изгиб. Плоский прямой изгиб

• Название: Плоский прямой изгиб
• Анкор: лекция изгиб
• Дата: 23.03.2023
• Размер: 1.44 Mb.
• Имя файла: лекция изгиб.doc
• Тип: Документы; #1010264
• страница: 3 из 5

5.20. Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость Метод начальных параметров

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При попе­речном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси по­лучают поперечные перемещения, а поперечные сечения соверша­ют повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона , каса­тельной к изогнутой оси балки (рис. 5.23).




Рис. 5.23
Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями коор­динаты z и их опре­деление необходимо для расчета жест­кости. Рассмотрим изгиб стержня в од­ной из главных пло­скостей например, в плоскости yz. Как показывает практи­ка, в составе реаль­ных сооружений стержни испытыва­ют весьма малые искривления (y_max/l = 10^2  10^3, где y_max  мак­симальный прогиб; l  пролет балки).

В этом случае неизвестными функциями, определяющими по­ложение точек поперечных сечений балки являются y(z) и  (z) = =  (z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по дли­не балки образуют две функции от координаты z  функцию пере­мещений y(z) и функцию углов поворота  (z). Из геометрических построений (рис. 5.23) наглядно видно, что угол наклона каса­тельной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

. (5.17)

Из курса математического анализа известно, что кривизна пло­ской кривой y(z) выражается следующей формулой:

.

Если рассмотреть совместно соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

. (5.18)

Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное диф­ференциальное соотношение

, (5.19)

где I_x   момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е  модуль упругости материала; EI_x   изгиб­ная жесткость балки.

Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чис­того изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_x (z) имеет по­стоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равно­сильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота попе­речного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно по­логой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точ­ности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значе­ния в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y(z) и углов поворота  (z), необходимо решить уравнение (5.19), с уче­том граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (5.19), записанное для каждого участка, после интегрирования, со­держит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n  конечное число участков, из 2nчисла граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных ин­тегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_x (z) и EI_x (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования урав­нения (5.19) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

Здесь C₁ и С₂ произвольные постоянные интегрирования долж­ны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно при­менить метод начальных параметров, суть которого в сле­дующем.




Рис. 5.24
Рассмотрим балку (рис. 5.24) с постоянным поперечным сече­нием, нагруженную вза­имоуравновешенной си­стемой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикаль­ные перемещения сече­ний балки в положи­тельном направлении оси y). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось z проходила вдоль оси балки, а ось y была бы направлена вверх. На балку действуют: момент М, сосре­доточенная сила Р и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 5.24).

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вноси­мые в уравнение упругой линии, различными типами внешних си­ловых факторов. Для этого составим выражение изгибающих мо­ментов для каждого из пяти участков заданной системы.

Участок I ( 0zl₁ )  M_x (z) = 0.

Участок II (l₁zl₂ )  M_x (z) = M.

Участок III (l₂zl₃ )  M_x (z) = M + P(z  l₂).

Участок IV (l₃z l₄)  M_x (z) = M + P(z  l₂) +  .

Учток V(l₄ z l₅) M_x (z) = M + P(z  l₂) +  .

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего мо­мента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z > l_i и иг­норировать при z  l_i . На основании этого, обобщенное выражение момента M_x (z) для произвольного сечения z может быть записано единой формулой:

M_x (z) = M + P(z  l₂)  + 

. (5.20)

Подставляя (5.20) в (5.19) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

EI_x y (z) = C₀ + C₁ z + +

+  . (5.21)

Постоянные интегрирования C₀ и C₁ по своей сути означают:

C₀ = EI_x y (0) , C₁ = (5.22)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

EI_x y (z) = EI_x y₀ +  z + + +

+  . (5.23)

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

EI_x  (z) =  + +

+  . (5.24)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба y₀ , угла поворота ₀ в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.

 Пример расчета (задача № 9)

Для схем стальных балок I и II, изображенных на рис. 5.25 и 5.26, определить методом начальных параметров углы поворота се­чения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 210⁸ кН/м². По­перечные сечения балок: схема I  круглое диаметром d = 0,24 м, схема II  квадратное со стороной a = 0,2 м.

Решение

Схема I.

1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.25)

y = 0, R₀ + qc  P = 0, R₀ = qc + P = 101,4 + 12 = 2 кН;

M₀ =0, ,

M₀ = q c (b + 0,5 c)  M  P (b + c + e) = 101,4(1,8 + 0,51,4) 

 20  12(1,8 + 1,4 + 1,2) = 37,8 кНм.





Рис. 5.25

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнения равновесия:

M_D = 0, M₀ + R₀4,4 + qc(0,5c + e) + M = 37,8  24,4 +

+ 101,44(0,5 1,4 + 1,2) + 20 = 46,6  46,6 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров. Исполь­зуя уравнение (5.23), для нашего случая запишем:

EI_x y (z) = EI_x y₀ +  z + 

 + .

Здесь M₀ и Q₀  момент и реакция в заделке (т.е. в начале коор­динат). Знак _z > a означает, что слагаемое, после которого он сто­ит, нужно учитывать при z > a и не надо  при z  a. Начальные параметры имеют значения: y₀ = 0; ₀ = 0; M₀ = 37,8 кНм, R₀ = 
= 2 кН (знак реакций определяется по знаку перемещения выз­ванного этими усилиями). Тогда выражение для определения про­гибов будет иметь вид:

EI y (z) = -  +
+ .

Соответственно выражение для определения углов поворота бу­дет:

=-37,8z  z² +  +
 + 20(z  3,2) .

С помощью этих выражений определяем y_D и _D:



кНм³.

кНм².

Жесткость сечения при Е = 210⁸ кН/м² равна:

кНм².

Тогда, окончательно:



Прогиб точки D происходит вниз, а сечение поворачивается по часовой стрелке.

Схема II.





Рис. 5.26

1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.26).

M₀ =0,    R_B (b + c + e)  q(c + e)b + 0,5(c + e) + M + Pb = 0,



= кН;

M_B =0,    R₀ (b + c + e)  0,5q(c + e)²  M + P(c + e) = 0,

кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнение равновесия сил по оси y:

y =0; R₀ + R_B + P  q (c + e) = 7,86 + 14,14 + 8  103 = 30  30 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров. Исполь­зуя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запи­шем:





Из условий закрепления балки при z = 0 имеем: y₀ = 0; М₀=0.

Подставляя числовые значения, получим:



.

В данном выражении неизвестно ₀. Из условия закрепления балки при z = b + c + e имеем, что y = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения ₀:

.

Отсюда EI₀ = 20,84 кНм². Теперь выражение для определе­ния прогибов будет иметь вид:



.

Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:



.

С помощью этих выражений определяем y_D и _D:

кHм³.

кНм².

Вычисляем жесткость сечения (Е = 210⁸ кН/м²):

кНм².

Тогда, окончательно,

рад.

Перемещение точки D происходит вниз, а сечение поворачива­ется по часовой стрелке.

Формулы перемещений в балках