лекция изгиб. Плоский прямой изгиб

• Название: Плоский прямой изгиб
• Анкор: лекция изгиб
• Дата: 23.03.2023
• Размер: 1.44 Mb.
• Имя файла: лекция изгиб.doc
• Тип: Документы; #1010264
• страница: 1 из 5

5.ПЛОСКИЙ ПРЯМОЙ ИЗГИБ

5.17. Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры

5.18. Напряжения в поперечном сечении балки

5.19. Расчет балок на прочность

5.20. Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость

5.17. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты M_x или M_y . Если изгибающий момент в сечении является единст­венным силовым фактором, то изгиб называется чистым (рис. 5.1, а).





Рис. 5.1

В тех случаях, когда в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающим моментом возникают и поперечные силы изгиб назы­вается поперечным. Брус, работающий в основном на изгиб, часто называют балкой. В дальнейшем будем рассматривать такие случаи изгиба балки, при которых, вопервых, поперечное сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии, и, вовторых, вся нагруз­ка лежит в плоскости, совпадающей с осью симметрии балки. Та­ким образом, одна из главных осей инерции лежит в плоскости изгиба, а другая перпендикулярна ей.

Для того, чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связан­ных с расчетом бруса на изгиб, необходимо прежде всего научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. научиться строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Предварительно рассмотрим три основных типа опорных связей балки с основанием:

1. Шарнирноподвижная опора (рис. 5.1, б  левая опора бал­ки), ограничивающая лишь вертикальное перемещение опорного узла.

2. Шарнирнонеподвижная опора (рис. 5.1, б  правая опора балки), ограничивающая вертикальное и горизонтальное перемеще­ния опоры.

3. Жесткая заделка (рис. 5.1, а  опора балки на левом краю), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизон­тали сечения балки, примыкающего к опоре.

По запрещенным направлениям во всех этих типах опор воз­никают соответствующие реакции.

Рассмотрим характерный пример (рис. 5.2, а) и установим не­обходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 5.2, б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.





Рис. 5.2

Заданная система статически определима, следовательно, из ус­ловий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограниче­ний поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) m(A) = 0 и m(В) = 0, определяем вертикальные реакции в опорах:

. (5.1)

Для определения Н_А имеем: откуда Н_А =0. Для проверки правильности вычислений воспользуемся усло­вием равенства нулю суммы всех вертикальных сил y = 0, откуда получим

,     0 = 0.

Для определения внутренних силовых факторов  изгибающего момента М(z) и поперечной силы Q(z) как функций от продоль­ной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для полу­чения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменя­ется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориен­тации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.




Рис. 5.3
Заданная система состоит из двух участков  первого (0  z  a) и второго (a  z  a + b). Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассмат­ривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних уси­лий, определим выражения для внутренних сило­вых факторов. При этом, знак изгибающего мо­мента устанавли­вается по знаку кривизны изогну­того бруса (рис. 5.3, а) и зависит от выбранного направления осей системы координат y0z. Следовательно, в системе координат y0z принятой на рис. 5.3, а положительный момент вызывает рас­тяжение нижних волокон балки.

Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило знаков: если результиру­ющая поперечная сила Q_y вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в обратном случае  отрицательной (рис. 5.3, б).

Из условия равновесия M_x = 0; y = 0 отсеченной части системы, расположенной левее от сечения z₁ (первый участок), (см. рис. 5.2, в), получим:

M_x (z₁) = R_a z₁;     Q_y = R_a . (5.2)

Для определения M_x и Q_y на втором участке рассмотрим рав­новесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z₂ (см. рис. 5.2, б), т.е. M_x = 0; y = 0 откуда и определим:

M_x (z₂) = R_b (a + b  z₂);     Q_y =  R_b . (5.3)

Эпюры M_x и Q_y изображены на рис. 5.4. Заметим, что эпюры изгибающих моментов M_x , как и поперечных сил Q_y строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откла­дываются co стороны растянутых волокон.





Рис. 5.4

Основные дифференциальные соотношения
теории изгиба

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 5.5, а).





Рис. 5.5

Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 5.5, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 5.5, б), получим:

Q_y + q dz  Q_y  d Q_y = 0 ;

M_x + Q_y dz + q dzdz/2  M_x  d M_x = 0.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим:

(5.4)

откуда

. (5.5)

Из (5.4) следует, что при q = const функция Q_y будет линей­ной, а функция M_x  квадратичной. Если на какихто участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Q_y = const, а M_x является линейной функцией от z.

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q_y претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Q_y принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстремальных значений.

5.18. Напряжения при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чис­тым изгибом. Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а попе­речные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, согласно второго выражения (5.4), вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих мо­ментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса прини­мает форму дуги окружности с радиусом кривизны  (рис. 5.6). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба пере­местятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сече­ний друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 5.6).

В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между со­бой угол d, в связи с чем верхние волокна удлиняются, а ниж­ние  укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом CD = C^D^= dz = d. Произвольный отрезок АВ, расположен­ный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину AB  AB. С учетом построений, изображенных на рис. 5.6, легко определить величину его линейной деформации:



. (5.6)

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения  сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям  можно осуществить посредством закона Гука:   (5.7)



Рис. 5.7
Устано­вим положение нейт­ральной оси x, от кото­рой происходит отсчет координаты у (рис. 5.7). Учитывая, что сумма элементарных сил dF по площади попе­речного сечения F дает нормальную силу N_z . Но при чистом изгибе N_z = 0, следовательно:

.

Как известно, последний интеграл представляет собой статиче­ский момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия про­ходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси M_x через . Очевидно, что

. (5.8)

C учетом выражения (5.7) получим:

.

Откуда

, (5.9)

где  кривизна нейтрального волокна; EI_x  жесткость бруса.

Из формулы (5.7), исключая 1/, окончательно получим:

. (5.10)

Откуда следует, что нормальные напряжения  в поперечном сече­нии бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = y_max):

,

где   момент сопротивления сечения.

Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента M_x на соответствующем угловом перемещении d:

, с учетом и ,

окончательно получим

. (5.11)

5.19. Примеры расчетов

Для статически определимых систем: схемы I (консольная бал­ка, рис. 5.8, а), схемы II (двухопорная балка с консолями, рис. 5.13) и схемы III (плоской рамы в виде ломаного бруса, рис. 5.17) при последовательном их рассмотрении требуется:

1. Построить эпюры M_x и Q_y для всех схем и эпюру N_z  для схемы III;

2. Руководствуясь эпюрой M_x , показать на схемах I и II приб­лизительный вид изогнутой оси балки. По опасному сечению подо­брать размеры поперечного сечения:

а) для схемы I  прямоугольное hb при расчетном сопротив­лении R_H = 1610³ кН/м² (клееная древесина); h:b = 1,5;

б) для схемы II  двутавровое (ГОСТ 823972) при расчетном сопротивлении R_H = 20010³ кН/м² (сталь);

Решение

5.19.1. Схема I. Консольная балка (задача №6)

Учитывая особенности рассматриваемой системы (рис. 5.8, а), чтобы исключить необходимость определения опорных реакций, достаточно применяя метод сечений, последовательно рассмотреть те отсеченные части системы от заданного сечения, в котором отсутствует опорное сечение.

1. 
   Построить эпюры Q_y и M_x. Для построения эпюр Q_y и M_x определяем количество участков, затем, используя метод сечений, составляем аналитические выражения изменения Q_y и M_x в зависимости от текущей абсциссы z для каждого участка.
   

Рис. 5.8

Определение количества участков балки
Границами между двумя смежными участками, как правило, являются места расположения тех сечений, где происходит скачкообразное изменение: физико-механических характеристик материала конструкций; геометрических характеристик поперечных сечений (формы и/или размеров), а также внешних нагрузок. В данном случае, рассматриваемая балка, имеющая постоянное поперечное сечение (рис. 5.8, б) имеет три участка: участок I  DС, участок II  СВ, участок III  ВА.
Составление аналитических выражений Q_y и M_x и определение значений в характерных сечениях

Проведя сечение II, рассмотрим равновесие правой отсечен­ной части балки длиной z₁, приложив к ней все действующие спра­ва от сечения заданные нагрузки и внутренние силовые факторы Q_y и M_x , возникающие в сечении, которые заменяют действие от­брошенной части балки (рис. 5.9). При этом, предполагаем, что изображенные на рисунке внутренние силовые факторы положи­тельны.

Составив уравнения равновесия y = 0 и = 0 для этой части балки и решив их, найдем выражения для и в зави­симости от z₁ на участке I (0  z₁  1 м):

 y = 0,  = 0;

, + m = 0, = m = 10 кНм.

Полученные выражения показывают, что на участке I и  const. Знак “минус” у говорит о том, что момент в сече­нии II вызывает растяжение верхних, а не нижних волокон, как это показано на рис. 5.9.




Участок II (1 м z₂ 2 м).

Составим уравнения y = 0 и для отсеченной сече­нием IIII правой части балки (рис. 5.10) и определим из них и :

y = 0,  кН;

, + m  P (z₂  1) = 0, = m + P (z₂  1) .

Из полученных выражений для и видно, что на уча­стке II величина постоянна, а величина изменяется в за­висимости от z₂ по закону прямой линии. Знак “минус” у показывает, что в сечении IIII возникает поперечная сила, дейст­вующая в направлении, обратном показанному на рис. 5.10.

Теперь, подставляя значения z₂ для характерных сечений участ­ка II в полученные аналитические выражения, определим величи­ны и , возникающие в этих сечениях, т.е. ординаты эпюр M_x и Q_y в точках С и В (рис. 5.8, б).

при z₂ = 1 м; = 30 кН;     = 10 + 30 (1  1) = 10 кНм;

при z₂ = 2 м; = 30 кН;     = 10 + 30 (2  1) = 20 кНм.

Участок III (2 м z₂ 4 м).

Составим уравнения равновесия y = 0 и для отсе­ченной сечением IIIIII правой части балки (рис. 5.11) и, решив их, получим,

y = 0, ;

, + m  P (z₃  1) + 0,5 q (z₂  2)² = 0,

= m + P (z₃  1)  0,5 q (z₂  2)² .

Таким образом, вели­чина на участке III изменяется по закону прямой линии, а вели­чина  по закону квадратной параболы.




Рис. 5.11
Подставив значения z₃ , соответствующие харак­терным сечениям участ­ка, в аналитические вы­ражения изменения и , определим координаты эпюр для сечений В и А (рис. 5.8, б).
При z₃ = 2 м = 30 + 20(2  2) = - 30 кН;

= 10 + 30 (2  1)  0,520(2  2)² = 20 кНм.

При z₃ = 4 м = 30 + 20(4  2) = 10 кН;

= 10 + 30 (4  1)  0,520(4  2)² = 40 кНм.

Так как, поперечная сила в пределах участка меняет знак, т.е. имеет промежуточное нулевое значение (рис. 5.8, в), то в этом се­чении возникает экстремальное значение изгибающего момента. Для определения его величины вначале найдем значение z₀ , при котором = 0. Для этого, приравняв выражение для нулю, получим:

P + q (z₀  2) = 0,     м.

Подставив найденное значение z₀ = 3,5 м в аналитическое вы­ражение изменения , вычислим величину M_max:

кНм.

Построение эпюр Q_y и M_x для всей балки

Отложив перпендикулярно к оси абсцисс (линии, параллельной оси балки) в удобном для пользования масштабе вычисленные зна­чения Q_y и M_x в характерных и промежуточных сечениях каждого участка и соединяя концы полученных ординат линиями, соответ­ствующими законам изменения Q_y и M_x на каждом участке, по­строим эпюры Q_y и M_x для всей балки (рис. 5.8, в, г). При этом положительные ординаты эпюры Q_y откладываются вверх, а отри­цательные  вниз по оси абсцисс. Ординаты же эпюр M_x отклады­ваются со стороны растянутого волокна. На эпюрах Q_y обязательно указываются знаки, а на эпюре M_x знаки можно не ставить.

Проверка правильности построения эпюр Q_y и M_x




Рис. 5.12
Для этого необходимо вначале проверить соответствие эпюры Q_y эпюре M_x согласно дифференциальной зависимости , из которой следует, что эпюра Q_y представляет собой эпюру тангенсов угла наклона касательных эпюры M_x к оси балки. В самом деле, на участке II балки (рис. 5.8, г) тангенс угла наклона касательной эпюры M_x к оси балки (рис. 5.12) равен:

кН.

При этом, знак поперечной силы будет положительным, если угол образован вращением оси балки или элемента системы по хо­ду часовой стрелки, и отрицательным, если угол образован враще­нием этой оси против часовой стрелки до совмещения с эпюрой M_x .

В рассматриваемом примере угол  образован вращением оси балки против часовой стрелки, поэтому поперечная сила на этом участке будет отрицательной. После указанной проверки полезно также проверить выполнение следующих положений:

1. Эпюра M_x на участке между сосредоточенными силами, а также между сосредоточенными силой и моментом, и между нача­лом или концом действия равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенными силой и моментом всегда изменяется по закону прямой линии, наклонной к оси элемента, а в пределах действия равномерно распределенной нагрузки по закону квадратной пара­болы, имеющей выпуклость в сторону ее действия, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;

2. Под точкой приложения сосредоточенной силы эпюра M_x имеет излом, острие которого направлено в сторону действия силы, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;

3. На эпюре M_x в месте действия сосредоточенного момента m имеет место скачок, равный его величине;

4. Над шарнирными опорами двухшарнирной балки изгибаю­щий момент может быть только в тех случаях, когда в опорных се­чениях приложены сосредоточенные моменты или когда на консо­лях, расположенных за опорами, приложены нагрузки. Во всех других случаях изгибающие моменты в шарнирах равны нулю;

5. На участке действия равномерно распределенной нагрузки изгибающий момент достигает экстремального значения M_x =
= M_max в том сечении, где поперечная сила , т.е. пере­ходит через нуль, меняя знак;

6. Поперечная сила Q_y на участке равна нулю, если во всех се­чениях по длине этого участка M_x = const;

7. Эпюра Q_y постоянна на участках между сосредоточенными нагрузками и изменяется по закону наклонной прямой лишь на участках, где действует равномерно распределенная нагрузка;

8. Эпюра Q_y в точках приложения сосредоточенных вертикаль­ных сил (Р, R_A , R_B) имеет скачки, равные по величине приложен­ным в этих сечениях сосредоточенным силам, причем направление скачков всегда совпадает с направлением этих сил.

В нашем примере все эти положения выполняются.

2.1. Руководствуясь эпюрой M_x, показать приблизи­тельный вид изогнутой оси балки. При построении при­близительного вида изогнутой оси балки по эпюре M_x необходимо знать, что знак изгибающего момента связан с характером дефор­мации балки от действия заданной внешней нагрузки. Если на участке балки изгибающий момент положителен, то балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, а если отрицателен  выпук­лостью вверх. В тех же сечениях, где изгибающий момент равен нулю, кривизна балки меняет свой знак, т.е. ось балки в этих сече­ниях имеет точки перегиба. При этом всегда следует помнить, что прогибы балки на опорах равны нулю.

Анализируя эпюру M_x (рис. 5.8, г), видим, что на участке АО растянуты нижние волокна, значит, на этом участке изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. На участке ОД растянуты верхние волокна, поэтому изогнутая ось балки на этом участке будет иметь выпуклость вверх. Таким образом, под точкой О, где M_x = 0, кривизна изогнутой оси балки меняет знак, т.е. упругая линия имеет в этом сечении точку перегиба. Учитывая это, строим приблизительный вид изогнутой оси балки (рис. 5.8, д).

2.2. Подбор поперечного сечения балки. Опасным сече­нием является то, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. В нашем примере опасным является сечение Е, где M_max = 42,5 кНм. Прямоугольное сечение балки из клееной древесины подбираем из условия прочности при рас­четном сопротивлении R_H = 1610³ кН/м² и соотношения h/b = 1,5:

,

откуда требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе будет равен:

= 2,6610^-3 м³.

Момент сопротивления прямоугольного сечения равен:

.

Приравняв его , получим =
= 0,288 м, тогда:

0,192 м.

     Округляя, принимаем брус поперечным сечением hb = 0,29 0,19 м², (W_x = 2,66310^-3м³).