АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 40 из 44

Тест 31
1. Вычислите матрицу обратную матрице
1 3
A
1 2



 




2. Решите матричное уравнение
1 3
1 1
X
1 2
1 1
















Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10 10 3. Решите матричное уравнение
1 3
1 1
X
1 2
1 1



 



 



 

4. Решите матричное уравнение
1 3
2
X
1 2
3
















5. Найдите для матрицы
1 0
1
A
0 1 0 0
0 1












присоединенную.
6. Найдите для матрицы
1 0
1
A
0 1 0 0
0 1












союзную.
7. Вычислите матрицу обратную матрице
1 0
1
A
0 1 0 0
0 1












8. При каком значении переменной х для матрицы x x 1
A
1 1



 



верно равенство
1
A
A


?
9. Решите матричное уравнение
1
AXA
E

 , где А – произвольная обратимая квад- ратная матрица.
10. Для матрицы
1 3
A
1 2



 




найдите t
1
(A A )



Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 1
Практическое занятие 32
Определенные системы линейных уравнений
Теорминимум: основные определения, матричная и векторная формы записи, клас- сификация систем по виду и по множеству решений, методы решений определенных систем (с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера), геометрический смысл систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
п.1 Теория
п.1.1 Основные определения
Определение. Уравнение вида
1 1 2
2
n n
1
a x a x
... a x b

 
 , где
1 2
n
1
a , a ,...,a , b – действительные числа,
1 2
n x , x ,..., x – переменные
(неизвестные), называется линейным уравнением с n неизвестными.
Числа
1 2
n a , a ,...,a называются коэффициентами этого линейного уравнения, число
1
b называется свободным членом.
Определение. Уравнение вида
1 1 2
2
n n
a x a x
... a x
0

 
 называется однородным линейным уравнением с n неизвестными.
Пусть дана система из m линейных уравнений с n неизвестными:
11 1 12 2
1n n
1 21 1 22 2
2n n
2
m1 1
m2 2
mn n
m a x a x
... a x b
a x a x
... a x b
a x a x
... a x b

 




 






 


Здесь, по вполне понятным причинам, коэффициенты линейных уравне- ний снабжены нижними двойными индексами. Они образуют матрицу
11 12 1n
21 22 2n m1
m2
mn a
a
... a a
a
... a
A
a a
... a













Определение. Матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных в системе линейных уравнений называется матрицей этой системы.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 2
Определение. Столбец, элементами которого являются свободные члены системы линеных уравнений, называется столбцом свободных членов, и обозначается
1 2
m b
b
B
b














Определение. Матрица системы линейных уравнений, к которой по- следним столбцом приписан столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы, и обозначается
11 12 1n
1 21 22 2n
2
m1
m2
mn m
a a
... a b
a a
... a b
(A | B)
a a
... a b













Определение. Столбец, элементами которого являются неизвестные системы линейных уравнений называется столбцом неизвестных сис- темы, и обозначается
1 2
n x
x
X
x














Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если каждое уравнение системы является однородным, т.е. если стол- бец её свободных членов является нулевым.
Замечание. Одно линейное уравнение с n неизвестными можно рас- сматривать как частный случай системы линейных уравнений, и его тоже можно называть системой линейных уравнений, состоящей из одного уравнения и n неизвестных.
Определение. Решением системы линейных уравнений с n неизвест-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 3 ными называется упорядоченный набор из n чисел, которые будучи подставлены в систему, обращают каждое уравнение системы в вер- ное числовое равенство.
Обозначение:
1 2
n
X (c , c ,...,c )

или
1 2
n c
c
X
c
 
 
 

 
 
 

В первом случае говорят о строке решений, во втором – о столбце ре- шений.
Про систему линейных уравнений, каждое уравнение которой выпи- сано, говорят, что она записана в развернутом виде, или, что система записана в скалярной форме.
Если воспользоваться правилом умножения матриц и определением равенства матриц, то систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:
11 12 1n
1 1
21 22 2n
2 2
m1
m2
mn n
m a
a
... a x
b a
a
... a x
b a
a
... a x
b


 



 



 




 



 



 



или
AX B
 .
Обозначим
1k
2k k
mk a
a
A
a














– k-й столбец матрицы А. Тогда систему линейных уравнений можно записать в виде:
1 1 2
2
n n
A x
A x
... A x
B

 
 .
Такая форма записи системы линейных уравнений называется векторной.
Здесь используется правило умножения скаляра на столбец и сложение столбцов, а столбец рассматривается как матрица размера m 1
 .
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 4
п.1.2 Классификация систем линейных уравнений
Системы линейных уравнений различаются по внешнему виду и в этом случае они называются так же, какова их матрица коэффициен- тов: квадратная, треугольная, диагональная, ступенчатая и т.п. Систе- мы линеных уравнений классифицируют и по множеству их решений.
Определение.
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.
Определение.
Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределен- ной, если она имеет более одного решения.
Замечание.
Легко видеть, что однородная система линейных уравнений
AX 0

является совместной, т.к. она всегда имеет нулевое решение.
п.1.3 Методы решений определенных квадратных систем линей-
ных уравнений
Метод Гаусса.
Этот метод будет разобран на следующем практическом занятии.
Матричный метод.
Этот метод применим только к квадратным системам линейных урав- нений, то есть к таким, чья матрица коэффициентов является квадрат- ной. В дальнейшешем будет доказано, что если определитель матрицы такой системы не равен нулю, то есть матрица системы является не- вырожденной, то система является определенной. Невырожденная матрица является обратимой и на этом основан метод решения.
Система решается как матричное уравнение с использованием об- ратной матрицы:
1 1
1 1
AX B
A (AX) A B
(A A)X A B




 




1 1
EX A B
X A B




 
Формулы Крамера.
Приведенные ниже формулы позволяют найти единственное решение квадратной системы линейных уравнений с невырожденной матрицей коэффициентов (т.е. определитель матрицы не равен нулю).

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 5
Пусть AX B
 – квадратная система линейных уравнений и det A 0

. Обозначим
11 1k
1n
21 2k
2n n1
nk nn a
... a
... a a
... a
... a det A
a
... a
... a



,
11 1
1n
21 2
2n k
n1
n nn a
... b
... a a
... b
... a a
... b
... a
 
, k 1, 2,...,n

– определитель, который получается из определителя
 заменой k-го столбца на столбец свободных членов.
В этих обозначениях справедлива следующая теорема.
Теорема.
Неизвестные
1 2
n x , x ,..., x системы линеных уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов системы могут быть найдены по формулам: k
k x
, k 1, 2,...,n




, которые называются формулами Крамера.
п.1.4 Геометрический смысл систем линейных уравнений с двумя
и тремя неизвестными.
Любое линейное уравнение с двумя неизвестными является урав- нением прямой линии на соответствующей координатной плоскости.
Поэтому решение системы линейных уравнений с двумя неизвестны- ми позволяет ответить на вопрос о взаимном расположении соответ- ствующих прямых на плоскости.
Любое линейное уравнение с тремя неизвестными является урав- нением плоскости в координатном пространстве. Поэтому решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными решает вопрос о взаимном расположении соответствующих плоскостей.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 6
п.2 Список задач
Список №1
1. Для данной системы линейных уравнений выписать её матрицу, столбец свободных членов, столбец неизвестных и записать систе- му в векторной и матричной форме.
2. По данной матрице записать в скалярной форме и векторной форме однородную систему линейных уравнений.
3. По данной расширенной матрице системы линейных уравнений на- писать саму систему в скалярной и векторной форме.
4. Для данной однородной системы линеных уравнений выяснить, яв- ляется она определенной или неопределенной.
5. Убедиться, что данная неоднородная система линейных уравнений является определенной и решить её матричным методом или по формулам Крамера.
6. Представить данный столбец высоты n в виде линейной комбина- ции n других данных столбцов ( n 2
 или n 3

).
Список №2
1. Выяснить при каком значении параметра данная система линейных уравнений является определенной, где в качестве параметра высту- пает один или несколько коэффициентов системы.
2. Выяснить геометрический смысл системы трех линейных уравне- ний с тремя неизвестными и с действительными коэффициентами, т.е. над полем  .
3. Решить по формулам Крамера квадратную систему из трех линейных уравнений над полем комплексных чисел.
4. Решить систему линейных уравнений, заданную над конечным по- лем
2
 по формулам Крамера или матричным методом.
п.3 Примеры
Пример 1.
Для данной системы линейных уравнений выписать её матри- цу, столбец свободных членов, столбец неизвестных и записать систему в векторной и матричной форме:
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2x x
x
4 3x
4x
2x
11 3x
2x
4x
11














Решение. Матрица системы:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 7
2 1
1
A
3 4
2 3
2 4















Столбец свободных членов и столбец неизвестных:
4
B
11 11
 
 
  
 
 
,
1 2
3
x
X
x x




  




Столбцы матрицы системы:
1 2
3 2
1 1
A
3 , A
4 , A
2 3
2 4


 




 






 
 




 





 




Ответ:
2 1
1
A
3 4
2 3
2 4















– матрица системы,
4
B
11 11
 
 
  
 
 
– столбец сво- бодных членов,
1 2
3
x
X
x x




  




– столбец неизвестных системы,
1 2
3 2
1 1
x
4 3
4 2
x
11 3
2 4
x
11



 
  

 
  
 


 
  


 





 


,
AX B

– матричная форма записи системы,
1 2
3 2
1 1
4
x
3
x
4
x
2 11 3
2 4
11


 



  
 



  




  
 



  
 



  

 



  
,
1 1
2 2
3 3
x A
x A
x A
B






– векторная форма записи системы.
Пример 2.
По данной матрице записать в скалярной форме и вектор- ной форме однородную систему линейных уравнений:
1 2
2 3
A
3 0
1 1



 





Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 8
Ответ:
1 2
3 4
1 3
4
x
2x
2x
3x
0 3x x
x
0










– скалярная форма записи однородной системы,
1 2
3 4
1 2
2 3
0
x x
x x
3 0
1 1
0

 


 
   








 


 
   


 


 
   
– векторная форма записи однородной системы.
Пример 3.
Решить систему линеных уравнений матричным методом:
1 2
3 2
3 1
2
x
2x x
10 5x
7x
9 3x
3x
12
 










 

Решение. Сначала мы должны убедиться, что система имеет единст- венное решение, т.е. является определенной. Выписываем определи- тель системы и вычисляем его:
1 2 1 1
2 1 5 7 0
5 7 0
5 7 3
36 1 1 3
3 0 0
3 3






 


Здесь мы к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы первой строки умноженные на 3, затем вынесли из третьей строки за знак определителя общий множитель 3 и разложили полу- чившийся определитель по элементам первого столбца.
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля, то дан- ная система линейных уравнений является определенной и её можно решать матричным методом и по формулам Крамера.
В матричной форме система имеет вид AX B
 , где
1 2 1
A
0 5 7 3
3 0














,
10
B
9 12




 






Отсюда находим, что решение системы равно
1
X A B


. Вычисляем матрицу обратную матрице системы:
1 21 3 19 1
A
21 3
7 36 15 3
5














,

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 9 и находим стобец решений
1 21 3 19 10 45 5
1 1
1
X A B
21 3
7 9
99 11 36 36 4
15 3
5 12 117 13





 






 












 






 







 





Ответ:
1 2
3 5
11 13
x
, x
, x
4 4
4
 


Пример 4.
Решить систему линеных уравнений по формулам Краме- ра:
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2x x
x
4 3x
4x
2x
11 3x
2x
4x
11














Решение. Вычисляем определитель системы:
2 1
1 0
1 1
0 0
1 3
4 2
1 4
2 1
6 2
3 2
4 11 2
4 11 6
4






  
  
 




1 1
6 60 11 1

 


Здесь мы к первому столбцу прибавили третий умноженный на 2, а затем ко второму столбцу прибавили третий умноженный на –1, после чего разложили получившийся определитель по элементам первой строки.
Вычисляем определители
1 4
1 1
11 4
2 180 11 2
4



 


,
2 2
4 1
3 11 2
60 3 11 4


 

,
3 2
1 4
3 4 11 60 3
2 11





По формулам Крамера получаем
3 1
2 1
2 3
180 60 60
x
3, x
1, x
1 60 60 60















Ответ:
1 2
3
x
3, x
1, x
1


 .
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 10
Пример 5.
Представить столбец
4 5
 
 
 
в виде линейной комбинации столбцов
3 4
 
 
 
и
5 6
 
 
 
Решение. Задача заключается в нахождении неизвестных х и у в ра- венстве
4 3
5
x y
5 4
6
 
 
 


 
 
 
 
 
 
Это равенство представляет собой векторную форму записи системы линейных уравнений:
3x 5y 4 4x 6y 5







Решим эту систему матричным методом. В матричной форме система имеет вид AX B
 , где матрица А и столбец свободных членов В сис- темы равны:
3 5
A
4 6


 



,
4
B
5
 
  
 
Столбец неизвестных x
X
y
 
  
 
находим из матричного равенства:
1
X A B


Вычисляем обратную матрицу и столбец неизвестных:
1 6
5 1
A
4 3
2




  




,
1 6
5 4
1 1
1 1
1
X A B
4 3
5 1
1 2
2 2




  
 
 

  

  
 

  
 
 



  
 
 
Ответ:
4 3
5 1
1 5
4 6
2 2
 
 
 


 
 
 
 
 
 

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 11