АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 28 Обозначения 1. Обозначение перестановки множества из n элементов. 2. Обозначение первоначальной перестановки из n элементов. 3. Обозначение числа инверсий в перестановке из n элементов. 4. Обозначение транспозиции в перестановке. 5. Обозначение определителя. 6. Обозначение произвольного члена определителя n-го порядка. 7. Обозначение знака произвольного члена определителя n-го поряд- ка. Определения 1. Определение перестановки элементов конечного множества. 2. Определение первоначальной перестановки из n элементов. 3. Определение инверсии в перестановке. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13 12 4. Определение четной (нечетной) перестановки. 5. Определение транспозиции в перестановке. 6. Определение члена определителя. 7. Определение определителя n-го порядка. Теоремы 1. Теорема о количестве перестановок элементов конечного множест- ва. 2. Теорема о транспозиции соседних элементов перестановки. 3. Теорема о транспозиции произвольных элементов перестановки. 4. Теорема о первоначальной перестановке. 5. Теорема о количестве четных и нечетных перестановок. 6. Правило знаков для членов определителей. Самостоятельная работа 28 Вариант 1 1. Определение перестановки элементов конечного множества. 2. Какие следующие последовательности чисел являются перестановками множест- ва {1,2,3,4}: а) (1,2,3,2,4); б) (4, 3, 1, 2); в) (3, 2, 4)? 3. Выпишите все пары чисел, которые образуют инверсию в перестановке (4,1,3,2) и определите её четность. Вариант 2 1. Определение четной (нечетной) перестановки. 2. Выпишите все пары чисел, которые образуют инверсию в перестановке (4,1,3,5,2) и определите её четность. 3. Выполните в перестановке (4,1,3,5,2) транспозицию (14) и определите четность получившейся перестановки. Вариант 3 1. Определение инверсии в перестановке. 2. Определите четность перестановки (4,1,3,6,5,2). 3. Определите знак члена определителя 14 22 33 41 a a a a Вариант 4 1. Определение члена определителя. 2. Приведите перестановку (4,1,3,6,5,2) к первоначальному виду с помощью транс- позиций и вычислите (4,1,3,6,5,2) ( 1) 3. Вычислите определитель 0 0 4 0 3 9 1 2 1 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13 13 Тест 29 1. Выпишите все перестановки множества {1,2,3}. 2. Какие следующие последовательности чисел являются перестановками множест- ва {1,2,3,4}: а) (1,2,3,1,4); б) ( 3,1,2); в) (4,1,2,3)? 3. Выпишите все пары чисел, образующие инверсии в перестановке (3,4,1,5,2,6) и определите её четность. 4. Приведите перестановку (3,4,1,5,6,2) к первоначальному виду с помощью транс- позиций и определите её четность. 5. Какие из следующих произведений являются членами определителя 4-го порядка: а) 14 22 33 41 a a a a ; б) 32 21 14 41 a a a a ; в) 14 32 23 41 a a a a ? 6. Выпишите все члены определителя 3-го порядка, которые входят в определитель со знаком минус. 7. Определите знак члена определителя 14 22 33 45 51 a a a a a 8. Определите знак члена определителя 54 32 13 66 25 41 a a a a a a 9. Вычислить определитель 1 1 0 0 0 3 2 4 0 0 6 5 0 0 0 8 , используя только его определение. 10. Решите уравнение x x 0 0 1 x 2 4 10 0 0 1 5 0 0 0 1 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 1 Практическое занятие 30 Свойства определителей Теорминимум: свойства определителя, вычисление определителей с использовани- ем его свойств, метод Гаусса приведения определителя к треугольному виду. п.1 Теория п.1.1 Свойства определителей Пусть А – квадратная матрица n-го порядка над полем скаляров . Обозначим через k A – k-й столбец матрицы А и определитель матри- цы А будем обозначать так: 1 2 n det A det (A , A , ... , A ) Определение. Говорят, что столбец i A определителя пропорционален столбцу j A , если верно матричное равенство i j A A , где – скаляр. Определение. Пусть 1 2 n A , A , ... , A – столбцы определителя. Выражение 1 1 2 2 n n A A A , где 1 2 n , ,..., – скаляры, называется линейной комбинацией столб- цов определителя. Теорема. (Свойства определителей.) 1) Определитель не изменяется при транспонировании: t det A det A 2) При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный: 1 p q n 1 q p n det (A , ...,A , ... , A , ..., A ) det (A ,...,A ,...,A ,...,A ) 3) Общий множитель всех элементов столбца (строки) можно выно- сить за знак определителя: 1 k n 1 k n det A (A ,..., A , ... , A ) det (A ,...,A ,...,A ) 4) Определитель содержащий нулевой столбец (строку) равен нулю: 1 n det A (A ,..., 0, ... , A ) 5) Определитель имеющий два равных столбца (строки) равен нулю. 6) Определитель содержащий два пропорциональных столбца (стро- ки) равен нулю. 7) Пусть две квадратные матрицы А и В одного порядка отличаются друг от друга только каким-то k-м столбцом: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 2 k k i i A B , i k A B , Тогда 1 k 1 k k 1 n 1 k 1 k n det (A ,...,A ,A ,A ,...,A ) det (A ,...,A ,B ,...,A ) 1 k 1 k k k 1 n det (A ,...,A ,A B ,A ,...,A ) 8) Определитель не изменится, если к какому-либо столбцу определи- теля прибавить линейную комбинацию других столбцов этого же определителя. 9) Определитель треугольной матрицы равен произведению всех эле- ментов главной диагонали. Замечание. Свойство 7) чаще применяется в обратном порядке, т.е. какой-то столбец расписывается в виде суммы двух столбцов и тогда определитель можно записать в виде суммы двух определителей. Свойства 7) и 8) справедливы и для строк определителя. На практике чаще всего к одному столбцу (или строке) прибавляют другой столбец (строку), умноженный на какой-либо скаляр. п.1.2 Миноры и алгебраические дополнения Определение. Минором элемента ij a определителя n-го порядка на- зывают определитель (n 1) -го порядка, который получается из дан- ного определителя вычеркиванием i- й строки и j-го столбца, на пере- сечении которых стоит элемент ij a , и обозначается ij M . Определение. Алгебраическим дополнением элемента ij a определи- теля n-го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если i j – четное число и со знаком минус в противном случае: i j ij ij A ( 1) M Теорема. (О разложении определителя по элементам строки или столбца.) Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические до- полнения: i1 i1 i2 i2 in in det A a A a A ... a A , i 1, 2,...,n или 1j 1j 2 j 2 j nj nj det A a A a A ... a A , j 1, 2,...,n Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 3 Замечание. Первое равенство в теореме называется разложением оп- ределителя по элементам i-й строки, второе – разложением определи- теля по элементам j-го столбца. п.2 Список задач Список №1 1. Вычисление определителей 2-го порядка. 2. Вычисление определителей 3-го порядка с использованием схемы треугольника. 3. Вычисление минора элемента определителя. 4. Вычисление алгебраического дополнения элемента определителя. 5. Вычисление определителей 3-го порядка с помощью формулы раз- ложения определителя по элементам строки или столбца. 5. Вычисление определителей 3-го и более высокого порядка с ис- пользованием его свойств. 6. Вычисление определителей методом Гаусса (приведением к тре- угольному виду). Список №2 1. Вычисление определителей n-го порядка с использованием его свойств. п.3 Примеры Пример 1. Вычислить определитель 2 3 5 7 Решение. Из определения определителя следует формула вычисления определителя 2-го порядка: a b ad bc c d Получаем 2 3 ( 2)( 7) 3 5 14 15 1 5 7 Ответ: –1. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 4 Пример 2. Вычислить определитель 3 1 2 1 2 4 3 7 0 с использованием схемы треугольников. Решение. Из определения определителя следует формула вычисления определителя 3-го порядка: 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 a a a a a a a a a Следующая схема вычисления определителя называется схемой тре- угольника. Изобразим элементы определителя точками и соединим отрезками прямых те точки, которые соответствуют члену определи- теля. Получим два отрезка прямых и 4 треугольника. Элементы члена определителя 12 23 31 a a a находятся в вершинах треугольника, сторона 12 23 a a которого параллельна главной диагонали: 12 23 31 a a a Член определителя 13 21 32 a a a также образует треугольник с основани- ем, параллельным главной диагонали: 13 21 32 a a a Эти два члена определителя вместе с членом определителя, который равен произведению элементов главной диагонали имеют знак плюс: 11 22 33 a a a Оставшиеся 3 члена определителя имеют знак минус – это произведе- ние элементов побочной диагонали Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 5 13 22 31 a a a , и два треугольника 11 23 32 a a a и 12 21 33 a a a со сторонами, параллельными побочной диагонали: 11 12 23 21 32 33 a a a , a a a Используя эту схему вычисления, получаем: 3 1 2 1 2 4 3 2 0 ( 1) 4 ( 3) ( 2) 1 7 3 7 0 ( 2) 2 ( 3) 3 4 7 ( 1) 1 0 12 14 12 84 98 . Ответ: – 98. Пример 3. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элемен- тов 12 21 a , a и 33 a определителя 3 5 2 1 2 4 3 7 0 Решение. По определению минора и алгебраического дополнениния имеем: 1 2 12 12 12 12 1 4 M 12, A ( 1) M M 12 3 0 , 2 1 21 12 21 21 5 2 M 14, A ( 1) M M 14 7 0 , 3 3 33 33 33 33 3 5 M 11, A ( 1) M M 11 1 2 Ответ: 12 21 33 M 12, M 14, M 11 , 12 21 33 A 12, A 14, A 11 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 6 Пример 4. Вычислить определитель 3 1 2 1 2 4 3 7 0 с помощью раз- ложения определителя по элементам строки или столбца. Решение. Разложим определитель по элементам 3-й строки: 11 12 13 21 22 23 31 31 32 32 33 33 31 32 33 a a a det a a a a A a A a A a a a 31 31 32 32 33 33 a M a M a M 33 1 2 3 2 ( 3) 7 0 M ( 3) 0 7 14 98 2 4 1 4 . Ответ: – 98. Пример 5. Вычислить определитель 0 0 5 0 0 3 1 1 2 1 1 3 0 4 1 2 , используя его разложение по элементам строк или столбцов. Решение. Понятно, что при разложении определителя по элементам строки или столбца нужно выбирать строку или с столбец с наиболь- шим количеством нулей. 31 31 31 0 0 5 0 0 3 1 1 a A ( 2)M 2 1 1 3 0 4 1 2 12 12 12 0 5 0 2 3 1 1 2 a A 2 5( M ) 4 1 2 3 1 10 20 4 2 Комментарии к решению. Сначала мы разложили определитель по элементам первого столбца, затем получившийся определитель 3 – го порядка разложили по элементам 1 – й строки и в конце вычислили Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 7 определитель 2 – го порядка. Пример 6 . Вычислить определитель 1 0 1 2 3 0 3 4 2 методом Гаусса, приводя его к треугольному виду. Решение. Умножим первую строку на (– 2) и прибавим ко второй строке: 1 0 1 1 0 1 2 3 0 2 1 ( 2) 3 0 ( 2) 0 ( 1)( 2) 3 4 2 3 4 2 1 0 1 0 3 2 3 4 2 Умножим первую строку на 3 и прибавим к третьей: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 3 2 0 3 2 0 3 2 3 4 2 3 1 3 4 0 3 2 ( 1) 3 0 4 1 Умножим третий столбец на 4 и прибавим ко второму: 1 0 1 1 4 1 0 3 2 0 11 2 11 0 4 1 0 0 1 Ответ: – 11. п.4 Задачи Задачи для аудиторного решения 30 1. Вычислить определители 2-го порядка: а) 1 4 5 2 ; б) 3 4 1 2 ; в) 3 6 5 10 ; г) 3 16 5 10 ; д) 2 a 1 a a ; е) 1 2 1 1 x x ; ё) 2 a 1 b c a a ab ac ; Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 8 ж) cos sin sin cos 2. Вычислить определитель 2 1 1 1 4 1 1 8 3 по схеме треугольника. 3. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов 13 22 a , a и 31 a определителя 2 3 5 1 4 1 6 2 7 4. Вычислить определитель 2 3 5 1 4 1 6 2 7 , разложив его по элемен- там 2-й строки и 3-го столбца. 5. Вычислить определитель 2 0 2 2 1 2 1 2 1 двумя различными спосо- бами (по схеме треугольника и разложив его по элементам какой- нибудь строки или столбца). 6. Вычислить определитель 1 3 1 1 1 3 2 1 3 , приведя его к треугольному виду. 7. Вычислить определители: а) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; б) 2 5 1 2 3 7 1 4 5 9 2 7 4 6 1 2 ; в) 3 5 2 4 3 4 5 3 5 7 7 5 8 8 5 6 ; г) 7 6 3 7 3 5 7 2 5 4 3 5 5 6 5 4 ; Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 9 д) 7 3 2 6 8 9 4 9 7 2 7 3 5 3 3 4 ; е) 1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1 ; ё) 1 1 3 x 1 3 1 y 3 1 1 z 1 1 1 t Задачи повышенного уровня сложности 30 1. При каком значении параметра а число a 24 12 36 является кор- нем уравнения 2 x x 132 0 . 2. Докажите, что для любой ненулевой пары рациональных чисел (a;b) (0; 0) существет хотя бы одна пара рациональных чисел (x; y) , такая, что a b 1 x y . 3. Как изменится определитель, если: а) его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение; б) его строки записать в обратном порядке? 4. Вычислить определители: а) 27 44 40 55 20 64 21 40 13 20 13 24 46 45 55 84 ; б) 1 2a 1 a x 1 2b 2 b x 1 2c 3 c x 1 2d 4 d x ; в) 3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3 ; г) 1 x y 1 x y 1 x y 1 1 1 2 1 3 1 x y 1 x y 1 x y 2 1 2 2 2 3 1 x y 1 x y 1 x y 3 1 3 2 3 3 ; д) a b 0 ... 0 0 0 a b ... 0 0 0 0 a ... 0 0 0 0 0 ... a b b 0 0 ... 0 a ; е) 3 9 3 3 2 2 2 5 8 2 7 3 3 3 3 4 5 2 1 3 3 3 7 8 4 5 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12 10 Домашнее задание 30 1. Вычислить определители: а) 3 7 6 14 ; б) x y 2y x y x y ; в) 2 2 x xy y y x x y 2. Решить уравнение x 2 2 1 x 1 0 1 1 1 3. Вычислить определитель 1 1 1 2 1 3 1 3 1 1 4 3 3 0 8 13 4. Вычислить определитель 2 2 1 1 1 1 1 , если 3 1 . п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 30 Обозначения 1. Обозначение определителя матрицы А. 2. Обозначение линейной комбинации столбцов определителя. 3. Обозначение минора элемента определителя. 4. Обозначение алгебраического дополнения элемента определителя. Определения 1. Определение пропорциональных столбцов определителя. 2. Определение линейной комбинации столбцов определителя. 3. Определение минора элемента определителя. 4. Определение алгебраического дополнения элемента определителя. Теоремы 1. Своства определителя. 2. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. |