АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Пример 5. Выясните, является ли данная система столбцов порож- дающей: 1 1 1 { 1 , 2 , 1 } 1 0 1 Решение. Здесь мы разберем способ решения, основанный на опреде- лении порождающей системы векторов. Другой способ разберем на следующем практическом занятии. Вычислим определитель, построенный на столбцах данной систе- мы: 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 1 0 3 2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Так как определитель не равен нулю, то следующая система линейных уравнений имеет единственное решение при любом столбце свобод- ных членов: 1 1 2 3 2 3 1 1 1 b x 1 x 2 x 1 b 1 0 1 b , а это как раз и означает, что данная система столбцов является поро- ждающей. Ответ: да, данная система столбцов является порождающей системой арифметического пространства столбцов 3 . п.4 Задачи Задачи для аудиторного решения 35 1. Запишите линейную комбинацию системы векторов 1 2 3 { e ,e ,e } если её коэффициентами служит набор скаляров: а) 1 2 3 ( , , ) ; б) (–1, 4, –3); в) ( , 0, 1) . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 11 2. Запишите тривиальную линейную комбинацию системы векторов 1 2 3 { e ,e ,e } . 3. Запишите какую-нибудь нетривиальную линейную комбинацию системы векторов 1 2 3 4 { e ,e ,e ,e } с числовыми коэффициентами. 4. Найдите столбец, который равен данной линейной комбинации: 1 2 3 x 2e e e , где 1 2 3 1 0 1 e 0 , e 1 , e 1 1 1 0 5. Проверьте пропорциональность столбцов: а) 3 15 0 , 0 4 20 ; б) 2 15 4 , 30 6 45 , и выразите, если это возможно, один столбец через другой. В ка- ком случае столбцы являются линейно независимыми? 6. Докажите, что система столбцов 1 2 3 { f ,f ,f }, где 1 2 3 1 1 1 f 1 , f 1 , f 2 1 2 3 является линейно независимой. 7. Если данная система столбцов является линейно зависимой, то най- дите какое-нибудь её нетривиальное представление нулевого столбца, и выразите один из столбцов этой системы через два дру- гих: а) 1 2 3 3 4 1 g 5 , g 14 , g 9 8 10 2 ; б) 1 2 3 4 1 2 1 1 2 3 2 3 f , f , f , f 1 0 1 1 2 1 4 0 ; Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 12 в) 1 2 3 4 5 1 2 1 1 0 0 1 1 2 1 a , a , a , a , a 0 1 1 3 2 1 0 1 4 3 8. Докажите, что система из двух столбцов 3 1 0 , 0 4 2 не является порождающей системой в пространстве столбцов 3 . 9. Докажите, что система столбцов 1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1 является линейно независимой и порождающей системой в векторном пространстве столбцов 3 . 10. Докажите, что система столбцов 1 0 0 1 0 , 1 , 0 , 1 0 0 1 1 является ли- нейно зависимой и порождающей системой в векторном простран- стве столбцов 3 . Задачи повышенного уровня сложности 35 11. Докажите, что если система векторов содержит линейно зависи- мую подсистему, то сама система векторов тоже линейно зависима. 12. Докажите, что система столбцов 1 1 1 0 1 1 { , , ... , } 0 0 1 линейно неза- висимая. 13. Обозначим 2 R [x] – множество многочленов от буквы х с действи- тельными коэффициентами, степень которых не превышает 2: 2 2 R [x] {ax bx c | a,b,c R} . Докажите, что: а) 2 R [x] есть векторное пространство; Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 13 б) системы 2 {1, x, x } и 2 {1, x 1, (x 1) } являются линейно незави- симыми и порождающими; в) системы 2 {1, x 1, 2x, x } и 2 2 {x 1, x , x x 1} являются линей- но зависимыми. Являются ли эти системы порождающими? 14. Обозначим буквой S множество бесконечных сходящихся после- довательностей вещественных чисел: k k k S { (a ), k | (lim a ) } . Определим на множестве S покомпонентное сложение последова- тельностей и покомпонентное умножение последовательности на число. Докажите, что S является вещественным векторным про- странством. 15. Обозначим буквой А множество бесконечных последовательно- стей вещественных чисел, сходящихся к одному числу a : k k k A { (a ), k | lim a a } . Определим сложение на А и умноже- ние на число как в предыдущей задаче. Докажите, что: а) если a 0 , то множество А является векторным пространством; б) если a 0 , то множество А не является векторным пространст- вом. Какая аксиома векторного пространства не выполняется? 16. Докажите, что а) поле комплексных чисел С образует векторное пространство над полем вещественных чисел; б) системы {1, i } и {1 i,1 i } являются линейно независимыми. 17. Обозначим (0;1) C – множество числовых функций от одной пере- менной, непрерывных на интервале (0; 1) и с обычными действия- ми сложения и умножения. а) Докажите, что множество (0;1) C полем не является. б) Какое подмножество множества (0;1) C будет полем? в) Является ли множество (0;1) C вещественным векторным про- странством? Домашнее задание 35 1. Пусть в арифметическом вещественном векторном пространстве столбцов высоты 3 задана система столбцов: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 14 1 2 3 2 3 1 f 1 , f 2 , f 1 3 5 1 . Докажите, что она является линейно независимой и порождающей. 2. Докажите, что система столбцов: 1 2 2 0 0 3 2 10 { , , , } 3 5 5 2 3 4 4 4 является линейно зависимой, и найдите ее нетривиальную линей- ную комбинацию равную нулю. Выразите какой-нибудь вектор системы через оставшиеся. Самостоятельная работа 35 Вариант 1 1. Определение линейной комбинации системы векторов. 2. Докажите, что система столбцов 1 1 { , } 1 1 является линейно зависимой, и найдите нетривиальное представление нулевого столбца данной системой. Вариант 2 1. Определение тривиальной линейной комбинации системы векторов. 2. Докажите, что система столбцов 1 1 { , } 1 1 является линейно независимой. Вариант 3 1. Определение линейно зависимой системы векторов. 2. Докажите, что система столбцов 1 2 1 { 1 , 1 , 4 } 1 0 3 является линейно зависимой, и найдите нетривиальное представление нулевого столбца данной системой. Вариант 4 1. Определение порождающей системы векторов. 2. Докажите, что система столбцов 1 2 1 { 1 , 1 , 1 } 1 0 1 является линейно независимой и порождающей. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 15 Тест 35 1. Запишите линейную комбинацию системы столбцов 1 1 { , } 1 1 с коэффициентами 1 2 3, 1 2. Какой вектор представляет система столбцов 1 1 { , } 1 1 с коэффициентами: а) 1 2 3, 4 ; б) 1 2 1 ? 3. Проверьте пропорциональность столбцов и выразите один из столбцов через дру- гой: 1 3 { 1 , 3 } 2 6 4. Докажите, что система из двух противоположных векторов является линейно за- висимой. 5. Определите, является ли данная система векторов линейно зависимой или линей- но независимой: 2 2 1 { 1 , 2 , 2 } 2 1 2 6. Докажите, что данная система векторов является линейно зависимой и найдите какое-нибудь нетривиальное представление нулевого вектора данной системой: 2 2 2 { 1 , 2 , 11 } 2 1 2 7. Докажите, что система столбцов 1 1 1 { , , } 1 1 1 является порождающей и ли- нейно зависимой. 8. Докажите, что система столбцов 1 1 { , } 1 1 является порождающей и линейно независимой. 9. Докажите, что система столбцов 1 2 { 1 , 1 } 1 0 является линейно независимой, и дополните её ещё одним столбцом высоты 3, чтобы получившаяся система из трех столбцов была: а) линейно независимой; б) линейно зависимой. |