Пример 5.
С помощью элементарных преобразований строк привести к диагональному виду матрицу
1 2
3
A
3 2
4 2
1 1
Решение. Ко 2-й строке прибавим первую строку, умноженную на (–
3), а к третьей прибавим первую, умноженную на (–2)
1 2
3
A
0 4
5
0 5
7
умножим 3-ю строку на (–1) и прибавим ко 2-й строке
1 2
3
0 1
2
0 5
7
умножим 2-ю строку на 5 и прибавим к 3-й строке
1 2 3
0 1 2
0 0 3
сократим третью строку на (–3)
1 2 3
0 1 2
0 0 1
ко второй строке прибавим третью, умноженную на 2, а к первой строке прибавим третью, умноженную на 3
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 8
1 2 0
0 1 0
0 0 1
вторую строку умножим на (–2) и прибавим к первой
1 0 0
0 1 0 0 0 1
Ответ:
1 0 0
A
0 1 0 0 0 1
Пример 6.
Решить систему
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2x x
x
4 3x
4x
2x
11 3x
2x
4x
11
Решение. 1) Выписываем расширенную матрицу системы:
2 1
1 4
(A | B)
3 4
2 11 3
2 4 11
2) Делаем предварительный шаг для получения в левом верхнем углу единицы. С этой целью умножим 1-ю строку на (–1) и прибавим ко второй:
2 1
1 4 2
1 1 4 3
4 2 11
1 5
1 7
3 2
4 11 3
2 4 11
далее, переставляем первую и вторую строки:
1 5
1 7
2 1
1 4
3 2
4 11
3) умножаем первую строку на (–2) и прибавляем ко второй, затем умножаем первую строку на (–3) и прибавляем к третьей:
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 9
1 5
1 7
0 11 1
10
0 17 7
10
4) умножим вторую строку на 3, а третью на (–2):
1 5
1 7
0 33 3
30
0 34 14 20
(Этот и
следующий шаги нам потребовались для того, чтобы избежать работы с дробями.)
5) прибавим ко второй строке третью и разделим третью строку на 2:
1 5
1 7
0 1
11 10
0 17 7
10
6) умножаем вторую строку на (–17) и прибавляем к третьей:
1 5 1
7
0 1 11 10
0 0 180 180
7) делим третью строку на 180:
1 5 1
7
0 1 11 10 0 0 1
1
;
8) записываем систему по полученной матрице:
1 2
3 2
3 3
x
5x x
7
x
11x
10
x
1
;
9) решаем полученную систему:
3 2
1
x
1, x
1, x
3
.
Ответ:
3
X
1 1
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 10
Замечание. Решая систему примера 6 методом Гаусса мы приводили расширенную матрицу системы (A | B) к трапециевидному виду. Мож- но, используя этот же метод, привести эту матрицу к виду
(E | X) , где Е
– единичная матрица, а Х – искомое решение. Продемонстрируем это на примере.
Вернемся к предыдущему примеру. На 7-м шаге мы получили матри- цу:
1 5 1
7
0 1 11 10
0 0 1
1
8) умножим 3 – ю строку на 11 и прибавим ко 2 – й:
1 5 1 7
0 1 0
1
0 0 1
1
9) прибавим 3 – ю строку к первой:
1 5 0 8
0 1 0 1
0 0 1 1
10) умножим вторую строку на (–5) и прибавим к первой:
1 0 0 3
0 1 0 1 0 0 1 1
;
11) записываем систему по полученной матрице:
1 2
3
x
3
x
1
x
1
Таким образом, в результате всех шагов мы получили:
2 1
1 4 1 0 0 3
(A | B)
3 4
2 11 0 1 0 1
(E | X)
3 2
4 11 0 0 1 1
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 11
Это позволяет нам не возвращаться более к системе, а сразу получать ответ.
Ответ:
3
X
1 1
п.4 Задачи
Задачи для аудиторного решения 33
1. Определите, содержит ли строка ступеньку и какой длины: а) (0, 1, –1, 2); б) (3, 0, 0, –1, 2); в) (0, 0, 4, 0, 0, 1).
2. Определите вид матрицы: а)
3 2
5 1
0 3
1 5
0 0
3 4
0 0
0 1
; б)
3 2
5 0
0 3
0 5
0 0
0 4
0 0
0 0
; в)
1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
; г)
3 2
5 1 0
0 0 1 0
0 0 0
; д)
3 2
5 1 0
2 0 1 0
0 1 0
3. Приведите матрицу к ступенчатому виду: а)
1 5 3
2 1 4
; б)
5 2 2 3 3 1 2 5
; в)
3 2
5 1
2 1
0 1
2 0
3 3
4. Приведите матрицу к диагональному виду: а)
4 5 3 4
; б)
2 1 2 0
1 1 0
1 0
; в)
0 1
3 1
0 2
2 1
4
5. Решить систему методом Гаусса:
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 12
а)
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
x x
2x
3x
1 3x x
x
2x
4 2x
3x x
x
6
x
2x
3x x
4
; б)
2 3
4 1
3 4
1 2
4 1
2 3
x
3x
4x
5
x
2x
3x
4 3x
2x
5x
12 4x
3x
5x
5
; в)
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
x
2x
3x
2x
6 2x x
2x
3x
8 3x
2x x
2x
4 2x
3x
2x x
8
; г)
1 2
3 4
2 3
4 5
1 2
3 2
3 4
3 4
5
x x
x x
0
x x
x x
0
x
2x
3x
2
x
2x
3x
2
x
2x
3x
2
;
Домашнее задание 33
1. Приведите матрицу к ступенчатому виду: а)
3 2
5 1
2 3
1 5
A
1 2
0 4
1 1
4 9
; б)
2 2
0 1
2 3
1 3
A
3 4
1 2
1 3
1 1
2. Решите систему методом Гаусса:
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
x
2x
3x
4x
5 2x x
2x
3x
1 3x
2x x
2x
1 4x
3x
2x x
5
п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 33
Обозначения
1. Обозначение эквивалентных матриц.
Определения
1. Определение элементарных преобразований строк матрицы.
2. Определение матрицы эквивалентной данной.
3. Определение треугольной матрицы.
4. Определение ступеньки.
5. Определение ступенчатой матрицы.
6. Определение трапециевидной матрицы.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 13 7. Определение равносильных систем линейных уравнений.
Теоремы
1. Теорема об эквивалентных матрицах.
2. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
3. Теорема о равносильных системах линейных уравнений.
Самостоятельная работа 33
Вариант 1
1. Определение матрицы эквивалентной данной.
2. Приведите матрицу
1 0 1
2 1 2
к ступенчатому виду.
3. Решите систему методом Гаусса: x 5y 1 2x 9y
2
Вариант 2
1. Определение треугольной матрицы.
2. Приведите матрицу
2 1 1 3 1 0 0 4
к ступенчатому виду.
3. Решите систему методом Гаусса: x 4y 3z 1
y 2z
3 3y 5z 5
Вариант 3
1. Определение ступенчатой матрицы.
2. Приведите матрицу
1 0
3 2
1 1
0 1
6
к ступенчатому виду.
3. Решите систему методом Гаусса: x 3z 1 2x y z
1
y 6z 10
Вариант 4
1. Определение трапециевидной матрицы.
2. Приведите матрицу
2 1 1 2 1 0 1 2 2 3 2 5
к ступенчатому виду.
3. Решите систему методом Гаусса:
2x y z
2
x z
2 5x 3y 2z
8
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 14
Тест 33
1. Напишите строку длины 4, которая имеет ступеньку длины 2.
2. Напишите пример трапециевидной матрицы размера
2 4
3. Приведите матрицу
5 3 4 5
к треугольному виду.
4. Приведите матрицу
1 5
3 2
1 1
0 1
1
к ступенчатому виду.
5. Приведите матрицу
1 5 3
0 1 1
0 0 1
к диаглнальному виду.
6. Приведите матрицу
2 1 1
2 1 0 1
2 0 1 1
2
к трапециевидному виду.
7. Решите систему методом Гаусса:
4x 5y 10 3x 4y
21
8. Решите систему методом Гаусса: x 4y 3z
7 5y 2z 3 12y 5z 5
9. Решите систему методом Гаусса:
2x y z
2 3x z 1
x 2y z
1
10. При каком значении параметра р система
2x y 1
x y 1
x py
2
будет определенной? Ре- шите задачу используя метод Гаусса.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 34, УдГУ, Ижевск – 2011, с.7 1
Практическое занятие 34 Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Теорминимум: обоснование метода Гаусса решения матричных уравнений и вы- числения обратной матрицы.
п.1 Теория п.1.1 Решение линейного матричного уравнения методом Гаусса Пусть дано матричное уравнение
AX B
, где А – квадратная невырожденная матрица n-го порядка, В – матрица размера n m
, Х – неизвестная (искомая) матрица размера n m
.
Обозначим
1 2
m
X , X ,...,X – столбцы матрицы Х,
1 2
m
B , B ,...,B – столбцы матрицы В и будем решать m систем линейных уравнений: k
k
AX
B
, k 1, 2,...,m
с матрицей коэффициентов А , столбцом неизвестных k
X и столбцом свободных членов k
B .
Если мы решаем эти системы методом Гаусса, то мы выписываем расширенную матрицу коэффициентов и элементарными преобразо- ваниями строк приводим ее к виду k
k
(A | B ) (E | X ) , k 1, 2,...,m
, и проделываем это m раз, причем с матрицей А все преобразования повторяются.
Можно значительно сократить вычисления, если решать все m систем сразу, одновременно. Для этого выписываем матрицу
(A | B) и методом Гаусса приводим ее виду
(A | B) (E | X) , где Х – искомая матрица.
Замечание. Матричное уравнение XA B, det A 0
, можно свести к уравнению t
t t
A X
B
и решить его методом Гаусса.
п.1.2 Вычисление обратной матрицы методом Гаусса По определению, матрица обратная к матрице А является решением матричного уравнения AX E
, где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Решая это матричное уравнение также, как мы это только что делали в предыдущем пункте, получаем:
1
(A | E) (E | A )
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 34, УдГУ, Ижевск – 2011, с.7 2
п.2 Список задач Список №1 1. Методом Гаусса найти матрицу обратную данной.
2. Решить методом Гаусса линейное матричное уравнение.
п.3 Примеры Пример 1. Решить матричное уравнение
3 8 2 3 9 3 9 4 X
1 11 1 3 1 7 5
Решение. Выписываем матрицу (A | B) и переставим третью строку на первое место (нам удобно, когда верхний левый элемент равен 1):
3 8 2 3 9 1 3 1 7 5
(A | B) 3 9 4 1 11 3 8 2 3 9
1 3 1 7 5 3 9 4 1 11
умножаем первую строку на (–3) и
прибавляем ко второй строке, а за- тем прибавляем к третьей строке
1 3
1 7
5
0 1
1 18 6
0 0
1 20 4
прибавляем третью строку ко второй, затем умножаем третью строку на (–1) и прибавляем к первой
1 3
0 27 9
0 1 0 38 10
0 0
1 20 4
умножаем вторую строку на 3 и прибавляем к первой
1 0
0 87 21 1 0 0 87 21
0 1 0 38 10 0 1 0 38 10 0
0 1
20 4
0 0 1 20 4
На последнем шаге мы умножили вторую строку на (–1).
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 34, УдГУ, Ижевск – 2011, с.7 3
Ответ:
87 21
X
38 10 20 4
Пример 2.
Найти матрицу обратную матрице
1 2
3
A
3 2
4 2
1 0
Решение. Выписываем матрицу (A | E) , умножаем первую строку на
(–3) и прибавляем ко второй, затем умножаем первую строку на (–2) и прибавляем к третьей
1 2
3 1 0 0 1
2 3
1 0 0 3
2 4 0 1 0 0 4
5 3 1 0
2 1
0 0 0 1 0
5 6
2 0 1
умножаем третью строку на (–1) и прибавляем ко второй, добиваясь элемента 1 на пересечении второй строки и второго столбца
1 2
3 1
0 0
0 1
1 1 1 1
0 5
6 2 0 1
умножаем вторую строку на 5 и прибавляем к третьей
1 2 3
1 0
0
0 1 1
1 1 1
0 0 1
7 5 4
прибавляем третью строку ко второй
1 2 3
1 0
0
0 1 0
8 6 5
0 0 1
7 5 4
умножаем третью строку на 3 и прибавляем к первой
1 2 0 20 15 12
0 1 0 8
6 5
0 0 1 7
5 4
умножаем вторую строку на (–2) и прибавляем к первой
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 34, УдГУ, Ижевск – 2011, с.7 4
1 0 0 4 3 2
0 1 0 8 6 5
0 0 1 7 5 4
Ответ:
4 3 2
8 6 5
7 5 4
п.4 Задачи
Задачи для аудиторного решения 34
1. Найти матрицу обратную данной методом Гаусса: а)
3 4 2 3
; б)
13 4 10 3
; в)
19 15 4
3
; г)
0 1 3 2 3 5 3 5 7
; д)
1 2 1
2 3 8 0
4 2 2 4
3 3 8 1
6
; е)
0 0 1 1
0 3 1 4
2 7 6 1
1 2 2 1
; ё)
1 1 1 3 1 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
; ж)
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
2. Решить матричное уравнение: а)
3 1 2 3 9 7 4
3 3 X
1 11 7 1
3 0
7 5 7
;
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 34, УдГУ, Ижевск – 2011, с.7 5 б)
5 3
1 8
3 0
X
1 3
2 5
9 0
5 2
1 2 15 0
Скачать 2.3 Mb.