АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
п.1.3 Умножение матрицы на скаляр Определение. Произведением скаляра на матрицу ij A (a ) на- зывается матрица ij B (b ) тех же размеров, что и матрица А, где эле- менты ij b определяются равенством ij ij b a , для всех значений индексов, и обозначается A Другими словами, для того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нуж- но каждый элемент матрицы умножить на данный скаляр: 11 12 1n 11 12 1n 21 22 2n 21 22 2n m1 m2 mn m1 m2 mn a a ... a a a a a a ... a a a a A a a ... a a a a Замечание. Легко видеть, что умножив матрицу на (–1) мы получаем противоположную матрицу: A ( 1) A . Теорема. (Свойства умножения матрицы на скаляр.) Умножение мат- рицы на скаляр подчиняется законам: 5) ассоциативность: m,n x, y , A M : Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 5 (xy)A x(yA) ; 6) если 1 – единица поля , тогда m,n A M : 1 A A ; 7) дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения скаляров: m,n x, y , A M : (x y)A xA yA ; 8) Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения матриц: m,n x , A,B M : x(A B) xA xB Следствие. Множество m,n M относительно сложения матриц и умно- жения матриц на скаляр является векторным пространством над по- лем . Обозначим через n множество всех столбцов высоты n (строк длины n) с элементами из поля . Следствие. Множество n является векторным пространством над полем . Определение. Векторное пространство n называется арифметиче- ским векторным пространством столбцов высоты n (строк длины n). п.1.4 Умножение матриц Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу: 1 2 1 2 n 1 1 2 2 n n n b b (a , a , ... , a ) a b a b ...a b b Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 6 Определение. Произведением матрицы ij A (a ) размера m n на матрицу ij B (b ) размера n p называют матрицу ij C (c ) размера m p , где элемент ij c является результатом произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В для всех значений индексов i 1, 2, ... , m , j 1, 2, ... , p : 1j 2 j ij i1 i2 in i1 1j i2 2 j in nj nj b b c (a , a , ... , a ) a b a b ...a b b n i k k j k 1 a b , и обозначается C A B Другими словами, чтобы умножить две матрицы, нужно каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матри- цы. Умножая первую строку первой матрицы на каждый столбец вто- рой матрицы мы получим все элементы первой строки матрицы про- изведения, затем делаем то же самое для второй строки первой матри- цы и так далее. Замечание. Из определения следует, что умножение матриц возмож- но тогда и только тогда, когда ширина первой матрицы (т.е. число ее столбцов) равна высоте второй (т.е. числу ее строк). Замечание. Умножение матриц не обладает свойством коммутатив- ности. Определение. Квадратная матрица Е n-го порядка называется еди- ничной матрицей n-го порядка, если для любой квадратной матрицы А n–го порядка справедливо равенство: AE EA A . Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем будем обозначать через n n M ( ) M Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 7 Теорема. (Об единичной матрице.) Матрица 1 0 ... 0 0 1 ... 0 E 0 0 ... 1 является единственной единичной матрицей относительно умножения квадратных матриц n-го порядка. Теорема. (Свойства умножения матриц.) Умножение матриц подчи- няется следующим законам: 9) ассоциативность: n A,B,C M : (AB)C A(BC) ; 10) существование единичной матрицы: n n E M : A M E A A E A ; 11) дистрибутивность умножения матриц относительно их сложения: n A,B,C M : A(B C) AB AC, (A B)C AC BC ; 12) умножение матриц связано с умножением матрицы на число есте- ственным законом: n x , A,B M : (xA)B A(xB) x(AB) Следствие. Множество всех квадратных матриц n-го порядка над по- лем K является некоммутативным кольцом с единицей и с делителями нуля. Определение. Натуральной n-й степенью квадратной матрицы А на- зывается матрица n n штук A A A ... A Нулевую степень квадратной матрицы А n-го порядка по определе- нию полагают равной единичной матрице того же порядка: o A E . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 8 п.2 Список задач Список №1 1. Определить размеры данной матрицы. 2. Определить порядок данной квадратной матрицы. 3. Выписать заданные элементы данной матрицы. 4. Транспонировать матрицу. 5. Найти сумму двух матриц. 6. Найти матрицу, противоположную данной. 7. Найти разность двух матриц. 8. Найти произведение матрицы на число. 9. Решить линейное матричное уравнение. 10. Найти произведение строки на столбец. 11. Найти произведение двух матриц. 12. Найти данную степень данной квадратной матрицы. 13. Найти значение многочлена от матрицы. Список №2 1. Задачи на доказательство. п.3 Примеры Пример 1. Найти сумму матриц 1 2 3 A 4 5 6 и 7 8 9 B 10 11 12 Ответ: 1 7 2 8 3 9 8 10 12 A B 4 10 5 11 6 12 14 16 18 Пример 2. Найти матрицу, противоположную матрице 1 2 3 A 4 5 6 Ответ: 1 2 3 A 4 5 6 Пример 3. Найти произведение матрицы 1 2 3 A 4 5 6 на число 2 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 9 Решение. Используем правило умножения матрицы на число: 1 2 3 2 4 6 ( 2) A ( 2) 4 5 6 8 10 12 Ответ: 2 4 6 ( 2) A 8 10 12 Пример 4. Решить матричное уравнение 3X 2A O , где A (0, 2, 3,1) , О – нулевая матрица. Решение. 2 2 4 2 X A (0, 2, 3,1) 0, , 2, 3 3 3 3 Ответ: 4 2 X 0, , 2, 3 3 Пример 5. Найти произведение строки (1, 2, 3, 4) на столбец 1 6 2 5 Решение. 1 6 (1, 2, 3, 4) 1 ( 1) 2 6 3 ( 2) 4 5 25 2 5 Ответ: 25. Пример 6. Найти произведение матриц АВ: 0 1 2 7 2 3 4 A B 3 5 4 8 1 5 6 2 3 4 1 Решение. Умножение матриц удобно производить, пользуясь схемой "креста". Изображаем "крест" – два перпендикулярных друг другу от- резка прямых, первую матрицу пишем в третью четверть, вторую – в первую. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 10 11 12 13 14 21 22 23 24 0 1 2 7 3 5 4 8 2 3 4 1 2 3 4 c c c c 1 5 6 c c c c Умножаем первую строку матрицы А на первый столбец матрицы В: 11 c 2 0 ( 3)( 3) 4 2 17 Умножаем первую строку матрицы А на следующие столбцы матрицы В: 2 12 13 c 2( 1) ( 3)5 4 3 5, c 2( 2) ( 3)( 4) 4 24 , 14 c 2 7 ( 3)8 4( 1) 14 . Далее, аналогично, умножаем по очереди вторую строку матрицы А на все столбцы матрицы В: 2 2 21 22 c ( 1)0 5( 3) ( 6)2 27, c ( 1) 5 ( 6)3 8 , 23 c ( 1)( 2) 5( 4) ( 6)4 42 , 24 c ( 1)7 5 8 ( 6)( 1) 39 Ответ: 17 5 24 14 AB 27 8 42 39 Заметим, что матрицу В на матрицу А умножить нельзя, так как ши- рина матрицы В равна 4, а высота матрицы А равна 2, то есть они не равны. Пример 7. Транспонировать матрицу 1 2 A 3 4 5 6 Ответ: t 1 3 5 A 2 4 6 Пример 8. Найти 3 A , если 1 2 A 2 1 Решение. Используем схему креста: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 11 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 4 11 2 2 1 4 3 2 11 Ответ: 3 11 2 A 2 11 Пример 9. Найти значение многочлена 2 p(x) x 3x 2 от матрицы 1 2 A 2 1 Решение. 2 2 1 2 1 2 1 0 p(A) A 3A 2E 3 2 2 1 2 1 0 1 3 4 3 6 2 0 4 2 4 3 6 3 0 2 2 4 Ответ: 4 2 p(A) 2 4 п.4 Задачи Задачи для аудиторного решения 28 1. Решить матричное уравнение 2A 3B 0,5X O , где 1 2 1 A 3 0 1 , 0 4 2 B 1 5 2,5 2. Вычислить произведение строки A (1,1, 2) на столбец 2 B 2 1 3. Вычислить произведение матриц АВ и ВА, если A (2, 3, 4) , 1 3 1 B 3 2 0 4 5 12 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 12 4. Проверить равенства AB BA , 2 2 2 AB A B , 2 (AB) A(BA)B , t t t (AB) В A , t t t (AB) A B если: а) 1 0 1 A 2 3 2 , 1 2 B 1 0 3 1 ; б) 1 3 A 2 1 , 0 1 B 1 0 5. Вычислить 2 A , 3 A и n A , где n , если: а) 1 2 2 A 2 1 2 2 2 1 ; б) 0 1 0 0 0 0 1 0 A 0 0 0 1 0 0 0 0 6. Дан многочлен 3 2 f (x) x 2x 1 . Вычислить f (A) , где 2 1 A 0 2 7. Вычислить A e , где: а) 2 1 A 4 2 ; б) 0 1 2 A 0 0 6 0 0 0 Задачи повышенного уровня сложности 28 8. Докажите, что множество матриц размера m n над полем отно- сительно сложения является абелевой группой. 9. Докажите, что множество матриц размера m n над полем отно- сительно сложения матриц и умножения матриц на скаляры из поля является векторным пространством над полем . 10. Докажите, что множество квадратных матриц n-го порядка над по- лем относительно сложения и умножения матриц является не- коммутативным кольцом с единицей. 11. Выпишите все квадратные матрицы 2-го порядка над полем из двух элементов: 2 F {0;1} . Решите матричное уравнение 2 X E O , где Е – единичная матрица, О – нулевая. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 13 12. Проверьте, что матрица 0 1 I 1 0 является решением матрично- го уравнения 2 X E O . Покажите, что любая матрица 2-го по- рядка вида a b b a может быть представлена в виде A a E b I 13. Докажите, что в кольце квадратных матриц n-го порядка над по- лем существуют делители нуля. Домашнее задание 28. Алгебра матриц 1. Вычислить: а) 4 3 28 93 7 3 3 7 5 38 126 2 1 ; б) 0 2 1 70 34 107 27 18 10 2 1 2 52 26 68 46 31 17 3 2 1 101 50 140 3 2 1 2. Вычислить t t A A A A , где 3 1 4 1 п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 28 Обозначения 1. Обозначение матрицы и её размеров. 2. Обозначение столбца высоты n. 3. Обозначение строки длины n. 4. Обозначение транспонированной матрицы. 5. Обозначение множества всех матриц размера m n над полем . 6. Обозначение множества всех квадратных матриц n-го порядка над полем . 7. Обозначение векторного пространства столбцов высоты n (строк длины n). 8. Обозначение нулевой матрицы. 9. Обозначение противоположной матрицы. 10. Обозначение единичной матрицы. 11. Обозначение степени матрицы. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 14 Определения 1. Определение матрицы размера m n над полем . 2. Определение столбца высоты n. 3. Определение строки длины n. 4. Определение квадратной матрицы n-го порядка. 5. Определение нулевой матрицы. 6. Определение диагональной матрицы. 7. Определение транспонированной матрицы. 8. Определение равных матриц. 9. Определение суммы матриц. 10. Определение противоположной матрицы. 11. Определение произведения матрицы на скаляр. 12. Определение произведения строки на столбец. 13. Определение произведения матриц. 14. Определение единичной матрицы. 15. Определение натуральной степени матрицы. Теоремы 1. Свойства сложения матриц. 2. Свойства умножения матрицы на скаляр. 3. Теорема об единичной матрице. Самостоятельная работа 28 Вариант 1 1. Определение строки данной длины. 2. Вычислить 1 3 3 8 2 6 19 21 3. Вычислить 1 3 5 2 6 3 Вариант 2 1. Определение диагональной матрицы. 2. Вычислить 1 3 3 8 1 0 3 2 7 2 6 19 21 0 1 3. Решить матричное уравнение 3 2X 7 0 2 Вариант 3 1. Правило сложения матриц. 2. Вычислить E 3 A 2 , где 2 2 2 1 A , Е – единичная матрица. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 15 3. Решить матричное уравнение 2 3 8 6X 5 0 4 1 Вариант 4 1. Правило умножения матрицы на число. 2. Вычислить 2 4A 3 E , где 1 1 A 1 2 , Е – единичная матрица. 3. Решить матричное уравнение 2 3 8 3 8 6(X E) 5 0 4 1 4 1 Тест 28 1. Вычислить сумму матриц 0 1 A 1 2 и 3 2 B 5 9 2. Вычислить произведение матрицы 0 1 A 1 2 на число 3 3. Вычислить 2A 3B , где 1 2 0 3 A 9 0 7 11 , 2 1 7 5 B 1 1 3 6 4. Решить матричное уравнение 3A 2B 4E 6X 0 , где Е – единичная матрица, 1 1 0 A 0 2 1 3 2 3 , 1 2 3 B 2 3 0 0 1 1 5. Вычислить произведение строки A (1, 1, 2, 3) на столбец 1 1 B 0 2 6. Вычислить произведение матриц АВ и ВА, где 1 2 0 3 A 9 0 7 11 , 1 2 3 2 B 3 0 0 1 7. Транспонировать матрицу 1 2 0 3 A 9 0 7 11 8. Вычислить t 2 (A A) , если A (1, 0, 1) 9. Найдите значение многочлена 3 2 q(x) x x x 1 от матрицы 0 1 A 1 1 |