АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 34 из 44

Пример 2.
Найти каноническое уравнение гиперболы, если его экс- центриситет равен 1,5 и расстояние между директрисами равно
8 3
Решение. Так как
2
c
3 2a
8
, 2d a
2
c
3
  

 , где 2d обозначает расстоя- ние между директрисами, то отсюда получаем систему двух уравне- ний с двумя неизвестными а и с:
2 2c 3a
3a
4c





, решая которую, получаем a 2, c 3

 . Вычисляем
2
b :
2 2
2
b c
a
9 4 5


   .
Ответ:
2 2
x y
1 4
5

 .
Пример 3.
Убедиться, что точка М(–5; 2, 25) лежит на гиперболе
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 8
2 2
x y
1 16 9

 , и найти её фокальные радиусы.
Решение. Подставляем координаты точки М в уравнение гиперболы:
2 2
9 5
25 9
4 1
16 9
16 16
 
 
 



 , откуда следует, что точка М лежит на гиперболе. Фокальные радиусы точки М(х,у) находим по формулам:
1 2
r | a x |, r
| a x |
  
   .
Вычисляем эксцентриситет:
2 2
c a
b
16 9 5
a a
4 4


  


Получаем
 
1 2
5
|16 25 | 9 41
r (M)
4 5
, r (M)
4 4
4 4

   



,
Ответ:
1 2
9 41
r (M)
, r (M)
4 4


Пример 4.
Эксцентриситет гиперболы равен 1,5, её центр лежит в на- чале координат, одна из директрис дана уравнением x
8
 
. Вычис- лить расстояние от точки М гиперболы с абсциссой, равной 14, до фо- куса, соответствующего данной директрисе.
Решение. По условию задачи требуется вычислить фокальный радиус
1 1
r
F M | a x |

   . Так как уравнение данной директрисы a
x
8
   

, то отсюда находим a 8 12
  
Следовательно,
1 1
3
r
F M | a x | 12 14 33 2

   
 

Ответ: 33.
Пример 5.
Найти каноническое уравнение гиперболы, если в канони- ческой для гиперболы системе координат известны уравнения её асимптот
2
y x
3
 
, и одна из точек гиперболы имеет координаты
М(4,5; –1).

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 9
Решение. Из уравнений асимптот находим, что b
2
a
3
 . Так как точка
М лежит на гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, откуда находим
2 2
2 2
(4,5)
( 1)
1
a b


 или
2 2
81 1
1 4a b

 .
Получаем систему двух уравнений с неизвестными а и b. Решаем эту систему.
2 2
81 1
1 4a b
2a 3b








Возведем второе уравнение в квадрат и подставим в первое:
2 2
2 2
2 81 1
9 1
b
8
a b
18 9b b
4

 
 


Ответ:
2 2
x y
1 18 8

 .
Пример 6.
Найти уравнения касательных, проведенной к гиперболе
2 2
x y
1 20 5

 , перпендикулярных прямой 4x 3y 7 0

  .
Решение. Уравнение касательной к гиперболе, проведенной в точке o
o
M(x ; y ) гиперболы, имеет вид: o
o x
y x
y 1 20 5

 .
По условию данная прямая и касательная перпендикулярны, следова- тельно, скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю: o
o x
y
4 3
0 20 5



  





или o
o x
3y

Точка o
o
M(x ; y ) лежит на гиперболе, поэтому её координаты удовле- творяют уравнению гиперболы:
2 2
o o
x y
1 20 5

 .
Имеем два уравнения с неизвестными o
x и o
y . Решаем получившую- ся систему:
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 10
o o
2 2
o o
x
3y x
y
1 20 5







Подставляя o
x из первого уравнения во второе, получаем
2 2
o o
9y y
1 20 5

 или o
o y
2
x
6
  
  .
Имеем две точки касания: (6; 2) и (–6; –2). Подставляя их в уравнение касательной к гиперболе, получаем искомые уравнения касательных:
6 2
6
( 2)
x y 1,
x y 1 20 5
20 5





 .
Ответ: 3x 4y 10 0, 3x 4y 10 0





 .
п.4. Задачи
Задачи для аудиторного решения 26
1. Для гиперболы
2 2
16x
9y
144


найдите все его параметры: дейст- вительную и мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фо- кусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр.
Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.
2. Дано уравнение гиперболы
2 2
20x
16y
320


. Убедитесь, что точка
М(6; 5) лежит на эллипсе и найдите её фокальные радиусы. Найди- те уравнение касательной к данному эллипсу, проходящей через точку М. Постройте чертеж.
3. Дано уравнение
2 2
16x
9y
64x 54y 161 0




 . Убедитесь, что оно определяет гиперболу, и найдите координаты её центра и уравне- ния главных осей. Найдите полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Выполните чертеж.
4. Найдите каноническое уравнение гиперболы, если даны: а) её полуоси равны 5 и 4; б) её мнимая ось
2b 8

, а расстояние между фокусами
2c 10

; в)
2c 6

и эксцентриситет 1,5
 
; г) уравнения асимптот
4
y x
3
 
и фокусное расстояние
2c 20

; д) расстояние между директрисами 2d 6,4

и
2b 6

; е) точки М(6;
–1) и N( 8; 2 2)

гиперболы; ё) точка М(4,5; –1) гиперболы и

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 11 уравнения асимптот
2
y x
3
 
; ж) уравнения асимптот
3
y x
4
 
и уравнения директрис
16
x
5
 
Задачи повышенного уровня сложности 26
5. Для гиперболы
2 2
16x
9y
144

 
найдите полуоси, фокусы, эксцен- триситет, уравнения асимптот и директрис. (Обозначения действи- тельной и мнимой полуосей оставить такими же, как и в канониче- ской для гиперболы системе координат.)
6. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если даны: а) a 18, b 6

 (буквой а по прежнему обозначает действительную полуось); б) фокусное расстояние
2c 10

и эксцентриситет
5 3
  ; в) уравнения асимптот
12
y x
5
 
и расстояние между действитель- ными вершинами равно 48; г) расстояние между директрисами равно
50 7
и эксцентриситет
7 5
  ; д) уравнения асимптот
4
y x
3
 
и расстояние между директрисами равно 6,4.
7. Определите взаимное расположение прямой и гиперболы:
2 2
2x y 10 0, 5x
20y
100
 



8. Определите, при каких значениях m прямая
5
y x m
2

 пересекает гиперболу
2 2
36x
9y
144


, касается её, проходит вне её.
9. Составьте уравнение касательных к гиперболе
2 2
64x
16y
1024


, параллельных прямой 10x 3y 9 0

  .
10. Составьте уравнения касательных к гиперболе
2 2
x y
16


, прове- денных из точки С(–1; –7).
11. Эксцентриситет гиперболы равен 2, центр её лежит в начале коор- динат, один из фокусов F(12; 0). Найдите расстояние от точки ги- перболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей данному фокусу.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 12 12. Через левый фокус гиперболы
2 2
25x
144y
3600


проведен пер- пендикуляр к её действительной оси. Найдите расстояние от фоку- сов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
13. Из правого фокуса гиперболы
2 2
4x
5y
20


под углом

к оси абсцисс направлен луч света. Найдите уравнение прямой, на кото- рой лежит отраженный от гиперболы луч, если tg
2
  .
14. Докажите, что произведение расстояний от любой точки гипербо- лы до двух её асимптот есть величина постоянная.
15. Докажите, что площадь параллелограмма, ограниченного асим- птотами гиперболы и прямыми, проведенными через любую её точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная.
16. Докажите, что произведение расстояний от фокусов гиперболы до любой её касательной есть величина постоянная.
17. Докажите, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пере- секаются под прямым углом.
Домашнее задание 26. Гипербола
1. Для гиперболы
2 2
9x
16y
144


найдите все её параметры: действи- тельную и мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фо- кусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и расстояние между ними, фокальный параметр. По- стройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.
2. Дано уравнение
2 2
9x
16y
90x 32y 367 0




 . Убедитесь, что оно определяет гиперболу, и найдите координаты её центра и уравне- ния главных осей. Найдите полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Выполните чертеж.
3. Найдите каноническое уравнение гиперболы, если даны: а) её дей- ствительная ось
2a 16

и эксцентриситет 1,25
 
; б) расстояние между директрисами равно
2 22 13
и фокусное расстояние
2c 26

; в) уравнения асимптот
3
y x
4
 
и расстояние между директрисами
4 2d 12 5

; г) точка М(–5; 3) гиперболы и эксцентриситет
2
 
; д) точка М(–3; 2,5) гиперболы и уравнения директрис
4
x
3
  .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 13
Самостоятельная работа 26
Вариант 1.
1. Определение фокальных радиусов точки гиперболы.
2. Для гиперболы
2 2
x
4y
16


найдите: а) действительную и мнимую оси; б) фокусное расстояние.
Вариант 2.
1. Определение фокусного расстояния гиперболы.
2. Для эллипса
2 2
4x
9y
36


найдите: а) действительную и мнимую оси; б) эксцентриситет.
Вариант 3.
1. Определение эксцентриситета гиперболы.
2. Для гиперболы
2 2
x
9y
36


найдите эксцентриситет и расстояние между директрисами.
Вариант 4.
1. Определение гиперболы.
2. Для гиперболы
2 2
4x
25y
100


найдите уравнения её асимптот, уравнения директрис и фокальный параметр.
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 26
Обозначения
1. Обозначение фокальных радиусов точки гиперболы.
2. Обозначение действительной оси гиперболы.
3. Обозначение действительной полуоси гиперболы.
4. Обозначение фокусного расстояния гиперболы.
5. Обозначение мнимой оси гиперболы.
6. Обозначение мнимой полуоси гиперболы.
7. Обозначение эксцентриситета.
8. Обозначение расстояния между директрисами гиперболы.
9. Обозначение фокального параметра гиперболы.
10. Обозначение расстояния от точки гиперболы до её директрис.
Определения
1. Определение гиперболы.
2. Определение фокальных радиусов гиперболы.
3. Определение фокусного расстояния гиперболы.
4. Определение действительной оси и полуоси гиперболы.
5. Определение мнимой оси и полуоси гиперболы.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 14 6. Определение эксцентриситета гиперболы.
7. Определение фокальной оси гиперболы.
8. Определение канонической для гиперболы системы координат.
9. Определение главных осей и центра гиперболы.
10. Определение вершин гиперболы.
11. Определение основного прямоугольника гиперболы.
12. Определение канонического уравнения гиперболы.
13. Определение директрис гиперболы.
14. Определение фокального параметра гиперболы.
Теоремы
1. Каноническое уравнение гиперболы.
2. Свойства гиперболы.
3. Асимптоты гиперболы.
4. Фокальные радиусы точек гиперболы.
5. Свойство директрис гиперболы.
6. Фокальный параметр гиперболы.
7. Уравнение касательной к гиперболе.
8. Зеркальное свойство гиперболы. Физическая и математическая формулировки.
Тест 26
1. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если его действи- тельная ось равна 4, а мнимая ось равна 6.
2. Определите, лежит ли точка М(4, –2) на гиперболе
2 2
x
5y
4

 ?
3. Найдите фокусное расстояние гиперболы
2 2
x
2y
1

 .
4. Найдите эксцентриситет гиперболы
2 2
x
2y
2

 .
5. Найдите директрисы гиперболы
2 2
x
2y
4

 .
6. Найдите уравнения асимптот гиперболы
2 2
4x y
1

 .
7. Найдите фокальный параметр гиперболы
2 2
4x
3y
1

 .
8. Напишите уравнение касательной проходящей через точку М(1; 1) к гиперболе
2 2
2x y
1

 .
9. Найдите каноническое уравнение гиперболы, если известны рас- стояние между директрисами и эксцентриситет: 2d 32,
2

  .
10. Найдите каноническое уравнение гиперболы, если известны мни- мая ось и эксцентриситет: 2b 10,
1,5

 

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 15 11. Найдите каноническое уравнение гиперболы, если известны её асимптоты и фокальный параметр: x
1
y
, p
2 2
 
 .
12. Напишите уравнение равнобочной гиперболы, фокальная ось ко- торой совпадает с осью ординат, а её основной прямоугольник яв- ляется квадратом с центром в начале координат и со стороной рав- ной 1.
13. Докажите, что через начало координат нельзя провести касатель- ную к гиперболе.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 1
Практическое занятие 27
Парабола
Краткое содержание: определение параболы, каноническая для параболы система координат и каноническое уравнение параболы, касательная к параболе, зеркальное свойство параболы, директриса и фокальный параметр параболы, ветви параболы.
п.1. Теория
Определение.'>Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной фиксированной прямой, назы- ваемой директрисой, и одной фиксированной точки, называемой фо- кусом.
Рис. 1
Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фо- куса параболы называется фокальным радиусом точки М.
Обозначения: F – фокус параболы, r FM

– фокальный радиус точки
М, d – расстояние от точки М до директрисы D.
По определению параболы, точка М является точкой параболы тогда и только тогда, когда r d

Замечание. По определению параболы, её фокус и директриса явля- ются фиксированными объектами, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы.
Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы на- зывается фокальным параметром параболы, и обозначается буквой р.
D d r
F
М
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 2
Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендику- лярно директрисе называется фокальной осью параболы.
Определение. ПДСК называется канонической для параболы, если её ось абсцисс совпадает с фокальной осью, направление на которой вы- брано от директрисы к фокусу, а начало координат лежит посередине между фокусом и директрисой.
Замечание. Из определений следует, что в канонической для парабо- лы системе координат фокус имеет координаты p
F( ;0)
2
, а директриса описывается уравнением p
x
2
  .
Определение.
В канонической для параболы системе координат, оси координат называются главными осями параболы.
Определение.
Точка параболы, лежащая на её фокальной оси, назы- вается вершиной параболы.
Теорема.__В_канонической_для_параболы_системе_координат,_фокаль-_ный_радиус_точки_М(х,_у)_параболы_равен_pr_x2__._Теорема.'>Теорема.__(Каноническое_уравнение_параболы.)_Парабола_является_кривой_2-го_порядка,_и_в_канонической_для_неё_системе_координат_её_уравнение_имеет_вид:_2y2pxСледствие.'>Теорема.
(Каноническое уравнение параболы.) Парабола является кривой 2-го порядка, и в канонической для неё системе координат её уравнение имеет вид:
2
y
2px

Следствие.
(Свойства параболы.)
1) Фокальная ось параболы является её осью симметрии.
2) В канонической для параболы системе координат вершиной пара- болы является начало координат О(0; 0).
3) В канонической для параболы системе координат, в полуплоскости x 0

нет точек параболы.
4) Длина перпендикуляра, восстановленного в фокусе до пересечения с параболой, равна её фокальному параметру.
Определение.
Уравнение
2
y
2px

называется каноническим уравне- нием параболы.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 3
Рис. 2
Теорема.
В канонической для параболы системе координат, фокаль- ный радиус точки М(х, у) параболы равен p
r x
2
  .
Теорема.
В канонической для параболы системе координат уравнение касательной к параболе в точке
0 0
(x , y ) имеет вид: o
o y y p(x x )


Теорема.
(Зеркальное свойство параболы.) Луч света, выпущенный из фокуса параболы после отражения от зеркала параболы проходит па- раллельно её фокальной оси.
Математическая формулировка зеркального свойства параболы имеет следующий вид.
Теорема.
(Зеркальное свойство параболы.) Касательная к параболе образует равные углы с её фокальной осью и фокальным радиусом точки касания.
Определение.
В канонической для параболы системе координат кри-
D
r у p
M
; p
2






х p
x
2
 
О
p
F
; 0 2






М(х, у) d
р
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 4
вые, описываемые уравнениями y
2px
 
, называются ветвями параболы (соответственно, верхней ветвью пара- болы или нижней).
п.2. Список задач
Список №1.
1. Определить, лежит ли данная точка на данной параболе или нет.
2. Зная каноническое уравнение параболы, найти фокальный пара- метр, координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы, и изобразить её на чертеже.
3. Зная каноническое уравнение параболы и координаты какой-нибудь её точки, найти фокальный радиус этой точки.
4. Зная каноническое уравнение параболы и координаты какой-нибудь её точки, найти уравнение её касательной в этой точке.
5. Найти каноническое уравнение параболы, если известен её фо- кальный параметр или в канонической для параболы системе коор- динат известны координаты одной из её точек.
6. Построить в ПДСК параболы, заданные уравнениями:
2
y
2px
 
,
2
x
2py
 
, определить их оси симметрии и направление ветвей.
7. Найти фокальный параметр, координаты вершины и уравнения главных осей параболы, заданной уравнением
2
Ay
Bx Cy D 0


  или
2
Ax
Bx Cy D 0


  .