АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 31 из 44

Пример 3.
Найти точку встречи прямой 3x 2y 2z


с плоскостью
3x 2y 6z 18 0



 .
Решение. Запишем уравнение прямой в параметрической форме запи- си:
1 1
1 3x 2y 2z t x
t, y t, z t
3 2
2


  


Подставляем последние равенства в уравнение плоскости: t t 3t 18 0
t
6
  
   
Подставляя найденное значение параметра t в параметрическое урав- нение прямой, получаем координаты искомой точки встречи.
Ответ: ( 2; 3; 3)
   .
Пример 4.
Найти точки пересечения плоскости 3x 2y 6z 7 0


  с координатными осями.
Решение. 1-й способ. Смотрите рисунок 6.
Рис. 6
Найдем уравнение данной плоскости в отрезках:
7 6

7 2
7 3
 х у z

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 11 x
y z
3x 2y 6z
7 1
7 7
7 3
2 6


  




   




   


   

Отсюда сразу же находим координаты искомых точек:
7 7
7
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
3 2
6

 
 




 
 


 
 

2-й способ. Точка встречи прямой с плоскостью есть их общая точка, координаты которой удовлетворяют как уравнению прямой, так и уравнению плоскости, и является, таким образом, решением системы, составленной из их уравнений. Уравнение оси Ох имеет вид: y 0
z 0


 

– пересечение координатных плоскостей Oxz и Оху. Решаем систему уравнений: y 0
z 0 3x 2y 6z 7 0





    

, и находим абсциссу точки пересечения данной плоскости с осью Ох:
7
x
3
  , и координаты этой точки
7
;0;0 3







. Аналогично, полагая в уравнении плоскости x 0, z 0

 , находим ординату точки пересече- ния плоскости с осью Оу:
7
y
2
 , и координаты этой точки
7 0; ;0 2






Полагая в уравнении плоскости x 0, y 0

 , находим аппликату точки пересечения плоскости с осью Оz:
7
z
6
  , и координаты этой точки
7 0;0;
6







Ответ:
7 7
7
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
3 2
6

 
 




 
 


 
 

Пример 5.
Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M( 2;1; 6)

 , и перпендикулярную плоскости
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 12 4x 3y 5z 11 0


  .
Решение. Нормальный вектор плоскости является направляющим век- тором для прямой, перпендикулярной этой плоскости (смотрите рису- нок 7): s n (4;3;5)
 
Рис. 7
Осталось подставить в каноническое уравнение прямой координаты её направляющего вектора и точки, через которую она проходит.
Ответ: x 2
y 1 z 6 4
3 5





Пример 6.
Найти проекцию точки M( 2;1; 6)

 на плоскость
4x 3y 5z 15 0



 .
Решение. Находим уравнение прямой, проходящей через данную точ- ку М, и перпендикулярную данной плоскости. Смотрите пример 5 и рисунок 7. Осталось найти точку встречи M найденной прямой x 2
y 1 z 6 4
3 5





с данной плоскостью. Смотрите пример 3.
Ответ: (2; 4; –1).
Пример 7.
Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точ- ку M( 2;1; 6)

 , и перпендикулярной прямой x 2
y 1 z 6 4
3 5





Решение. Прямая перпендикулярна плоскости, поэтому направляю- щий вектор прямой является нормальным вектором для плоскости: n s (4;3;5)
 
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку o
o o
M(x , y ,z ) с заданным нормальным вектором:
M
M
s n

L


Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 13 o
o o
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0





 .
Подставляем в это уравнение координаты нормального вектора плос- кости n (A,B,C) (4;3;5)


, и координаты точки o
o o
x
2, y
1, z
6
 

  , и получаем:
4(x ( 2)) 3(y 1) 5(z ( 6)) 0
 

 
 
 , или 4x 3y 5z 35 0



 .
Ответ: 4x 3y 5z 35 0



 .
Пример 8.
Убедиться, что прямая x 2
y 1 z
2 1
0



 параллельна плос- кости x 2y 6z 2 0


  , и найти расстояние между ними.
Решение. Сначала убеждаемся в том, что прямая параллельна плоско- сти. Выписываем направляющий вектор прямой s (2;1;0)

, нормаль- ный вектор плоскости n (1; 2;6)
 
, и вычисляем их скалярное произ- ведение n s 0
 
Следовательно, прямая либо параллельная плоскости, либо лежит на этой плоскости. Точка
M(2; 1;0)

лежит на прямой. Найдем расстоя- ние от неё до данной плоскости: o
o o
2 2
2
| Ax
By
Cz
D | |1 2 2( 1) 6 0 2 |
2
d
1 4 36 41
A
B
C



     



 


Если бы прямая лежала на плоскости, то расстояние d было бы равно нулю. Следовательно, прямая параллельная плоскости, и расстояние между ними равно
2 41
Ответ:
2 41
Пример 9.
Составить уравнение пучка плоскостей, если известны уравнения двух плоскостей из этого пучка: x 2y 6z 2 0


  и 4x 3y 5z 15 0



 .
Решение. Сначала нужно убедиться, что плоскости пересекаются (т.е. не параллельные и не совпадают). Выписываем координаты их нор- мальных векторов
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 14 1
n
(1; 2;6)
 
и
2
n
(4;3;5)

, и вычисляем отношение их соответствующих координат:
1 2
6 4
3 5


 .
Следовательно, их нормальные векторы не коллинеарные, а это озна- чает, что плоскости пересекаются, и лежат в одном пучке плоскостей.
Осталось записать уравнение этого пучка плоскостей.
Ответ: (x 2y 6z 2)
(4x 3y 5z 15) 0
 

  



 .
Пример 10.
Найти каноническое уравнение оси пучка плоскостей
(x 2y z 1)
(2x y 2z 3) 0
 
   
 
  .
Решение. Плоскости x 2y z 1 0

   и 2x y 2z 3 0
 
  лежат в данном пучке и пересекаются по прямой, которая и является осью этого пучка плоскостей. Следовательно, система уравнений x 2y z 1 0
L :
2x y 2z 3 0

  


 
 

есть уравнение оси пучка. Осталось найти каноническое уравнение этой прямой. Смотрите задачу 8 из списка задач предыдущего прак- тического занятия, и пример 8 там же.
Ответ: x 2
y 3
z 5 3
4 5







Пример 11.
Найти уравнение пучка плоскостей с осью пучка x 2
y 3
z 5 3
4 5







Решение. Каноническое уравнение прямой в пространстве можно рас- сматривать как систему двух уравнений x 2
y 3 3
4
x 2
z 5 3
5






 






или
4x 8 3y 9 5x 10 3z 15

 


   

или
4x 3y 1 0 5x 3z 5 0

 

   

, каждое из которых есть уравнение плоскости. Эти плоскости пересе-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 15 каются по данной прямой. Имея две плоскости из пучка плоскостей, можно записать его уравнение.
Ответ: (4x 3y 1)
(5x 3z 5) 0


  

  .
Пример 12.
Написать уравнение связки плоскостей, если известны три плоскости из этой связки: x 2y z 7 0

   ,
2x 2y z 2 0, x 3y 2z 11 0

  


  .
Решение. Сначала мы должны убедиться в том, что эти плоскости пе- ресекаются в одной точке. Необходимым и достаточным условием этого является отличие от нуля смешанного произведения нормаль- ных векторов данных трех плоскостей. Выписываем координаты нор- мальных векторов:
1 2
3
n
(1; 2;1), n
(2;2; 1), n
(1; 3;2)
 


 
, и вычисляем их смешанное произведение:
1 2
3 1
2 1
n n n
2 2
1 3 0 1
3 2

 

  

Плоскости пересекаются в одной точке. Смотрите теорему пункта 2.
Записываем ответ:
(x 2y z 7)
(2x 2y z 2)
(x 3y 2z 11) 0
 
   

    


 .
Пример 13.
Найти центр связки плоскостей:
(x 2y z 7)
(2x 2y z 2)
(x 3y 2z 11) 0
 
   

    


 .
Решение. Координаты центра связки плоскостей есть решение (един- ственное) системы уравнений: x 2y z 8 0 2x 2y z 2 0
x 3y 2z 11 0

  



  

    

Решая систему, находим ответ.
Ответ: (2; –3; 0).
Пример 14.
Найти уравнение связки плоскостей с центром связки в точке (2; –3; 0).
Решение. Воспользуемся теоремой пункта 1.
Ответ: A(x 2) B(y 3) Cz 0
 
 
 .
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 16
п.2. Задачи
Задачи для аудиторного решения 24
1. Выясните взаимное расположение прямой и плоскости: а) x
y 1 z
2 1
0


 и x 2y 6z 2 0


  ; б) x
y z
2 1
0
  и x 2y 6z 2 0


  ; в) x
y z
2 1
2
 

и 3x 2y 6z 2 0


  ;
2. Найдите угол между прямой x 1 y 2
z
3 2
6



 и плоскостью x 2y 3 0

  .
3. Найдите точку встречи прямой x 1 y 5
z
2 2
1





с плоскостью
3x 2y 6z 18 0



 .
4. Найдите точки пересечения плоскости 3x 2y 6z 18 0



 с коор- динатными осями.
5. Найдите каноническое уравнение прямой, проходящую через точку
А(3; 0; –1), и перпендикулярную плоскости 3x 2y z 4 0

   .
6. Найдите проекцию точки М(–4; 2; –1) на плоскость x 2y z 3 0

   .
7. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;
2; –1), и перпендикулярную прямой x 1 y 2
z
3 4



 .
8. Убедитесь, что прямая x 2
y 1 z
2 1
0



 параллельна плоскости x 2y 2z 1 0


  и найдите расстояние между ними.
9. Составить уравнение пучка плоскостей, если известны уравнения двух плоскостей из этого пучка: x 2y z 7 0

   и
2x 2y z 2 0

   .
10.
Найдите уравнение оси пучка плоскостей
(x y 2)
(y z 1) 0
        .
11. Найдите уравнение пучка плоскостей, осью которого служит пря- мая x 2
y 1 z 1 2
1 2






12. Написать уравнение связки плоскостей, если известны три плоско- сти из этой связки: x 2y z 7 0

   ,
2x 2y z 2 0

   ,

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 17 x 3y 2z 11 0


  .
13. Доказать, что плоскости x 2y z 7 0

   , 2x 2y z 2 0

   , x 3y 2z 11 0


  принадлежат одной связке плоскостей и найти центр связки.
14. Найти уравнение связки плоскостей с центром связки в точке (5; –
1; –4).
Задачи повышенного уровня сложности 24
15. Найдите уравнение плоскости, проходящей через прямую x 2
y z 1 2
3 4





, и параллельной плоскости x 3
y 1 z 7 1
4 2






16. Найдите проекцию точки А(3; 0; –1) на плоскость
3x 2y z 4 0

   .
17. Найдите точку, симметричную точке А(3; 0; –1) относительно плоскости 3x 2y z 4 0

   .
18. Найдите уравнение прямой, которая является проекцией прямой x 1 y 5
z
2 2
1





на плоскость 3x 2y 6z 18 0



 .
19. Найти проекцию точки А(1; 2; –1) на прямую x 1 y 2
z
3 4



 .
(Указание: через точку А провести плоскость, перпендикулярную данной прямой.)
20. Найдите точку симметричную точке А(1; 2; –1) относительно пря- мой x 1 y 2
z
3 4



 .
21. В пучке плоскостей
(2x 3y z 3)
(x 3y 2z 1) 0


    

  найти плоскость: а) проходящую через точку М(1; –2; 3); б) параллельную оси Ох; в) параллельную прямой x 2
y 1 z 3 3
2 2






22. В пучке плоскостей
(2x 3y z 3)
(x 3y 2z 1) 0


    

  найти плоскость параллельную плоскости x 2y 3z 4 0


  .
23. Найдите уравнение плоскости перпендикулярной вектору a (3; 3;1)


, и находящейся в связке плоскостей
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 18
(7x 2y z 1)
(6x 3y 2z 5)
(x y) 0


   


   
 .
(Задачу решить не находя координаты центра связки.)
24. Найдите уравнение плоскости параллельной плоскости
2x y 3z 2 0
 
  , и находящейся в связке плоскостей
(7x 2y z 1)
(6x 3y 2z 5)
(x y) 0


   


   
 .
(Задачу решить не находя координаты центра связки.)
25. Найдите уравнение плоскости проходящей через точки А(1; 2; –1) и В(–5; 6; 2), и находящейся в связке плоскостей
(7x 2y z 1)
(6x 3y 2z 5)
(x y) 0


   


   
 . (Задачу решить не находя координаты центра связки.)
26. Найдите уравнение плоскости проходящей через прямую x 2
y 1 z 3 3
2 2






, и находящейся в связке плоскостей
(7x 2y z 1)
(6x 3y 2z 5)
(x y) 0


   


   
 . (Задачу решить не находя координаты центра связки.)
27. Найти уравнение плоскости, принадлежащей связке плоскостей
(7x 2y z 1)
(6x 3y 2z 5)
(x y) 0


   


   
 и пучку плоскостей
(2x 3y z 3)
(x 3y 2z 1) 0


    

  .
(Центр связки и уравнение оси пучка не находить.)
28. Определить взаимное расположение трех плоскостей: а) x 2y z 7 0, 2x 2y z 2 0, x 3y 2z 11 0

  

  



 ; б) 2x y 3z 5 0, 3x y 2z 1 0, 4x 3y z 2 0
 
 
 
 

   .
29. Определить, при каких значениях а и b плоскости
2x y 3z 1 0, x 2y z b 0, x ay 6z 10 0
 
 

  



 : а) пересе- каются в одной точке; б) пересекаются по одной прямой; в) пересе- каются по трем параллельным прямым, образуя треугольную «тру- бу».
Домашнее задание 24. Плоскость и прямая в пространстве
1. Докажите, что прямая x 3t 2, y
4t 1, z 4t 5
 
  

 параллельна плоскости 4x 3y 6z 5 0


  .
2. Найдите параметрическое уравнение прямой
5x 3y 2z 5 0 2x y z 1 0


 


   

, и докажите, что она лежит в плоскости 4x 3y 7z 7 0


  .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 19 3. Найдите точку встречи прямой x 1 y 1 z
1 2
6





с плоскостью
2x 3y z 1 0

   .
4. Даны вершины треугольника А(1; –2; –4), В(3; 1; –3) и
С(5; 1; –7). Составить параметрические уравнения его высоты, опу- щенной из вершины В.
5. Найдите уравнение проекции прямой x 1 y z 1 4
2 3


 
на плоскость x 5y z 25 0

 
 .
Самостоятельная работа 24
Вариант 1
1. Определение связки плоскостей и её центра.
2. Найдите точки пересечения плоскости
3x 2y z 6 0

  
с координатными ося- ми.
3. Найдите каноническое уравнение прямой, проходящую через точку А(0; 4; –3), и перпендикулярную плоскости
2x 3y 2z 17 0




Вариант 2
1. Определение пучка плоскостей и его оси.
2. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(–2; 3; –4), и пер- пендикулярную прямой x 3
y 2
z 5 3
1 6






3. Найдите параметрическое уравнение прямой, проходящую через точку А(–2; 1; –
3), и перпендикулярную плоскости x 2y 2z 9 0


 
Вариант 3
1. Перечислите все случаи взаимного расположения прямой в пространстве и плос- кости.
2. Найдите каноническое уравнение прямой, проходящую через точку А(–3; 0; –1), и перпендикулярную плоскости
3x y 1 0
  
3.
Докажите, что прямая x 2
y 1
z
2 1
0




параллельна плоскости x 2y 2z 1 0


 
, и найдите расстояние между ними.
Вариант 4
1. Перечислите все случаи взаимного расположения трех плоскостей в пространстве, если известно, что они не имеют общих точек.
2. Найдите точку встречи прямой
3x
2y
2z


с плоскостью
3x 2y 6z 12 0




3. Найти уравнение связки плоскостей с центром связки в точке (5; –1; –4).
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 20
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 24
Определения
1. Определение связки плоскостей.
2. Определение пучка плоскостей.
3. Определение точки встречи прямой с плоскостью.
Теоремы
1. Уравнение связки плоскостей.
2. Уравнение связки плоскостей с центром связки в данной точке.
3. Уравнение пучка плоскостей.
4. Уравнение пучка плоскостей с заданной осью пучка.
5. Теорема о взаимном расположении трёх плоскостей.
6. Теорема о взаимном расположении прямой и плоскости.
Тест 24
1. Выясните взаимное расположение прямой и плоскости: а) x
y 1
z
2 1
0



и x 2y 6z 2 0


 
; б) x
y z
2 1
0


и x 2y 6z 2 0


 
; в) x
y z
2 1
2



и
3x 2y 6z 2 0


 
2. Найдите угол между прямой x 1
y 2
z
3 2
6




и плоскостью x 2y 3 0

 
3. Найти точку встречи прямой x 1
y 1
z
1 2
6





с плоскостью
2x 3y z 1 0

  
4. Найдите точку пересечения координатной оси абсцисс с плоскостью
2x 3y z 1 0

  
5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(2; 0; –3), и перпендику- лярной плоскости y
x

6. Найдите проекцию точки М(1; –1; –1) на плоскость
2x 3y z 1 0

  
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В(1; –1; –1), и перпен- дикулярной к прямой x 3
y 1
z 2 2
3 4






8.
Убедитесь, что прямая x 2
y 1
z
2 1
0




параллельна плоскости x 2y 6z 2 0


 
, и найдите расстояние между ними.
9. Составьте уравнение пучка плоскостей, в котором лежат плоскости
4x 3y 6z 5 0


 
и
3x 2y 6z 18 0




10. Найдите уравнение оси пучка плоскостей
(x y 2)
(y z 1) 0
  
    
11. Найдите уравнение пучка плоскостей, осью которого служит прямая

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 21 x 2
y 1
z 1 2
1 2






12. Составьте уравнение связки плоскостей, в которой лежат плоскости x 3z 2 0, y 2x 4 0, 2z 3 0

 

 
 
, и найдите координаты её центра.
13. Составьте уравнение связки плоскостей с центром в точке А(1; 2; –1).

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 1