АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Домашнее задание 22. Нормированное уравнение плоскости 1. Приведите уравнение плоскости к нормальному виду, и найдите расстояние до нее от начала координат: а) 2x y 2z 3 0 ; б) 6 6 3 x y z 0 7 7 7 ; в) 7x 6y 6z 33 0 ; г) x y 2 0 ; д) 2x 3 0 2. Найдите расстояние от точки А(1; 1; 1) до плоскости x y z 6 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 12 3. Убедитесь, что следующие три плоскости пересекаются в одной точке и найдите её координаты: x 3y 2z 4 0, 2x 6y z 2 0, 4x 8y z 2 0 . 4. Вычислить объем куба, две грани которого лежат на плоскостях 2x 2y z 1 0 и 2x 2y z 5 0 . 5. Доказать, что плоскость 3x 4y 2z 5 0 пересекает отрезок, ог- раниченный точками: А(3; –2; 1) и В(–2; 5; 2). Самостоятельная работа 22 Вариант 1. 1. Определение нормированного уравнения плоскости. 2. Определить, является ли уравнение 2 2 2 2 x y z 0 3 3 3 3 нормиро- ванным уравнением плоскости. 3. Найдите расстояние от начала координат до плоскости x y z 1 0 . Вариант 2. 1. Определение нормирующего множителя для уравнения плоскости. 2. Определить, является ли уравнение 2 2 1 2 x y z 0 3 3 3 3 нормиро- ванным уравнением плоскости. 3. Найдите расстояние от начала координат до плоскости 2x 2y z 1 0 . Вариант 3. 1. Определение невязки точки относительно плоскости. 2. Приведите уравнение плоскости 18x 21y 18z 11 0 к нормаль- ному виду. 3. Гранями тетраэдра являются координатные плоскости и плоскость x y z 1 0 . Найдите высоту тетраэдра, опущенную из начала координат. Выполните чертеж. Вариант 4. 1. Определение отклонения точки от плоскости. 2. Приведите уравнение плоскости 12x 14y 12z 11 0 нормаль- ному виду. 3. Гранями тетраэдра являются координатные плоскости и плоскость 2x 2y 2z 3 0 . Найдите высоту тетраэдра, опущенную из на- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 13 чала координат. Выполните чертеж. п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 22 Обозначения 1. Обозначение расстояния от начала координат до плоскости. 2. Обозначение нормирующего множителя общего уравнения плоско- сти. 3. Обозначение невязки точки относительно плоскости. 4. Обозначение отклонения точки от плоскости. 5. Обозначение расстояния от точки до плоскости. 6. Обозначение расстояния между двумя параллельными плоскостями. Определения 1. Определение нормированного (нормального) уравнения плоскости. 2. Определение нормирующего множителя общего уравнения плоско- сти. 3. Определение невязки точки относительно плоскости. 4. Определение отклонения точки от плоскости. Теоремы 1. Геометрический смысл коэффициентов нормированного уравнения плоскости. 2. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. 3. Формула расстояния от точки до плоскости. 4. Расстояние между двумя параллельными плоскостями, заданными нормальными уравнениями. 5. Формула расстояния между двумя параллельными плоскостями, заданными общими уравнениями. 6. Взаимное расположение двух точек пространства и плоскости. 7. Уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов двух пере- секающихся плоскостей. 8. Необходимые и достаточные условия пребывания данной точки в остром (тупом) двугранном угле двух пересекающихся плоскостей. 9. Необходимые и достаточные условия пересечения трех плоскостей в одной точке. Тест 22 1. Определить, какие из уравнений плоскостей являются нормальны- ми: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 14 а) 1 2 2 x y z 5 0 3 3 3 ; б) 2 1 1 x y z 3 0 3 3 3 ; в) 3 4 x y 3 0 5 5 ; г) z 1 0 2. Найти нормирующий множитель для уравнения плоскости 2x 3y 6z 11 0 . 3. Привести уравнение плоскости 2x 2y z 18 0 к нормальному виду и найти расстояние до неё от начала координат. 4. Дана плоскость 2x y 2z 1 0 . Найти для неё невязку точки А(1; 2; –3) . 5. Дана плоскость 2x y z 1 0 . Найти отклонение от неё точки А(1; 2; –3). 6. Найти расстояние от точки М(–5; 4; –5) до плоскости 2x 3y 6z 9 0 . 7. Даны уравнения трех плоскостей: 2x 3y 6z 9 0 , 2x 3y 6z 9 0 и 2x 3y 6z 9 0 . Докажите, что они пересе- каются в одной точке. 8. Найдите точку пересечения плоскостей x y z 1 0 , x y z 1 0 , x y z 1 0 . 9. Найдите расстояние между параллельными плоскостями 2x 2y z 3 0 и 2x 2y z 3 0 . 10. Гранями тетраэдра являются координатные плоскости и плоскость x 2y 2z 6 0 . Найдите высоту тетраэдра, опущенную из начала координат. Выполните чертеж. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 1 Практическое занятие 23 Уравнение прямой в пространстве Краткое содержание: каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве, прямая как пересечение двух плоскостей, решение некоторых задач на прямую в пространст- ве. п.1. Теория п.1.1. Определение уравнения пространственной линии Определение. Система уравнений 1 2 F (x, y,z) 0 F (x, y,z) 0 , где i F (x, y,z), i 1,2 некоторые две функции трёх действительных пе- ременных, называется уравнением линии L в координатном простран- стве Охуz, если точка пространства лежит на линии L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют этой системе уравнений, т.е. 1 2 F (a,b,c) 0 a,b,c R, M(a,b,c) L F (a,b,c) 0 Определение.__Система_уравнений_(1)_называется_параметрическим_уравнением_прямой_в_пространстве._Следствие.'>Определение. Система уравнений x x(t) y y(t) z z(t) , где x(t), y(t), z(t) некоторые функции действительного аргумента t, называется параметрическим уравнением линии L в координатном пространстве Охуz, если выполняется условие: x x(t) t T, y y(t) M(x(t), y(t),z(t)) L z z(t) , где T – некоторый промежуток числовой оси Ot, действительная пе- ременная t называется параметром. п.1.2. Каноническое и параметрическое уравнение прямой в про- странстве Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной пря- мой называется ее направляющим вектором, и обозначается s (m, n, p) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 2 Теорема. Следующая система уравнений является уравнением прямой в пространстве: o o o x x mt y y nt z z pt , (1) где o o o x , y ,z – координаты произвольной фиксированной точки дан- ной прямой, m, n, p – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t R – параметр. Определение. Система уравнений (1) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве. Следствие. Следующая система уравнений является уравнением пря- мой в пространстве: o o o x x y y z z m n p (2) где o o o x , y ,z – координаты произвольной фиксированной точки дан- ной прямой, m, n, p – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой. Определение. Система уравнений (2) называется каноническим урав- нением прямой в пространстве. Определение. Каноническое уравнение прямой вида 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z называется каноническим уравнением прямой, проходящей через две различные данные точки 1 1 1 1 M (x ; y ;z ) и 2 2 2 2 M (x ; y ;z ) . п.1.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве Возможны 4 случая расположения двух прямых в пространстве. Прямые могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке или быть скрещивающимися. Теорема. Пусть даны канонические уравнения двух прямых: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 3 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 x x y y z z x x y y z z L : , L : m n p m n p , где 1 2 1 1 1 2 2 2 s (m ,n ,p ), s (m ,n ,p ) – их направляющие векторы, 1 1 1 1 2 2 2 2 M (x , y ,z ), M (x , y ,z ) – произвольные фиксированные точки, лежащие на прямых 1 L и 2 L соответственно. Тогда: 1) прямые совпадают, если 1 2 1 2 (s || s ) & (M L ) , т.е. 1 1 1 2 2 2 m n p m n p и 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x y y z z m n p ; 2) прямые параллельные, если 1 2 1 2 (s || s ) & (M L ) , т.е. 1 1 1 2 2 2 m n p m n p , и не выполняется хотя бы одно из равенств 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x y y z z m n p ; 3) прямые пересекаются в одной точке, если 1 2 1 2 1 2 (s || s ) & (s s M M 0) , т.е. хотя бы одно из равенств 1 1 1 2 2 2 m n p m n p не выполняется, и 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 m n p m n p 0 x x y y z z ; 4) прямые скрещивающиеся, если 1 2 1 2 s s M M 0 , т.е. 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 m n p m n p 0 x x y y z z Теорема. Пусть 1 1 1 1 1 1 1 x x m t L : y y n t z z p t и 2 2 2 2 2 2 2 x x m k L : y y n k z z p k , Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 4 – две произвольные прямые в пространстве, заданные параметриче- скими уравнениями. Тогда: 1) если система уравнений 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 x m t x m k y n t y m k z p t z m k (3) имеет единственное решение (t, k), то прямые пересекаются в одной точке; 2) если система уравнений (3) не имеет решений, то прямые скрещи- вающиеся или параллельные. 3) если система уравнений (3) имеет более одного решения, то прямые совпадают. п.1.4. Расстояние между двумя прямыми в пространстве Теорема. (Формула расстояния между двумя параллельными прямы- ми.) Расстояние между двумя параллельными прямыми 1 1 1 1 x x y y z z L : m n p и 2 2 2 2 x x y y z z L : m n p , где s (m, n, p) – их общий направляющий вектор, 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 M (x , y , z ) L , M (x , y , z ) L – точки на этих прямых, можно вычислить по формуле: ^ 1 2 1 2 , 1 2 d (L ; L ) | M M | sin (s M M ) или 1 2 1 2 s M M d (L ; L ) | s | Рис. 1 d 2 M 1 M s 2 L 1 L Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 5 Замечание. Искомое расстояние d равно расстоянию от точки 1 M до прямой L (смотрите рисунок 1). Таким образом, последняя формула дает расстояние от точки до прямой в пространстве. Теорема. (Формула расстояния между двумя скрещивающимися пря- мыми.) Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 1 1 1 1 1 1 1 x x y y z z L : m n p и 2 2 2 2 2 2 2 x x y y z z L : m n p можно вычислить по формуле: 1 2 1 2 1 2 1 2 | s s M M | d(L ,L ) | s s | , где 1 2 1 2 | s s M M | – модуль смешанного произведения направляющих векторов 1 2 1 1 1 2 2 2 s (m , n , p ), s (m , n , p ) и вектора 1 2 2 1 2 1 2 1 M M (x x , y y , z z ) , 1 2 | s s | – модуль векторного произ- ведения направляющих векторов. п.1.5. Прямая как пересечение двух плоскостей Теорема. Пусть 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 : A x B y C z D 0, : A x B y C z D 0 – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Тогда следующая сис- тема уравнений является уравнением прямой линии, по которой пере- секаются эти плоскости: 1 1 1 1 2 2 2 2 A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 , а направляющим вектором этой прямой может служить вектор 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 B C A C A B s n n , , B C A C A B , где 1 2 1 1 1 2 2 2 n (A ,B ,C ), n (A ,B ,C ) – нормальные векторы данных плоскостей. Теорема. Пусть дано каноническое уравнение прямой: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 6 o o o x x y y z z m n p , где m 0 . Тогда следующая система уравнений является уравнением данной прямой, заданной пересечением двух плоскостей: o o o o x x y y m n x x z z m p п.1.6. Перпендикуляр к прямой в пространстве Определение. Перпендикуляром, опущенным из точки 1 M на прямую L, называется прямая, проходящая через точку 1 M и пересекающая прямую L под прямым углом. Определение. Пусть перпендикуляр, опущенный из точки 1 M на прямую L, пересекает её в точке 2 M . Тогда длина отрезка 1 2 M M на- зывается длиной этого перпендикуляра. Рис. 2. Пояснение к рисунку 2. Перпендикуляр 1 2 M M определяется пересе- o 1 n s M M (A,B,C) o M L 2 M 1 M s (m,n,p) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 7 чением взаимно перпендикулярных плоскостей и , причем по- следняя перпендикулярна прямой L. Обе они проходят через точку 1 M , а их нормальные векторы изображены на рисунке. Замечание. Из определения следует, что точка 2 M на рисунке 2 явля- ется проекцией точки 1 M на прямую L, а длина перпендикуляра 1 2 M M равна расстоянию от точки 1 M до прямой L. Теорема. Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки 1 1 1 1 M (x , y ,z ) на прямую o o o x x y y z z m n p имеет вид 1 1 1 1 1 1 A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 m(x x ) n(y y ) p(z z ) 0 , где o 1 (A,B,C) s M M – координаты векторного произведения, s (m,n,p) – координаты направляющего вектора данной прямой. Длину перпендикуляра можно найти по формуле: o 1 | s M M | d | s | Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся пря- мых называется прямая, пересекающая каждую из них под прямым углом. Теорема. Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых 1 1 1 1 1 1 1 x x y y z z L : m n p и 2 2 2 2 2 2 2 x x y y z z L : m n p имеет вид: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 A (x x ) B (y y ) C (z z ) 0 A (x x ) B (y y ) C (z z ) 0 , где 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 (A ,B ,C ) s (s s ), (A ,B ,C ) s (s s ) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 8 Рис. 3 Пояснения к рисунку 3. Сначала через прямую 1 L проводится плос- кость параллельно прямой 2 L . Плоскость проводится через пря- мую 1 L перпендикулярно плоскости . Плоскость проводится че- рез прямую 2 L перпендикулярно плоскости . Тогда их пересечение есть общий перпендикуляр р. Теорема. Уравнение прямой, проходящей через точку o o o o M (x , y ,z ) , и пересекающей две скрещивающиеся прямые 1 1 1 1 1 1 1 x x y y z z L : m n p и 2 2 2 2 2 2 2 x x y y z z L : m n p , имеет вид: 1 o 1 o 1 o 2 o 2 o 2 o A (x x ) B (y y ) C (z z ) 0 A (x x ) B (y y ) C (z z ) 0 , где 1 2 1 1 1 o 1 2 2 2 o 2 (A ,B ,C ) s M M , (A ,B ,C ) s M M р А В 1 n s n 2 s 1 s 2 M 2 L 1 M 1 L 1 2 n s s 2 n s n Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 9 Рис. 4 Пояснение к рисунку 4. Плоскость проводится через точку o M и прямую 1 L . Плоскость проводится через точку o M и прямую 2 L . Их нормальные векторы указаны на рисунке. Искомая прямая являет- ся линией пересечения построенных плоскостей и . |