АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Теорема. Пусть даны координаты трех различных точек координатно- го пространства: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 M (x , y , z ), M (x , y , z ), M (x , y , z ) . Тогда следующее уравнение 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 x x y y z z x x y y z z 0 x x y y z z является уравнением плоскости, проходящей через эти три точки. п.2. Список задач Список №1 1. Выяснить, лежит ли данная точка на данной плоскости. 2. Найти координаты какой-нибудь точки, лежащей на данной плоско- сти. 3. Зная общее уравнение плоскости, найти её уравнение в отрезках и изобразить на чертеже ту её часть, которая заключена между коор- динатными плоскостями. 4. Найти общее уравнение плоскости, зная её уравнение в отрезках. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 5 5. Найти нормальный вектор плоскости, зная её общее уравнение. 6. Найти нормальный вектор плоскости, зная её уравнение в отрезках. 7. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, и перпендикулярной данному вектору. 8. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и па- раллельной данной плоскости. 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. 10. Найти величину острого двугранного угла между двумя плоско- стями. 11. Написать уравнение плоскости, параллельной координатной плос- кости, и отстоящей от неё на заданном расстоянии. 12. Написать уравнения координатных плоскостей. 13. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало коорди- нат. 14. Определить взаимное расположение двух плоскостей. Список №2 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через данную точку и содержащей координатную ось. 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через две данные точ- ки и параллельной координатной оси. 3. Определить расположение плоскости в координатном пространстве, если она задана неполным уравнением, и изобразить её часть на чертеже в ПДСК Oxyz. 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки, и перпендикулярной данной плоскости. п.3. Примеры Пример 1. Изобразить на чертеже видимую в первом октанте ПДСК Oxyz часть плоскости 2x 3y 6z 12 0 . Решение. Приведем общее уравнение плоскости к уравнению в отрез- ках: x y z 1 6 4 2 . Отложим на оси Ох точку с абсциссой x 6 , на оси ординат точку y 4 и на оси аппликат точку z 2 . Соединим эти точки отрезками прямых. (Смотрите рисунок 1, где a 6, b 4, c 2 ). Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 6 Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(–1; 5; –7), с нормальным вектором n (2; 4;9) Решение. Воспользуемся уравнением плоскости o o o A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 , где o o o (x , y , z ) – координаты точки, лежащей на данной плоскости, (A, B, C) n – координаты её нормального вектора. По условию за- дачи нормальный вектор плоскости известен A 2, B 4, C 9 , и известны координаты точки, лежащей на плоскости o o o x 1, y 5, z 7 . Подставляем эти числа в уравнение: 2(x 1) 4(y 5) 9(z 7) 0 Осталось раскрыть скобки и привести подобные члены. Ответ: 2x 4y 9z 85 0 . Пример 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(0; –2; 4) параллельно плоскости 2x y z 5 0 . Решение. Так как искомая плоскость параллельна данной, то нор- мальный вектор данной плоскости n (2; 1;1) является нормальным вектором искомой. Теперь решаем задачу как в предыдущем примере: 2x (y 2) (z 4) 0 . Ответ: 2x y z 6 0 . Пример 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(– 1; 5; –7), В(0; –2; 3), С(6; 0; 1). Решение. 1-й способ. Нормальным вектором плоскости может слу- жить вектор AB AC и задача решается также, как в примере 2. Смотрите рисунок 2. Находим координаты векторов AB, AC и AB AC : AB (1; 7;10), AC (7; 5;8) , i j k AB AC 1 7 10 ( 6; 62; 44) 2( 3; 31; 22) 7 5 8 В качестве нормального вектора возьмем вектор n ( 3; 31; 22) , а в качестве точки, лежащей на плоскости возьмем точку С(6; 0; 1). По- лучаем 3(x 6) 31y 22(z 1) 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 7 Раскрываем скобки: 3x 31y 22z 4 0 . Рис. 2 2-й способ. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три данные точки: 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 x x y y z z x x y y z z 0 x x y y z z В качестве первой точки считаем точку А, точка В – вторая точка, С – третья: x 1 y 5 z 7 0 1 2 5 3 7 0 6 1 0 5 1 7 , 7 10 1 10 1 7 (x 1) (y 5) (z 7) 0 5 8 7 8 7 5 Вычисляя определители 2-го порядка и раскрывая скобки, получаем: 6x 6 62y 310 44z 308 0 или 6x 62y 44z 8 0 . Ответ: 3x 31y 22z 4 0 . Пример 5. Выяснить взаимное расположение двух плоскостей: а) 4x y 9z 16 0, 3x 6y 2z 1 0 ; б) x y z 1 0, 3x 3y 3z 3 0 ; в) x y z 1 0, 3x 3y 3z 3 0 ; г) x y z 1 0, x y z 0 . Решение. а) Выписываем координаты нормальных векторов данных плоскостей: 1 2 n (4; 1;9), n (3; 6; 2) . Замечаем, что их координа- ты не пропорциональные: A n AB AC B C Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 8 4 1 9 3 6 2 Следовательно, плоскости пересекаются. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами: 1 2 1 2 1 2 n n (n ^ n ) arccos | n | | n | Вычисляем скалярное произведение 1 2 n n 12 6 18 0 Следовательно, плоскости перпендикулярны. б) Замечаем, что все коэффициенты в уравнениях плоскостей пропор- циональны: 1 1 1 1 3 3 3 3 Следовательно, плоскости совпадают. в) Аналогично, проверяем пропорциональность коэффициентов урав- нений: 1 1 1 1 3 3 3 3 Следовательно, плоскости параллельные. г) Коэффициенты при переменных в уравнениях не пропорциональ- ные, следовательно, плоскости пересекаются. Выписываем координа- ты нормальных векторов, находим их модули и их скалярное произве- дение: 1 2 1 2 1 2 n (1; 1;1), n (1;1;1), n n 1, | n | | n | 3 Вычисляем угол между плоскостями: 1 2 1 2 1 2 n n 1 (n ^ n ) arccos arccos 3 | n | | n | Ответ: а) плоскости перпендикулярные; б) плоскости совпадают; в) плоскости параллельные; г) плоскости пересекаются под углом, рав- ным 1 arccos 3 Пример 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; –1; 5) и В(0; 3; –2) перпендикулярно плоскости y z 2 0 . Решение. Вектор AB ( 2; 4; 7) лежит на искомой плоскости, а нор- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 9 мальный вектор n (0;1; 1) данной плоскости параллелен искомой плоскости, перпендикулярной данной. Поэтому, их векторное произ- ведение является нормальным вектором искомой плоскости. Смотрите рисунок 3. Вычисляем векторное произведение i j k n AB 0 1 1 ( 3; 2; 2) 2 4 7 , и записываем уравнение плоскости, проходящей через точку В(0; 3; – 2) с нормальным вектором n AB ( 3; 2; 2) : 3x 2(y 3) 2(z 2) 0 или 3x 2y 2z 2 0 . Рис. 3 Ответ: 3x 2y 2z 2 0 . п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 21 1. Какие из следующих точек лежат на плоскости 2x 3y 4z 5 0 : А(1; 2; 3), В(1; 1; 1), С(3; 5; –1)? 2. Найти какую-нибудь точку, лежащую на данной плоскости: а) x 5y z 0 ; б) 2x y 2z 5 0 ; в) y 3 0 . 3. Найти уравнение плоскости 2x 3y 4z 12 0 в отрезках, точки её пересечения с координатными осями, и построить чертеж её час- ти в первом октанте. 4. Найти нормальный вектор плоскости: а) 2x 3y 4z 12 0 ; б) n AB n В n (0;1; 1) А Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 10 z 2x 3y ; в) z 2x 3 ; г) 2 3 x y 1 3 4 ; д) 2y 1 0 ; е) z 2 ; ё) x 1 0 5. Написать уравнения координатных плоскостей, и выписать коорди- наты их нормальных векторов. 6. Найти общее уравнение плоскости x y z 1 5 3 2 и её нормальный вектор. 7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 1; –1), и перпендикулярной вектору n (5; 0; 3) 8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 1; –1), и параллельной плоскости 2x y z 1 0 . 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; 4; –5), и параллельной векторам 1 a (3; 1; 1) и 2 a (1; 2; 1) 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; –1; 3) и В(3; 1; 2) параллельно вектору a (3; 1; 4) 11. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(3; –1; 2), В(4; –1; –1) и С(2; 0; 2). 12. Найти угол между плоскостями: а) 3y z 0, 2y z 0 ; б) 6x 3y 2z 0, x 2y 6z 12 0 ; в) 3x 2y z 0, 6z 2x 4 0 . 13. Определить взаимное расположение двух плоскостей: а) 2x 3y 5z 7 0, 2x 3y 5z 3 0 ; б) 2 4 10 3x y 2z 5 0, 2x y z 0 3 3 3 ; в) 2x 5y 1 0, x y 2z 3 0 . Задачи повышенного уровня сложности 21 14. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку А(1; 1; 1), и перпендикулярной координатной плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz. В каждом случае построить чертеж плоско- сти. 15. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 1; 1) и содержащей ось: а) Ох; б) Оу; в) Oz. В каждом случае построить чертеж плоскости. 16. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 1; 1), Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 11 В(0; 1; 2), и параллельной оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz. 17. Постройте в системе координат часть данной плоскости, видимой в первом октанте: а) 2x 3y 6 0 ; б) y 2x ; в) y 2z ; г) y 2z 2 ; д) x z 3 Домашнее задание 21. Общее уравнение плоскости 1. Найти точки пересечения плоскости 2x 3y 4z 24 0 с осями координат, записать ее уравнение в отрезках, построить чертеж той части плоскости, которая вместе с координатными плоскостями образует треугольную пирамиду. 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; –2; – 7) параллельно плоскости 2x 3z 5 0 3. Точка Р(2; –1; –1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плос- кости. 4. Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку М(–1; 2; – 5) и параллельных координатным плоскостям. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей: а) через ось Ох и точку А(4; –1; 2); б) через ось Оу и точку В(1; 4; –3); в) через ось Oz и точку С(3; –4; 7). Самостоятельная работа 21 Вариант 1. 1. Определение общего уравнения плоскости. 2. Найдите координаты точек пересечения плоскости 2x 6y 9z 18 0 с координатными осями, запишите уравнение данной плоскости в отрезках, постройте чертеж части плоскости, видимой в первом октанте. 3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку М(–1; 0; 3) параллельно плоскости 2x y 3z 1 0 . Вариант 2. 1. Определение уравнения плоскости в отрезках. 2. Найдите координаты точек пересечения плоскости 3x 8y 6z 24 0 с координатными осями, запишите уравнение данной плоскости в отрезках, постройте чертеж части плоскости, видимой в первом октанте. 3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку N(–3; 1; 0) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 12 параллельно плоскости x 2y 3z 2 0 . Вариант 3. 1. Определение неполного уравнения плоскости. 2. Изобразите на чертеже часть плоскости 2y 9z 18 0 , видимой в первом октанте и найдите координаты её точек пересечения с ося- ми координат. 3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через ось абсцисс и точку М(–1; 2; –2). Вариант 4. 1. Определение уравнения плоскости, проходящей через данную точ- ку с данным нормальным вектором. 2. Изобразите на чертеже часть плоскости 2x 9z 18 0 , видимой в первом октанте и найдите координаты её точек пересечения с ося- ми координат. 3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через ось ординат и точку N(2; –1; 2). п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 21 Обозначения 1. Обозначение нормального вектора плоскости. 2. Обозначение свободного коэффициента общего уравнения плоско- сти. 3. Обозначение абсциссы точки пересечения плоскости с осью Ох. 4. Обозначение ординаты точки пересечения плоскости с осью Оу. 5. Обозначение аппликаты точки пересечения плоскости с осью Оz. 6. Обозначение угла между плоскостями. Определения 1. Определение уравнения поверхности в координатном пространстве. 2. Определение нормального вектора плоскости. 3. Определение общего уравнения плоскости. 4. Определение неполного уравнения плоскости. 5. Определение уравнения плоскости в отрезках. 6. Определение уравнения плоскости, проходящей через данную точ- ку с данным нормальным вектором. Теоремы 1. Геометрический смысл алгебраического уравнения 1-й степени с Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 13 тремя неизвестными. 2. Виды неполных уравнений плоскости. 3. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении плоскости в отрезках. 4. Теорема о взаимном расположении двух плоскостей. 5. Формула угла между двумя плоскостями. 6. Условие перпендикулярности двух плоскостей. 7. Теорема об уравнении плоскости, проходящей через три точки Тест 21 1. Какие из следующих точек лежат на плоскости x 2y 2z 3 0 : А(1; 1; 1), В(–3; 2; 2), С(1; 1; 3)? 2. Найдите какую-нибудь точку с целыми координатами, лежащую на плоскости 3x 2y 5z 1 0 . 3. Найти точки пересечения плоскости 2x 3y 4z 12 0 с коорди- натными осями и записать её уравнение в отрезках. Построить чер- теж части плоскости в первом октанте ПДСК. 4. Найдите общее уравнение плоскости x y z 1 3 2 7 с целыми коэф- фициентами, и её нормальный вектор. 5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 1; – 1), и перпендикулярной вектору n (5; 0; 3) 6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; – 1), и параллельной плоскости x y z 0 . 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(3; –1; 2), В(4; –1; –1) и С(2; 0; 2). 8. Найти угол между плоскостями 3y z 0, 2y z 0 . 9. Найдите уравнение плоскости, параллельной координатной плоско- сти Oxz, и отстоящей от неё на расстоянии равном 4. 10. Напишите уравнения координатных плоскостей. 11. Напишите общее уравнение какой-нибудь плоскости, проходящей через начало координат. 12. Определите взаимное расположение плоскостей: а) x 3z 2 0, 6z 2x 4 0 ; б) 2x 5y 1 0, 2z 3 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 1 Практическое занятие 22 Нормированное уравнение плоскости Краткое содержание: нормированное (нормальное) уравнение плоскости, нормирующий множитель, расстояние от начала координат до плоскости, расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями, невязка и отклонение, взаимное расположе- ние двух точек и плоскости, уравнения биссекторных плоскостей двугранного угла, условия пребывания точки внутри острого (тупого) двугранного угла, образованного пересечением двух плоскостей, необходимое и достаточное условие пересечения трех плоскостей в одной точке. п.1. Теория п.1.1. Нормированное (нормальное) уравнение плоскости Определение. Общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0 называется нормированным или нормальным уравнением плоскости, если 2 2 2 A B C 1 и D 0 Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов нормированного уравнения плоскости). Нормированное уравнение плоскости может быть записано в виде x cos y cos z cos p 0 , (1) где p 0 – расстояние от начала координат до данной плоскости, cos , cos , cos – направляющие косинусы её нормального вектора n (cos , cos , cos ) . Определение. Нормирующим множителем общего уравнения плоско- сти Ax By Cz D 0 называется число 2 2 2 1 A B C , где знак выбирается противоположным знаку свободного члена D. |