АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Задачи повышенного уровня сложности 18 10. Составить уравнение прямой, если точка N(4; 5) служит основани- ем перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту пря- мую. 11. Дан треугольник АВС: А(–2; 1), В(3; 5), С(10; 3). Найдите: а) об- щее уравнение прямой на которой лежит сторона АС; б) направ- ляющий вектор высоты BD и её параметрическое уравнение; в) ко- ординаты точки D. 12. Найти проекцию точки А(1; –3) на прямую 2x y 5 0 . 13. Найти координаты точки N, симметричной точке М(–3;4) отно- сительно прямой 4x y 1 0 . 14. Даны уравнения сторон треугольника АВ: 3x 2y 6 0 , АС: 7x y 31 0 , ВС: 2x 7y 38 0 . Найти уравнение перпен- дикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины А. 15. Даны две противоположные вершины квадрата А(–1; 3) и С(6; 2). Найти уравнения его сторон. 16. Из точки А(–5; 6) выходит луч света под углом arctg ( 2) к оси Ох и отражается от оси Ох, а затем отражается от оси Оу. Най- ти уравнения прямых, по которым направлены все три луча. 17. Найти уравнение отраженного от прямой 2x 3y 8 0 луча, ле- жащего на прямой x 2y 3 0 . 18. Найти уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; 1) под углом o 45 к прямой 2x 3y 4 0 . 19. Составить уравнения сторон треугольника, зная координаты одной из его вершин (4; –1) и уравнения двух биссектрис: x 1 и y x 1 . 20. Составить уравнение прямой, проходящей через начало коорди- нат, зная, что длина её отрезка, заключённого между прямыми 2x y 5 0 и 2x y 10 0 , равна 10 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 19 Домашнее задание 18. Общее и каноническое уравнение прямой 1. Напишите все виды уравнений для прямой, проходящей через точки А(2; 1) и В(4; 1), ее угловой коэффициент, нормальный и направ- ляющий векторы, точки пересечения с координатными осями. 2. Найти точку пересечения двух прямых 3x 4y 29 0 и 2x 5y 19 0 и угол между ними. 3. Найти уравнение прямой образующей с осью Оу угол o 30 и пересе- кающей ее в точке (0; – 6). 4. Дан треугольник с вершинами А(3; 2), В(3; 8), С(6; 2). написать уравнения сторон треугольника. 5*. Определить при каком значении р прямая 2 (p p)x (3 p)y 3p 1 0 : а) параллельна оси Ох; б) парал- лельна оси Оу; в) проходит через начало координат; г) перпенди- кулярна прямой y x . 6*. Луч света, пройдя через точку А(2; 3) под углом к оси Ох, отра- зился от нее и прошел через точку В(–5; 4). Найти угол и коор- динаты точки отражения луча. Самостоятельная работа 18 Вариант 1. 1. Определение направляющего вектора прямой. 2. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А(–2; 6) и В(4; 2) и выпишите ее направляющий вектор. 3. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1; – 2) перпендикулярно биссектрисе первого и третьего координатных углов и выпишите ее нормальный вектор. Вариант 2. 1. Определение нормального вектора прямой. 2. Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точ- ки А(1; 4) и В(–4; 1), и выпишите ее направляющий вектор. 3. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1; – 1) перпендикулярно биссектрисе второго и четвертого координат- ных углов и выпишите ее нормальный вектор. Вариант 3. 1. Определение общего уравнения прямой. 2. Найдите параметрическое уравнение прямой, проходящей через вершину А треугольника АВС параллельно стороне ВC, если А(2; – Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 20 3), В(3; 0), С(0; –2). 3. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1; – 4) перпендикулярно прямой y x 1 4 и выпишите ее нормальный вектор. Вариант 4. 1. Определение канонического уравнения прямой на плоскости. 2. Найдите уравнение прямой в отрезках, проходящей через вершину В треугольника АВС параллельно стороне АC, если А(2; –3), В(3; 0), С(0; –2). 3. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1; – 1) перпендикулярно прямой y x 1 2 и выпишите ее нормальный вектор. п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 18 Обозначения 1. Обозначение направляющего вектора прямой на плоскости. 2. Обозначение нормального вектора прямой на плоскости. 3. Обозначение свободного коэффициента общего уравнения прямой на плоскости. 4. Обозначение абсциссы точки пересечения прямой с осью Ох. 5. Обозначение ординаты точки пересечения прямой с осью Оу. 6. Обозначение углового коэффициента прямой на координатной плоскости. 7. Обозначение угла между прямыми. Определения 1. Определение уравнения линии на плоскости. 2. Определение параметрического уравнения линии на плоскости. 3. Определение направляющего вектора прямой. 4. Определение нормального вектора прямой на плоскости. 5. Определение угла наклона прямой к оси абсцисс. 6. Определение канонического уравнения прямой. 7. Определение уравнения прямой, проходящей через две точки. 8. Определение параметрического уравнения прямой на плоскости. 9. Определение общего уравнения прямой на плоскости. 10. Определение уравнения прямой, проходящей через заданную точ- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 21 ку с заданным нормальным вектором. 11. Определение неполного уравнения прямой на плоскости. 12. Определение уравнения прямой в отрезках. 13. Определение уравнения прямой с угловым коэффициентом. 14. Определение уравнения прямой, проходящей через заданную точ- ку с заданным угловым коэффициентом. Теоремы 1. Геометрический смысл алгебраического уравнения 1-й степени с двумя неизвестными. 2. Виды неполных уравнений прямой на плоскости. 3. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении прямой в от- резках. 4. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении прямой с угло- вым коэффициентом. 5. Теорема о параметрическом уравнении прямой и её следствие о ка- ноническом уравнении прямой. 6. Теорема о взаимном расположении двух прямых на плоскости, за- данных общими (каноническими или параметрическими) уравне- ниями. 7. Формулы угла между двумя прямыми на плоскости. 8. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. 9. Связь нормального вектора прямой на плоскости с её направляю- щим вектором и угловым коэффициентом. Тест 18 1. Какие из следующих точек принадлежат прямой x 2t 1 y 3t 2 : А(–1; 2), В(–3; –1), С(–1; 5)? 2. Построить на координатной плоскости Оху прямую, заданную об- щим уравнением 2x y 4 0 и записать уравнение этой прямой в отрезках. 3. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 3) и перпендикулярной вектору n (1; 2) . 4. Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом, если её угло- вой коэффициент 2 k 3 и известно, что прямая проходит через Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 22 точку С(0; –1). 5. Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, прохо- дящей через точку А(–1; 2), и параллельной вектору s (3; 4) . 6. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(–3; 4) и В(1; –2). 7. Выяснить взаимное расположение прямых x 1 y 1 3 и x 7 3t , t R y 1 t 8. Для прямой x 1 y 1 2 5 найти все виды её уравнений (общее, в от- резках, с угловым коэффициентом, каноническое, параметриче- ское). 9. Найдите нормальный вектор прямой x y 1 3 4 . 10. Найдите направляющий вектор прямой y 2x 1 . 11. Найдите угловой коэффициент прямой x 3t 2 y 4t 12. Найдите координаты точки пересечения прямых x 3y 1 0 и x 2t 2 y t 4 13. Найдите острый угол между прямыми 3x 4y 6 0 и x 2 y 5 2 1 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 1 Практическое занятие 19 Нормированное уравнение прямой Краткое содержание: нормированное (нормальное) уравнение прямой на координатной плос- кости, нормирующий множитель, расстояние от начала координат до прямой, расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми, невязка и отклонение, взаим- ное расположение двух точек и прямой на плоскости, уравнения биссектрис угла, образован- ного пересечением двух данных прямых, условия пребывания данной точки внутри острого (тупого) угла, образованного пересечением двух данных прямых. п.1. Теория п.1.1. Нормированное уравнение прямой Определение. Общее уравнение прямой Ax By C 0 называется нормированным или нормальным уравнением прямой, ес- ли 2 2 A B 1 и C 0 Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов нормированного уравнения прямой). Нормированное уравнение прямой может быть записано в виде x cos ycos p 0 , где p 0 – расстояние от начала координат до данной прямой, cos , cos – направляющие косинусы её нормального вектора n (cos , cos ) . Рис.1. O L n х у Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 2 Замечание. Если в нормированном уравнении прямой вместо направ- ляющих углов и нормального вектора n взять его полярный угол , то нормированное уравнение прямой можно записать в виде: x cos ysin p 0 , которое чаще всего и называется нормальным уравнением прямой. (Смотрите рисунок 1.) Из определения направляющего угла следу- ет, что он совпадает с полярным углом в первой и второй четвертях системы координат. Определение. Нормирующим множителем общего уравнения прямой Ax By C 0 называется число 2 2 1 A B , где знак выбирается противоположным знаку свободного члена С уравнения прямой. Теорема. (Приведение общего уравнения прямой к нормальному ви- ду.) Пусть – нормирующий множитель прямой Ax By C 0 . То- гда уравнение Ax By C 0 является нормированным уравнением данной прямой. п.1.2. Невязка и отклонение Определение. Пусть на координатной плоскости Оху дано произ- вольное общее уравнение прямой L : Ax By C 0 и произвольная точка 1 1 1 M (x , y ) . Число 1 1 1 (M ; L) Ax By C называется невязкой точки 1 M относительно прямой L. Определение. Пусть на координатной плоскости Оху дано произ- вольное общее уравнение прямой L : Ax By C 0 с нормальным вектором n (A, B) и произвольная точка 1 1 1 M (x , y ) . Число Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 3 1 1 1 1 2 2 (M ; L) Ax By C (M ; L) | n | A B называется отклонением точки 1 M от прямой L. п.1.3. Расстояние от точки до прямой и между параллельными прямыми Теорема. Расстояние d от точки 1 1 1 M (x , y ) до прямой L : Ax By C 0 равно 1 1 1 1 2 2 | Ax By C | d d (M ; L) | (M ; L) | A B или 1 1 d | x cos y cos p | , где x cos ycos p 0 – нормированное уравнение данной прямой. Теорема. Пусть 1 1 1 1 2 2 2 2 L : x cos y cos p 0, L : x cos y cos p 0 , – нормированные уравнения двух параллельных прямых, где o o 1 2 1 1 2 2 n (cos ,cos ), n (cos ,cos ) – их нормальные векторы. Обозначим через 1 2 d (L ; L ) расстояние между прямыми 1 L и 2 L . То- гда: а) если o o 1 2 n n , то 1 2 1 2 d (L ; L ) | p p | ; б) если o o 1 2 n n , то 1 2 1 2 d (L ; L ) p p (Смотрите рисунки 2 и 3.) Рис.2. 2 p 1 p 2 L 1 L o o 1 2 n n О Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 4 Рис.3. Следствие. Пусть даны общие уравнения двух параллельных прямых с одинаковыми коэффициентами при переменных: 1 1 2 2 L : Ax By C 0, L : Ax By C 0 . Тогда: 1) если 1 2 C C 0 , то начало координат лежит не между прямыми и 1 2 1 2 2 2 | C C | d (L ; L ) A B ; 2) 1) если 1 2 C C 0 , то начало координат лежит между прямыми и 1 2 1 2 2 2 | C | | C | d (L ; L ) A B п.1.4. Взаимное расположение прямой и двух точек Теорема. Пусть на координатной плоскости Оху даны две точки и прямая: 1 1 1 2 2 2 M (x ; y ), M (x ; y ), L : Ax By C 0 . Пусть 1 1 1 2 2 2 Ax By C, Ax By C – невязки данных точек относительно данной прямой. Тогда: 1) если 1 2 0 , то обе точки лежат в одной полуплоскости относи- тельно данной прямой (по одну сторону от прямой); 2) если 1 2 0 , то обе точки лежат в разных полуплоскостях отно- сительно данной прямой (по разные стороны от прямой). п.1.5. Уравнения биссектрис угла между двумя пересекающимися прямыми Теорема. Пусть на координатной плоскости Оху даны общие уравне- 2 p 1 p o 1 n О 2 L 1 L o 2 n Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 5 ния двух пересекающихся прямых 1 1 1 1 L : A x B y C 0 и 2 2 2 2 L : A x B y C 0 , причем 1 2 1 2 A A B B 0 . Тогда следующее уравнение является урав- нением биссектрисы острого угла, образованного этими прямыми: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 A x B y C A x B y C 0 A B A B , (1) а уравнение 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 A x B y C A x B y C 0 A B A B , (2) является уравнением биссектрисы тупого угла. п.1.6. Необходимые и достаточные условия пребывания данной точки внутри острого (тупого) угла, образованного двумя данны- ми пересекающимися прямыми Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся прямых 1 1 1 1 L : A x B y C 0 и 2 2 2 2 L : A x B y C 0 , причем направления их нормальных векторов 1 1 1 n (A ,B ) и 2 2 2 n (A ,B ) выбраны так, что угол между ними является острым, т.е. 1 2 1 2 1 2 n n A A B B 0 Тогда: 1) точка o o o M (x , y ) находится внутри острого угла тогда и только то- гда, когда невязки точки o M относительно данных прямых имеют противоположные знаки o 1 o 2 (M ,L ) (M ,L ) 0 ; 2) точка o o o M (x , y ) находится внутри тупого угла тогда и только то- гда, когда невязки точки o M относительно данных прямых имеют одинаковые знаки o 1 o 2 (M ,L ) (M ,L ) 0 . п.2. Список задач Список №1 1. Определить, является ли данное уравнение нормированным уравне- нием прямой. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 6 2. Найти нормирующий множитель для данного общего уравнения прямой. 3. Найти нормированное уравнение данной прямой и расстояние до нее от начала координат. 4. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми. 5. Найти невязку и отклонение точки от прямой. 6. Найти расстояние от точки до прямой. Список №2 1. Определить взаимное расположение двух точек и прямой. 2. Определить, находится данная точка внутри данного треугольника или вне его. 3. Найти уравнение биссектрисы острого (тупого) угла между двумя пересекающимися прямыми. 4. Определить, находится данная точка внутри острого или тупого уг- ла, образованного пересечением двух данных прямых. 5. Найти координаты точки пересечения биссектрис данного тре- угольника. п.3. Примеры Пример 1. Определить, какие из следующих уравнений прямых яв- ляются нормированными: а) x 2y 3 0 ; б) 2 5 x y 0 3 3 ; в) 4 1 x y 5 0 3 3 ; г) 3 4 x y 6 0 4 5 ; д) 5 12 x y 13 0 13 13 ; е) x 3 0 Решение. Пользуемся определением нормированного уравнения пря- мой. а) 2 2 A 1, B 2, A B 1 , уравнение не нормированное; б) свободный член C 0 , уравнение не нормированное; в) коэффициент 4 A 1 3 , уравнение не нормированное; г) свободный член C 6 0 , уравнение не нормированное; д) 2 2 2 2 5 12 A B 1 13 13 , свободный член C 13 0 – уравнение нормированное; Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 7 е) свободный член C 3 0 , 2 2 A 1, B 0, A B 1 –уравнение нормированное. Ответ: д) и е). Пример 2. Найти нормированное уравнение прямой x 2y 3 0 и расстояние до нее от начала координат. Решение. Находим нормирующий множитель: 2 2 2 1 1 1 5 A B 1 2 Знак нормирующего множителя выбрали противоположным знаку свободного члена общего уравнения: C 3 0 Умножаем данное уравнение прямой на нормирующий множитель и получаем нормированное уравнение прямой: 1 2 3 x y 0 5 5 5 . Следовательно, число 3 p 5 равно расстоянию до данной прямой от начала координат. Ответ: 1 2 3 x y 0 5 5 5 – нормированное уравнение прямой, 3 5 – расстояние от начала координат до данной прямой. |