АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 24 из 44

Пример 3.
Найти нормированные уравнения данных параллельных прямых и расстояние между ними: а) 5x 12y 3 0,10x 24y 13 0

 


 ; б) 2x 2y 5 0, x y 0,5 0

 
 
 .
Решение. а) Находим нормирующие множители:
1 2
2 2
2 2
1 1
1 1
,
13 26 5
( 12)
2 5
( 12)
 

  
 
 
 
Выписываем нормированные уравнения прямых:
5 12 3
5 12 1
x y
0,
x y
0 13 13 13 13 13 2


 

  .
Так как нормальные векторы получившихся нормированных уравне- ний противоположны, то начало координат находится между данными параллельными прямыми и расстояние между ними равно
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 8
1 2
3 1
7
d p p
13 2 26



 
б) Приводим данные уравнения прямых к нормированному виду:
1 2
1 1
,
2 2 2
  
  
, x
y
5
x y
1 0,
0 2
2 2 2 2
2 2 2



 


 .
Нормальные векторы получившихся нормированных уравнений рав- ны, следовательно, начало координат находится не между данными параллельными прямыми, и расстояние между ними равно
1 2
5 1
d | p p |
2 2 2 2 2





Ответ: а)
5 12 3
5 12 1
x y
0,
x y
0 13 13 13 13 13 2


 

  ,
7
d
26

; б) x
y
5
x y
1 0,
0 2
2 2 2 2
2 2 2



 


 , d
2

Пример 4.
Найти расстояние между данными параллельными пря- мыми не находя их нормированные уравнения: а) 5x 12y 10 0, 5x 12y 15 0





 ; б) 2x 2y 5 0, x y 0,5 0

 
 
 .
Решение. а) Соответствующие коэффициенты при переменных х и у в обоих уравнениях совпадают, и свободные члены имеют одинаковый знак. Следовательно, начало координат находится не между данными параллельными прямыми и расстояние между ними равно
1 2
2 2
2 2
| C
C |
15 10 5
d
13
A
B
5
( 12)






 
б) Разделим первое уравнение на 2, чтобы соответствующие коэффи- циенты при переменных х и у в обоих уравнениях были равны: x y 2,5 0, x y 0,5 0
 

 
 .
Свободные члены уравнений имеют противоположные знаки, следо- вательно, начало координат находится между данными параллельны- ми прямыми, и расстояние между ними равно
1 2
2 2
| C | | C | | 2,5 | | 0,5 |
3 3
d
2 2
1 1 2
A
B










Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 9
Ответ: а)
5 13
; б)
3 2
2
Пример 5.
Найти расстояние от точки М(–7; –2) до прямой
L : 5x 3y 23 0


 .
Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой:
1 1
1 2
2 2
2
| Ax
By
C | | 5( 7) 3( 2) 23 |
6
d (M ; L)
34
A
B
5
( 3)


   




 
Ответ:
3 34 17
Пример 6.
Выяснить взаимное расположение точек
1
M ( 5; 11)

,
2
M (8; 3) ,
3
M (2; 13)

и прямой 6x y 13 0
 
 .
Решение. Находим невязки точек относительно данной прямой:
1 6( 5) 11 13 28
    
  ,
2 6 8 3 13 58
    

,
3 6 2 13 13 38
   


Так как невязки второй и третьей точек имеют одинаковые знаки, то они находятся в одной полуплоскости. Невязка первой точки имеет противоположный знак, поэтому она находится в другой полуплоско- сти.
Ответ: точки
2
M и
3
M находятся в одной полуплоскости,
1
M – в дру- гой.
Пример 7.
Найти уравнение биссектрис острого и тупого углов между прямыми y x
 и y 3x

Решение. Запишем общее уравнение каждой прямой: x y 0, 3x y 0
 
  и воспользуемся теоремой п.5.
Если
1 2
1 2
A A
B B
0

 , то
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
A x B y C
A x B y C
0
A
B
A
B








– уравнение биссектрисы острого угла,
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
A x B y C
A x B y C
0
A
B
A
B








Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 10
– уравнение биссектрисы тупого угла.
Так как
1 2
1 2
A A
B B
1 3 ( 1) ( 1) 4 0

        , то x y 3x y
0 2
10



 или ( 5 3)x ( 5 1)y 0




– уравнение биссектрисы острого угла, x y 3x y
0 2
10



 или (3 5)x ( 5 1)y 0




– уравнение биссектрисы тупого угла.
Ответ:
3 5
y x
5 1



– уравнение биссектрисы острого угла,
3 5
y x
5 1

 

– уравнение биссектрисы тупого угла.
Пример 8.
Определить, какой из углов, острый или тупой, образован- ных двумя прямыми 3x 5y 4 0

  и x 2y 3 0

  , содержит точку
М(2; –5).
Решение. Умножим первое уравнение на (–1):
3x 5y 4 0
 
  .
Теперь выполняется условие теоремы п.6:
1 2
1 2
1 2
n n
A A
B B
3 10 7 0



  
 
Находим невязки точки М относительно плоскостей
3x 5y 4 0
 
  и x 2y 3 0

  :
1 2
3 2 5 ( 5) 4 27,
2 2 ( 5) 3 5
         
        .
Так как знаки невязок одинаковы, то точка М лежит в тупом угле.
Ответ: тупой угол.
п.4. Задачи
Задачи для аудиторного решения 19
1. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нор- мированными: а)
3 4
x y 3 0 5
5

  ; б)
2 3
x y 1 0 5
5

  ; в)
5 12
x y 2 0 13 13

  ; г)
5 12
x y 2 0 13 13


  ; д) x 2 0
 
; е) x 2 0
  
;
ё) y 2 0
  ; ж) y 2 0
   .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 11 2. Привести общее уравнение прямой к нормированному виду и найти расстояние от начала координат до этой прямой: а) 4x 3y 10 0


 ; б)
4 3
x y 10 0 5
5


 ; в) x 2 0
 
; г) 12x 5y 13 0


 ; д)
12x y
5 0
 
 .
3. Найти расстояние между параллельными прямыми: а) 3x 4y 20 0


 и 6x 8y 5 0

  ; б) 2x 3y 8 0

  и 4x 6y 9

 .
4. Вычислить невязку
 , отклонение

и расстояние d
точки от пря- мой: а) А(2; –1),
4x 3y 10 0


 ; б) В(0; –3), 5x 12y 23 0


 ; в)
С(–2; 3),
3x 4y 2 0

  ;
5. Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которо- го лежит на прямой x 2y 7 0

  . Найти площадь этого квадрата.
6. Установить, лежит ли точка М(1; –3) и начало координат в одной или в разных полуплоскостях относительно прямой: а)
2x y 5 0
   ; б) x 3y 5 0

  ; в) 3x 2y 1 0

  ; г) x 3y 2 0

  .
7. Доказать, что прямая
2x y 3 0
   пересекает отрезок, ограничен- ный точками А(–5; 1) и В(3; 7).
Задачи повышенного уровня сложности 19
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 5) на расстоянии пять единиц от начала координат.
9. Составить уравнение прямой, симметричной прямой x 2y 6 0

  относительно точки А(4; 2).
10. Определить, лежит ли точка М(–3; 2) внутри или вне треугольни- ка, стороны которого даны уравнениями x y 4 0
   ,
3x 7y 8 0

  , 4x y 31 0
 
 .
11. Даны 3 параллельные прямые
10x 15y 3 0

  , 2x 3y 5 0

  ,
2x 3y 9 0

  . Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.
12. Определить, лежат ли точки А(2; 3) и В(5; –1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных прямыми x 3y 5 0

  ,
2x 9y 2 0

  .
13. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми
3x 2y 5 0

  и 2x y 3 0
   , содержит начало
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 12
координат.
14. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми
3x y 4 0
   и 2x 6y 3 0

  , в котором лежит начало координат.
Домашнее задание 19. Нормированное уравнение прямой
1. Определить высоту ВД в треугольнике А(4; –3), В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки В до прямой АС.
2.
Даны уравнения оснований трапеции: 3x 4y 15 0


 ,
3x 4y 35 0


 . Найти высоту трапеции.
3. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного пря- мыми x 3y 5 0

  и 3x y 15 0
 
 .
4*. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треуголь- ника, стороны которого даны уравнениями
7x 5y 11 0

  ,
8x 3y 31 0


 , x 8y 19 0


 .
5*. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) на расстоянии 2 от точки В(0; –1).
Самостоятельная работа 19
Вариант 1.
1. Определение нормирующего множителя.
2. Найдите нормированное уравнение прямой x 2y 15 0


 и найди- те расстояние до нее от начала координат.
3. Докажите, что данные прямые параллельные и найдите расстояние между ними:
3x 6y 7 0, 3 y 7 0

 
   .
Вариант 2.
1. Определение нормированного уравнения прямой.
2. Найдите нормированное уравнение прямой
2x y 5 0
   и найдите расстояние до нее от начала координат.
3. Докажите, что данные прямые параллельные и найдите расстояние между ними:
4x 2y 1 0, 4x y 9 0

 
   .
Вариант 3.
1. Определение невязки точки относительно прямой.
2. Докажите, что прямые
3x 6y 7 0

  и 3x 2y 7 0

  параллельные и найдите расстояние между ними.
3. Определить высоту ВD в треугольнике А(4; –3),
В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки В до прямой АС.
Вариант 4.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 13 1. Определение отклонения точки от прямой.
2. Докажите, что прямые 4x 2y 1 0

  и 2x y 9 0
   параллельные и найдите расстояние между ними.
3. Определить высоту СD в треугольнике А(4; –3), В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки С до прямой АВ.
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 19
Обозначения
1. Обозначение расстояния от начала координат до прямой на плоско- сти.
2. Обозначение нормирующего множителя общего уравнения прямой на плоскости.
3. Обозначение невязки точки относительно прямой на плоскости.
4. Обозначение отклонения точки от прямой на плоскости.
5. Обозначение расстояния от точки до прямой.
6. Обозначение расстояния между двумя параллельными прямыми.
Определения
1. Определение нормированного (нормального) уравнения прямой на плоскости.
2. Определение полярного угла вектора.
3. Определение нормирующего множителя общего уравнения прямой на плоскости.
4. Определение невязки точки относительно прямой на плоскости.
5. Определение отклонения точки прямой на плоскости.
Теоремы
1. Геометрический смысл коэффициентов нормированного уравнения прямой.
2. Приведение общего уравнения прямой на плоскости к нормальному виду.
3. Формула расстояния от точки до прямой на плоскости.
4. Формулы расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости, заданными нормальными уравнениями.
5. Формула расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости, заданными общими уравнениями.
6. Теорема о взаимном расположение двух точек относительно пря- мой на плоскости.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14 14 7. Уравнения биссектрис двух пересекающихся прямых на плоскости.
8. Теорема о взаимном расположении точки и двух пересекающихся прямых на плоскости.
Тест 19
1. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нор- мированными: а)
3 4
x y 3 0 5
5

  ; б)
2 3
x y 1 0 5
5

  ; в) x 2 0
 
; г) y 2 0
   .
2. Найдите нормирующий множитель для уравнения y 2x 1 0

  .
3. Найти нормированное уравнение прямой, и расстояние до неё от начала координат: а) 4x 3y 10 0


 ; б)
4 3
x y 10 0 5
5


 ; в) x 3t 2
y 4 t
 

  

; г) x 2 0
 
4. Найдите расстояние от начала координат до прямой x 2y 5 0

  .
5. Найдите невязку точки М(–2; 9) относительно прямой
4x y 5 0
   .
6. Найдите отклонение точки М(3; –7) относительно прямой
2x 2y 3 0

  .
7. Найдите расстояние от точки М(–6; 4) до прямой y 2x 1

 .
8. Найдите расстояние между параллельными прямыми 2x 2y 3 0

  и x y 3 0
   .
9. Установить, лежит ли точка М(1; –3) и начало координат в одной или в разных полуплоскостях относительно прямой:
10x 24y 15 0


 .
10. Доказать, что прямая 2x y 3 0
   пересекает отрезок, ограничен- ный точками
1 1
A( 3 ;2 )
3 4

и
2 1
A( 1 ; )
3 2


Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 1
Практическое занятие 20
Пучок прямых на плоскости
Краткое содержание: пучок прямых на координатной плоскости и его уравнение, центр пучка, уравнение пучка с заданным центром.
п.1. Теория
п.1.1. Уравнение пучка прямых
Определение. Пучком прямых, лежащих на одной плоскости, называ- ется множество всех прямых этой плоскости, пересекающихся в од- ной точке, которая называется центром пучка.
Теорема. (Об уравнении пучка прямых.) Пусть
1 1
1 1
L : A x B y C
0


 и
2 2
2 2
L : A x B y C
0



– две прямые в координатной плоскости Оху, пересекающиеся в точ- ке o
M . Тогда уравнение
1 1
1 2
2 2
(A x B y C )
(A x B y C ) 0



 


 , (1) где
,
R
  – произвольные действительные параметры, одновремен- но не равные нулю, есть уравнение пучка прямых с центром пучка в точке o
M .
Замечание.
Если в уравнении (1)
0,
0
    , то уравнение (1) есть уравнение прямой
2
L . Если 0,
0
    , то уравнение (1) есть уравне- ние прямой
1
L . Поэтому, если уравнение (1) разделить на
0
 
, то получим уравнение любой прямой из данного пучка, кроме прямой
2
L :
1 1
1 2
2 2
A x B y C
(A x B y C ) 0


 


 , (2) где
R
 
– произвольное действительное число (параметр).
Определение.
Уравнение (1) называется уравнением пучка прямых.
Уравнение (2) называется уравнением пучка прямых с одним пара- метром.
Теорема.
(Об уравнении пучка прямых с данным центром пучка.) У- равнение o
o
A(x x ) B(y y ) 0



 , где А и В произвольные действительные параметры, является уравне-
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 2
нием пучка прямых с центром пучка в точке o
o o
M (x , y ) .
Следствие.
(Об уравнении пучка прямых с одним параметром и дан- ным центром пучка.) Уравнение o
o y y k(x x )



, где k произвольный действительный параметр, является уравнением пучка прямых с одним параметром и с центром пучка в точке o
o o
M (x , y ) кроме прямой o
x x

п.2. Список задач
Список № 1
1. Написать уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух прямых из этого пучка.
2. Найти центр пучка прямых, если известно уравнение этого пучка.
3. Написать уравнение пучка прямых, если известны координаты его центра.
4. Найти уравнение прямой, принадлежащей данному пучку прямых и проходящей через данную точку.
5. Найти уравнение прямой, принадлежащей данному пучку прямых и проходящей параллельно (перпендикулярно) данной прямой.
Список № 2
1. Найти уравнение прямой, принадлежащей двум данным пучкам, не находя при этом центры пучков.
2. Найти уравнение прямой, принадлежащей данному пучку прямых и отсекающий от координатного угла треугольник заданной площа- ди.
п.3. Примеры
Пример 1.
Найти уравнение пучка прямых с центром пучка в точке пересечения прямых 2x y 3 0, x y 2 0
  
   .
Ответ: (2x y 3)
(x y 2) 0

       .
Пример 2.
Найти центр пучка прямых
(2x y 3)
(x y) 0

    
 .
Решение. Решаем систему уравнений

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 3

2x y
3
x y 0
  
 
Ответ: ( 1;1)

Пример 3.
Найти уравнение пучка прямых с центром пучка в точке
А(--1; 3).
Решение. Прямые x
1
  и y 3
 пересекаются в точке А. Следова- тельно, эти две прямые принадлежат пучку прямых с центром пучка в точке А. Зная уравнения двух прямых из этого пучка, мы можем на- писать его уравнение:
(x 1)
(y 3) 0
      .
Можно заменить греческие буквы на латинские.
Ответ:
A(x 1) B(y 3) 0
 
  .
Пример 4.
Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых
(2x 3y 1)
(x 4y 6) 0


   
  и проходящей через точку А(–2; 5).
Решение. Подставляя вместо параметров

и
 конкретные значения, мы получаем уравнение прямой, принадлежащей данному пучку. Зна- чения параметров мы найдем, зная, что искомая прямая проходит че- рез точку А. Подставим координаты точки А в уравнение пучка:
(2( 2) 3 5 1)
(( 2) 4 5 6) 0

           или 10 16 0
    , или 5 8
0
    . Положим
8,
5
    . Подставим найденные значения параметров в уравнение пучка:
8(2x 3y 1) 5(x 4y 6) 0

 

  или 21x 4y 22 0


 .
Ответ: 21x 4y 22 0


 .