АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Пример 4. Известно, что a b c 17 . Вычислить (a 2b) (3a 4b c) c . Решение. Воспользуемся свойством линейности смешанного произве- дения, т.е. возможностью раскрывать скобки и выносить скалярные множители за знак смешанного произведения. Раскроем первую скобку: (a 2b) (3a 4b c) c a (3a 4b c) c 2b (3a 4b c) c В каждом из двух слагаемых раскрываем скобку: a (3a 4b c) c 2b (3a 4b c) c 3a a c 4a b c a c c 6b a c 8b b c 2b c c Смешанные произведения, содержащие два одинаковых сомножителя, равно нулю, так как такие тройки векторов являются компланарными. Убирая из получившейся суммы нулевые слагаемые, получаем 4a b c 6b a c 4a b c 6a b c 10a b c По условию задачи a b c 17 , откуда (a 2b) (3a 4b c) c 170 Ответ: (a 2b) (3a 4b c) c 170 Пример 5. Вычислить смешанное произведение векторов a ( 2; 3;1), b (4;7; 5), c (6; 1;6) Решение. Воспользуемся формулой вычисления смешанного произве- дения векторов, заданных в координатной форме: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x y z 2 3 1 a b c x y z 4 7 5 x y z 6 1 6 7 5 4 5 4 7 2 ( 3) 1 6 6 6 6 1 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 7 2(42 5) 3(24 30) ( 4 42) 42 Ответ: a b c 42 Пример 6. Определить, образует ли тройка векторов a (0; 3;1), b (4;0; 5), c (6; 1;0) базис пространства векторов. Решение. По определению, базисом пространства векторов называется любая упорядоченная некомпланарная тройка векторов. Поэтому дос- таточно вычислить смешанное произведение a b c данной тройки векторов. Если a b c 0 , тогда данная тройка векторов является ком- планарной и не образует базис. В противном случае – образует. Вычисляем смешанное произведение: 0 3 1 4 5 4 0 a b c 4 0 5 3 86 6 0 6 1 6 1 0 Ответ: да. Пример 7. Докажите, что следующие четыре точки лежат в одной плоскости: А(–3; 2; –1), В(0; 4; 5), С(2; 2; –1), D(–1; 0; –7) . Решение. Очевидно, что если векторы AB, AC, AD компланарны, то данные точки лежат в одной плоскости. Рис. 4 Вычисляем координаты векторов AB, AC, AD : AB (3;2;6), AC (5;0;0), AD (2; 2; 6) . Вычисляем смешанное произведение: А D С В Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 8 3 2 6 AB AC AD 5 0 0 0 2 2 6 , ч.т.д. Пример 8. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках S(–4; 4; –1), А(1; 2; –3), В(3; –2; 2), С(5; –2; 5). Решение. Вычисляем координаты векторов SA, SB, SC и их смешан- ное произведение: SA (5; 2; 2), SB (7; 6;3), SC (9; 6;6) , 5 2 2 SA SB SC 7 6 3 84 9 6 6 Вычисляем искомый объем: 1 V | SA SB SC | 14 6 . Ответ: 14. п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 17 1. Определить ориентацию тройки векторов: а) {k, i, j} ; б) {k, j, i} ; в) {j, i, k} ; г) {i j, j, k} ; д) {i j, i j, j} ; е) {i j, i j, k} 2. Векторы a, b, c образуют правоориентированный ортогональный базис. Вычислить a b c , если 2 5 | a | , | b | , | c | 2,1 3 2 3. Вектор c ортогонален векторам a и b , угол между которыми равен o 30 . Вычислить a b c , если 3 1 | a | , | b | , | c | 12 6 4 2 4. Докажите тождество (a b)(b c)(c a) 2abc 5. Даны три вектора a (1; 1; 3), b ( 2; 2;1), c (3; 2; 5) . Вычислить a b c и определить ориентацию тройки векторов {a, b, c}. 6. Выяснить, какая из следующих троек векторов является компла- нарной: а) a (2; 3; 1), b (1; 1; 3), c (1; 9; 11) ; б) a (3; 2; 1), b (2;1; 2), c (3; 1; 2) ; в) a (2; 1; 2), b (1; 2; 3), c (3; 4; 7) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 9 7. Докажите, что четыре точки А(1; 2; –1), В(0; 1; 5), С(–1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости. 8. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой: А(2; – 1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; –1), D(4; 1; 3). 9. Даны вершины треугольной пирамиды: А(2; 3; 1), В(4; 1; –2), С(6; 3; 7), D(–5; –4; 8). Найти длину ее высоты, опущенной из вершины D. 10. Объем треугольной пирамиды равен 5, три ее вершины находятся в точках А(2; 1; –1), В(3; 0; 1), С(2; –1; 3). Найти координаты чет- вертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат. Задачи повышенного уровня сложности 17 11. Докажите, что объем параллелепипеда, построенного на диагона- лях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда. 12. Докажите, что для любых векторов a, b, c векторы a b, b c, c a компланарные. Каков геометрический смысл этого факта? Домашнее задание 17. Смешанное произведение векторов 1. Вычислить произведения: а) b(c a)(b 2c) ; б) (a b)(a 2b c)(c a) , если a b c 5 2. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a ( 1; 2; 3), b ( 1;1; 2), c (2; 1; 1) . 3. В треугольной призме ABCA B C векторы AB (0;1; 1) , AC (2; 1; 4) определяют основание, а вектор AA ( 3; 2; 2) на- правлен по боковому ребру. Найти объем призмы и ее высоту. Самостоятельная работа 17 Вариант 1. 1. Определение компланарных векторов. 2. Вычислите смешанное произведение векторов a b c , если a b ( 3;3;1), c (4;7; 5) . 3. Определите, компланарны ли векторы a (3;3;1) , b (4;7; 5) , c (2; 1;7) ? Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 10 Вариант 2. 1. Определение смешанного произведения упорядоченной тройки век- торов. 2. Вычислите смешанное произведение векторов a b c , если b c ( 1;4;3), a (14;7; 5) . 3. Определите ориентацию тройки векторов a ( 3; 3;1), b (4;7; 5), c (6; 1;6) Вариант 3. 1. Определение правоориентированной упорядоченной тройки векто- ров. 2. Определите ориентацию тройки векторов a ( 3; 3;1), b (4;7; 5), c (6; 1;6) 3. Найдите объем тетраэдра АВСD, если А(2; –3; 0), В(3; 0; 2), С(0; –2; 5), D(–7; 7; –3). Вариант 4. 1. Определение транспозиции в упорядоченной тройке векторов. 2. Определите, компланарны ли векторы a (3;3;1), b (4;7; 5), c (2; 1;7) ? 3. Найдите объем треугольной пирамиды SАВС, если S(–4; 4; –1), А(1; 2; –3), В(3; –2; 2), С(5; –2; 5). п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 17 Обозначения 1. Обозначение смешанного произведения. 2. Обозначение объёма параллелепипеда, построенного на трех векто- рах, как на его ребрах. Определения 1. Определение смешанного произведения векторов. 2. Определение перестановки в тройке векторов. 3. Определение транспозиции. 4. Определение круговой перестановки. Теоремы 1. Теорема о геометрическом смысле смешанного произведения. 2. Лемма о перестановках в тройке векторов. 3. Следствие об изменении знака смешанного произведения при пере- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 11 становках его сомножителей. 4. Следствие о расстановке знаков умножения в смешанном произве- дении. 5. Свойство линейности смешанного произведения. 6. Формула вычисления смешанного произведения векторов, задан- ных в координатной форме. 7. Формула объема параллелепипеда с известными координатами его вершин. 8. Формула объема тетраэдра с известными координатами его вершин. 9. Формула длины высоты тетраэдра с известными координатами его вершин. Тест 17 1. Определить ориентацию тройки векторов: а) {k, i, j} ; б) {i, k, j} ; в) {j, i, k} ; г) {i j, j, k} 2. Векторы a, b, c образуют правую тройку и взаимно ортогональны. Вычислить a b c , если | a | 4, | b | 2 , | c | 3 . 3. Дан куб 1 1 1 1 ABCDA B C D . Определите ориентацию тройки векторов 1 1 AB, AC , CB , и найдите их смешанное произведение. 4. Вычислите (a 2b) (3a 2b c) c , если известно, что a b c 1 5. Вычислите смешанное произведение векторов a, b и c , если a (1; 2; 2), b (2; 2;1), c (1; 10; 8) 6. Определите ориентацию тройки векторов {a, b, c}, если a (3; 1;1), b ( 2;1; 2), c ( 2; 3; 5) 7. Выяснить, компланарные ли векторы a, b, c , если a (2; 3; 1), b (1; 1; 3), c (1; 9; 11) 8. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой А(2; – 1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; –1), D(4; 1; 3). 9. Вычислите смешанное произведение векторов правоориентирован- ного ортонормированного базиса. Ответ обоснуйте. 10. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах (i j), j, k как на его ребрах, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов и его свойство линейности. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 1 Практическое занятие 18 Общее и каноническое уравнение прямой Краткое содержание: понятие уравнения произвольной линии на координатной плоскости, общее уравнение прямой, неполные уравнения прямой, уравнение прямой в отрезках, уравне- ние прямой с угловым коэффициентом, каноническое уравнение прямой, параметрическое уравнение, взаимное расположение двух прямых на плоскости, угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. п.1. Теория п.1.1. Уравнение произвольной линии на координатной плоскости Определение. Уравнение F(x, y) 0 , где F(x, y) некоторая функция двух действительных аргументов, на- зывается уравнением линии L на координатной плоскости Оху, если выполняется условие: x, y R, F(x, y) 0 M(x, y) L . Определение. Система уравнений x x(t) y y(t) , где x(t), y(t) некоторые функции действительного аргумента t, назы- вается параметрическим уравнением линии L на координатной плос- кости Оху, если выполняется условие: x x(t) t T, M(x(t), y(t)) L y y(t) , где T – некоторый промежуток числовой оси Ot, действительная пе- ременная t называется параметром. п.1.2. Общее уравнение прямой на плоскости Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой называется её нормальным вектором, и обозначается n (A, B) Теорема. (Геометрический смысл алгебраического уравнения 1-й сте- пени с двумя неизвестными.) Алгебраическое уравнение 1-й степени Ax By C 0 , (1) где коэффициенты А, В, С – произвольные действительные числа, од- новременно не равные нулю, является уравнением прямой на коорди- натной плоскости Оху, а вектор n (A, B) является её нормальным Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 2 вектором. Обратно, на координатной плоскости Оху уравнение любой прямой с нормальным вектором n (A, B) , может быть записано в виде алгебраического уравнения (1). Определение. Уравнение прямой вида Ax By C 0 , где коэффициенты А, В, С – произвольные действительные числа, од- новременно не равные нулю, называется общим уравнением прямой. Определение. Общее уравнение прямой на плоскости Ax By C 0 , в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С равен нулю, назы- вается неполным. Виды неполных уравнений. y 0 – уравнение оси Ох; x 0 – уравнение оси Оу; y b, b 0 – уравнение прямой параллельной оси Ох; x a, a 0 – уравнение прямой параллельной оси Оу; Ax By 0, A 0 B – уравнение прямой проходящей через начало координат. п.1.3. Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом Рис.1. Определение. Уравнение прямой вида x y 1 a b , где а и b – произвольные, не равные нулю действительные числа, на- х О b а у Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 3 зывается уравнением прямой в отрезках. Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов в уравнении пря- мой в отрезках.) Пусть x y 1 a b – уравнение прямой в отрезках. То- гда (а; 0), (0; b) – координаты точек пересечения данной прямой с осями координат. Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс против часовой стрелки вокруг любой её точки до положения параллельности или совпадения с данной прямой. Рис.2 Определение. Уравнение прямой вида y kx b , где k и b – произ- вольные действительные числа, называется уравнением прямой с уг- ловым коэффициентом, коэффициент k называется угловым коэффи- циентом данной прямой. Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов в уравнении пря- мой с угловым коэффициентом.) Пусть y kx b – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Тогда k tg , где угол равен углу наклона данной прямой к оси Ох, b – ордината точки пересечения с осью Оу. Определение. Уравнение прямой вида o o y y k(x x ) , где o o (x , y ) – координаты произвольной фиксированной точки o M О у х L Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 4 данной прямой, k – её угловой коэффициент, называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффи- циентом. Определение. Уравнение прямой вида o o A(x x ) B(y y ) 0 , где o o (x , y ) – координаты произвольной фиксированной точки o M , лежащей на данной прямой, (A, B) n – координаты её нормального вектора, называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором. Рис. 3 п.1.4. Каноническое и параметрическое уравнение прямой на ко- ординатной плоскости Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной пря- мой называется ее направляющим вектором, и обозначается s (m, n) Теорема. Следующая система уравнений является уравнением прямой на координатной плоскости Оху: o o x x mt , y y nt (2) где o o x , y – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, m, n – соответствующие координаты её произвольного на- правляющего вектора, t R – параметр. Определение. Система уравнений (2) называется параметрическим уравнением прямой на координатной плоскости Оху. n (A,B) o o o M (x , y ) o o L : A(x x ) B(y y ) 0 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 5 Следствие. Следующее уравнение является уравнением прямой на координатной плоскости Оху: o o x x y y m n (3) где o o x , y – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, m, n – соответствующие координаты её произвольного на- правляющего вектора. Рис. 4 Определение. Уравнение (3) называется каноническим уравнением прямой на координатной плоскости Оху. Определение. Каноническое уравнение прямой вида 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y называется каноническим уравнением прямой, проходящей через две различные данные точки 1 1 1 M (x ; y ) и 2 2 2 M (x ; y ) . Теорема. (Связь нормального вектора прямой с её направляющим вектором и её угловым коэффициентом.) 1) Если n (A; B) – нормальный вектор прямой, то s (B; A) – её направляющий вектор, и, если B 0 , то A k B – её угловой коэф- фициент. 2) Если s (m; n) – направляющий вектор прямой, то n (n; m) – её нормальный вектор, и, если m 0 , то n k m – её угловой коэффици- ент. 3) Если k угловой коэффициент прямой, то n (k; 1) – её нормаль- ный вектор, s (1;k) – направляющий вектор. o o x x y y L : m n s (m,n) o o o M (x , y ) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 6 п.1.5. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Две прямые на плоскости могут пересекаться, совпадать или быть па- раллельными. Теорема. Пусть прямые заданы общими уравнениями: 1 1 1 1 2 2 2 2 L : A x B y C 0, L : A x B y C 0 . Тогда: 1) если 1 1 1 2 2 2 A B C A B C , то прямые совпадают, и система уравнений 1 1 1 2 2 2 A x B y C 0 A x B y C 0 (4) имеет бесконечное множество решений; 2) если 1 1 1 2 2 2 A B C A B C , то прямые параллельные, и система уравнений (4) не имеет решений; 3) если 1 1 2 2 A B A B , то прямые пересекаются и координаты точки их пе- ресечения являются единственным решением системы уравнений (4). |