АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 18 из 44

Пример 4.
Разложить многочлен
5 4
3 2
x x
x x
x 1



  на неприво- димые множители над полем действительных чисел.
Решение. Воспользуемся результатами предыдущего примера. В при- мере 3, мы получили разложение
6 2
2
x
1 (x 1)(x x 1)(x 1)(x x 1)
 

 

  , откуда находим
6 5
4 3
2 2
2
x
1
x x
x x
x 1
(x 1)(x x 1)(x x 1)
x 1




  


 
 

Ответ:
5 4
3 2
2 2
x x
x x
x 1 (x 1)(x x 1)(x x 1)



  

 
  .
Пример 5.
Разложить степенной двучлен
5
x
1
 на неприводимые множители над полем действительных чисел.
Решение. Вычислим все корни 5-й степени из 1. Имеем,
2 3
4 5
1 {1, , , , }

    , где
2 2
cos isin
5 5


 

. Легко видеть, что корни

и
4
 комплексно сопряженные, т.е.
4
  
. Аналогично,
3 2
   .
Разложение на линейные множители имеет вид:
5 2
2
x
1 (x 1)(x
)(x
)(x
)(x
)
 

 
 
 
 
Перемножая линейные множители с комплексно сопряженными кор- нями, получаем:
5 2
2 2
2 2
2
x
1 (x 1)(x
(
)x
)(x
(
)x
)
 

     
   
  
Так как
2
| | 1
     ,
2 2
2 2
|
| 1
   

,
2 2
2 4
2cos
,
2cos
2cos
5 5
5



   
   
 
,

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 13 то
5 2
2 2
x
1 (x 1)(x
2cos x 1)(x
2cos x 1)
5 5






 













Ответ:
5 2
2 2
x
1 (x 1)(x
2 cos x 1)(x
2 cos x 1)
5 5






 













Пример 6.
Найти все корни 3-й степени из 1, изобразить их на ком- плексной плоскости, и построить для них таблицу умножения.
Решение. Обозначим для простоты
1 2
2 1
3
cos sin i
3 3
2 2


   

  
Тогда
2 3
1 {1, , }

  , где
3 1
  .
Изобразим все корни третьей степени из 1 на комплексной плоскости.
Т.к. их модуль равен 1, то все они лежат на тригонометрической (т.е. единичной) окружности:
Рис. 4
Здесь,
2 2
4
arg
, arg
3 3


 
 
. Заполняем таблицу Кэли (таблицу ум- ножения):
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1

 
 

 



Таблица 1
Здесь,
2 2
4 3
1
           .
Ответ:
3 1
3 1 {1,
i
}
2 2

 
, рисунок 4 и таблица 1.
2


o
1
  х
у
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 14
Пример 7.
Найти значение функции Эйлера
(n)

для чисел: а) n 15

; б) n 7

; в) n 18

Решение. а)
15 3 5
 
– разложение числа в произведение простых множителей. Применяя формулу вычисления функции Эйлера, полу- чаем
1 1
(15) 15 1 1
2 4 8 3
5







  






б) Если число n p
 – простое число, то (p) p 1

  . Отсюда следует, что
(7) 6

 . в) Функция Эйлера обладает свойством мультипликативности, т.е. ес- ли числа n и m взаимно простые, то
(n m)
(n) (m)
 
 

Отсюда следует, что
(18)
(2) (9) (2 1) (9)
(9)

 

  
 
Воспользуемся формулой
2 2
(p ) p p


 , где р – простое число. Получаем
2 2
(9)
(3 ) 3 3 6

 

  .
Ответ:
(15) 8, (7) 6, (18) 6

 
 
 .
Пример 8.
Найти все первообразные корни 12-й степени из 1 и запи- сать круговой многочлен
12
Ф (x) .
Решение. Во-первых, число первообразных корней 12-й степени из 1 равно
2 2
(12)
(2 ) (3) (2 2)(3 1) 4

 



  .
Во-вторых, выпишем все корни 12-й степени из 1: k
{ }
 , где k {0,1,...,11}

,
2 2
3 1
cos isin cos isin i
12 12 6
6 2
2




 





Первообразными корнями являются корни k
 , для которых н.о.д.(k,12) 1
 , т.е.
5 7
5 11
, ,
,
       
или
3
i
3
i
,
2 2
2 2













,

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 15 где
5 5
5 3
1
cos isin i
6 6
2 2


 

 

. Вычисляем круговой многочлен
5 5
12
Ф (x) (x
)(x
)(x
)(x
)
 
 
 
  

2 2
5 5
5 5
(x
(
)x
)(x
(
)x
)

      
   
   
2 2
2 2
2
(x
3x 1)(x
3x 1) (x
1)
( 3x)




 



4 2
x x
1


 .
Ответ:
4 2
12 3
i
, Ф (x) x x
1 2
2















Пример 9.
Найти значение функции Мёбиуса (n)

для чисел: а) n 15

; б) n 7

; в) n 18

Решение. Ответ следует из определения функции Мёбиуса.
Ответ:
2
(15) ( 1)
1, (7)
1, (18) 0

 


  
 .
Пример 10.
Разложить степенной двучлен
12
x
1
 на неприводимые множители над полем рациональных чисел.
Решение. 1-й способ. Воспользуемся формулой
1 2
n d
d d
x
1 Ф (x)Ф (x)...Ф (x)

 
, где
1 2
d , d ,...,d

– все делители (положительные) числа n. Делители числа 12 суть числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12, следовательно,
12 1
2 3
4 6
12
x
1 Ф (x)Ф (x)Ф (x)Ф (x)Ф (x)Ф (x)
 
По этой же формуле, имеем
1
x 1 Ф (x)
 
,
2 1
2 2
x
1 Ф (x)Ф (x) (x 1)Ф (x)
 


, откуда находим
2
Ф (x) x 1
  . Далее,
3 1
3 3
x
1 Ф (x)Ф (x) (x 1)Ф (x)
 


, откуда
3 2
3
x
1
Ф (x)
x x 1
x 1



 

Далее,
4 1
2 4
4
x
1 Ф (x)Ф (x)Ф (x) (x 1)(x 1)Ф (x)
 



,
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 16 4
2 2
2 4
2
x
1
(x
1)(x
1)
Ф (x)
x
1
(x 1)(x 1)
x
1










И, наконец,
6 1
2 3
6
x
1 Ф (x)Ф (x)Ф (x)Ф (x)
 

2 3
6 6
(x 1)(x 1)(x x 1)Ф (x) (x 1)(x
1)Ф (x)



 



,
6 3
2 6
3
x
1
x
1
Ф (x)
x x 1
(x
1)(x 1)
x 1





 



Многочлен
4 2
12
Ф (x) x x
1


 найден в примере 8. В результате по- лучаем:
12 2
2 2
4 2
x
1 (x 1)(x 1)(x x 1)(x
1)(x x 1)(x x
1)
 


 

 

 .
2-й способ. Воспользуемся формулой
1 2
1 2
n n
n d
d d
d d
d n
Ф (x) (x
1)
(x
1)
...(x
1)

































, где
1 2
d , d ,...,d

– все делители числа n. Получаем:
(1)
1
Ф (x) (x 1)
x 1



  ,
2 2
2 1
2 1
2 2
Ф (x) (x 1)
(x
1)
(x 1) (x
1) x 1
 
 


 
 

 
 





  
,
(3)
3
(1)
1 3
2 3
Ф (x) (x 1)
(x
1)
(x 1) (x
1) x x 1








 
  ,
(4)
2
(2)
4
(1)
4
Ф (x) (x 1)
(x
1)
(x
1)








0 2
1 4
2
(x 1) (x
1) (x
1) x
1




 

(6)
2
(3)
3
(2)
6
(1)
6
Ф (x) (x 1)
(x
1)
(x
1)
(x
1)










2 1
3 1
6 2
(x 1)(x
1) (x
1) (x
1) x x 1






 
  .
(12)
2
(6)
3
(4)
4
(3)
12
Ф (x) (x 1)
(x
1)
(x
1)
(x
1)










6
(2)
12
(1)
0 2
3 0
(x
1)
(x
1)
(x 1) (x
1)(x
1)










2 12 6
4 1
6 1
12 4
6 2
(x
1)(x
1)
x
1
(x
1) (x
1) (x
1)
(x
1)(x
1)
x
1








 





2 3 4
2 2
(x )
1
x x
1
x
1






Ответ:
12 2
2 2
4 2
x
1 (x 1)(x 1)(x x 1)(x
1)(x x 1)(x x
1)
 


 

 

 .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 17
п.4. Задачи
Задачи для аудиторного решения 14
1. Выпишите формулу корней n-й степени из комплексного числа.
2. Дано: n
z
. а) Найдите
| z | и arg z ; б) Подставьте вычисленные дан- ные в формулу корней n-й степени из комплексного числа z и за- пишите по отдельности каждый корень в тригонометрической фор- ме; в) изобразите все найденные корни на комплексной плоскости. а)
3 8i
 ; б)
3 27i ; в)
3 27 ; г)
6 1
; д)
6 1

3. Вычислить: а)
3 8 24i
3 i


; б)
4 32 9(1 i 3)


4. Разложить на линейные множители многочлен: а)
6
x
1
 ; б)
8
x
1
 .
5. Разложите данные многочлены на неприводимые над R: а)
6
x
1
 ; б)
8
x
1
 .
6. Найдите сумму таких чисел z, что
4
z
3 i

 . Укажите одно из этих чисел.
7. Найдите произведение таких чисел z, что
4
z
1 i 3
 
. Укажите одно из этих чисел.
Задачи повышенного уровня сложности 14
8. Составьте таблицу умножения для группы корней 5-й степени из 1.
9. Разложить на линейные множители многочлен
6
x
64

10. Разложите многочлен
8
x
256

на неприводимые над R множите- ли.
11. Разложите многочлен
4
x
4
 на два квадратных трехчлена с дейст- вительными коэффициентами.
12. Разложить многочлен
4 3
2
x x
x x 1


  на два квадратных трех- члена с действительными коэффициентами.
13. Вычислите значение функции Эйлера (720)

14. Вычислите значение функции Мёбиуса (840)

15. Найдите степень кругового многочлена
16800
Ф
(x) .
16. Найдите круговой многочлен
9
Ф (x) .
17. Разложите многочлен
9
x
1
 на неприводимые над Q.
18. Не вычисляя корней уравнения
2
x x 1 0
   , докажите, что его корни являются корнями 3-й степени из 1.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 18 19. Вычислите
142 142 1
z z

, если
1
z
1
z
  .
20. Докажите что сумма всех корней n-й степени из 1 равна нулю.
21. Найдите сумму всех первообразных корней р-й степени из 1, если р – простое число.
22. Найдите сумму 100 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен cos isin
100 100



. Ответ дайте в тригонометрической форме.
Домашнее задание 14. Корни из комплексных чисел
1. Найдите все данные корни и изобразите их на комплексной плоско- сти: а)
4 1 i

; б)
6 1
3i
 
; в)
3 4( 3 i)

; г)
4 4

; д)
4 8( 3i 1)

; е)
3 1 i
 
; ж)
4 18 1 i 3


2. Разложить на линейные множители многочлен: а)
3
x
1
 ; б)
4
x
16
 .
3. Разложите многочлен
10
x
1
 на неприводимые над R.
4*. Найдите круговой многочлен
10
Ф (x) и разложите многочлен
10
x
1
 на неприводимые над Q.
Самостоятельная работа 14
Вариант1.
1. Определение корня n-й степени из комплексного числа.
2. Вычислить все корни
3
i
, записать их в тригонометрической форме и отметить на комплексной плоскости.
3. Разложите многочлен
3
x
1
 на линейные множители.
Вариант2.
1. Определение первообразного корня n-й степени из 1.
2. Вычислить все корни
3
i

, записать их в тригонометрической фор- ме и отметить на комплексной плоскости.
3. Разложите многочлен
3
x
1
 на линейные множители.
Вариант3.
1. Определение функции Эйлера.
2. Вычислить все корни
4
i
, записать их в тригонометрической форме и отметить на комплексной плоскости.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 19 3. Разложите многочлен
4
x
16
 на линейные множители.
Вариант4.
1. Определение кругового многочлена n
Ф (x) .
2. Вычислить все корни
4
i

, записать их в тригонометрической фор- ме и отметить на комплексной плоскости.
3. Разложите многочлен
4
x
1
 на линейные множители.
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 14
Обозначения
1. Обозначение корней n-й степени из комплексного числа.
2. Обозначение корней n-й степени из 1.
3. Обозначение функции Эйлера.
4. Обозначение функции Мёбиуса.
5. Обозначение числа положительных делителей натурального числа.
6. Обозначение кругового многочлена.
Определения
1. Определение корня n-й степени из комплексного числа.
2. Определение разложимого и неприводимого (неразложимого) над полем многочлена.
3. Определение первообразного корня n-й степени из 1.
4. Определение кругового многочлена.
5. Определение функции Эйлера.
6. Определение функции Мёбиуса.
Теоремы
1. Формула корней n-й степени из комплексного числа.
2. Формула корней n-й степени из 1.
3. Теорема о разложении степенного двучлена на линейные множите- ли.
4. Разложение степенного двучлена на линейные и квадратичные множители над полем действительных чисел.
5. Основная теорема алгебры и её следствие о количестве корней мно- гочлена.
6. Неприводимые многочлены над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел.
7. Необходимый и достаточный признак первообразного корня из 1.
8. Свойства кругового многочлена.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 20 9. Разложение степенного двучлена на неприводимые множители над полем рациональных чисел.
10. Вычисление кругового многочлена.
Тест 14
1. Найдите все корни
3
i

, запишите их в тригонометрической форме, и изобразите на комплексной плоскости, указав их модули и аргу- менты.
2. Найдите все корни
4 16
 , запишите их в тригонометрической фор- ме, и изобразите на комплексной плоскости, указав их модули и ар- гументы.
3. Найдите все корни
3 1
, запишите их в тригонометрической форме, и изобразите на комплексной плоскости, указав их модули и аргу- менты.
4. Разложите на линейные множители многочлен
3
x
1
 .
5. Разложите степенной двучлен
4
x
1
 на линейные множители.
6. Разложите степенной двучлен
4
x
1
 на неприводимые множители над полем действительных чисел.
7. Найдите все первообразные корни 4-й степени из 1 и составьте для них таблицу умножения.
8. Найдите число первообразных корней 5-й степени из 1.
9. Разложите степенной двучлен
5
x
1
 на неприводимые множители над полем рациональных чисел.
10. Найдите круговой многочлен
10
Ф (x) .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 1
Практическое занятие 15
Скалярное произведение векторов
Краткое содержание: определение и простейшие свойства скалярного произведения, свойство линейности скалярного произведения, скалярное произведение векторов в координатной форме, вычисление модуля вектора и угла между векторами, физический смысл скалярного произведения.
п.1. Теория
п.1.1. Определение и свойства скалярного произведения
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними, и обозначает- ся a b | a | | b | cos(a ^ b)




Определение.
Скалярное произведение вектора на себя называется его скалярным квадратом, и обозначается
2
a a a


Теорема.
(Простейшие свойства скалярного произведения.)
1) Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:
S
a, b V
a b b a


  
2) Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортого- нальны: a b 0
(a 0) (b 0) (a b)
  
 
 

3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
2 2
a
| a |

4). Скалярное произведение двух векторов равно произведению моду- ля одного из векторов на проекцию на него другого вектора: b
a a b | b | пр a | a | пр b
 



Теорема.
(Свойство линейности скалярного произведения.)
1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов (свойство аддитивности по каждому из двух аргументов):
S
a, b, c V
(a b) c a c b c


     
, a (b c) a b a c
      .
2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произ-
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 2
ведения (свойство однородности по каждому из двух аргументов):
S
a, b V ,
R (
a) b a ( b)
(a b)


 
        
п.1.2. Скалярное произведение векторов в координатной форме