АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Теорема. (Формула корней n-й степени из комплексного числа.) Для любого ненулевого комплексного числа z | z | (cos isin ) , где arg z , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле n k 2 k 2 k | z | cos isin n n , где k {0,1, ..., n 1} , n | z | – арифметический корень n-й степени из положительного числа | z | . Из теоремы следует, что n o 1 n 1 z { , ,..., } , где n k k k k 2 k | z | cos isin , , k {0,1, ..., n 1} n . Заметим, что k 1 k 2 (k 1) 2 n n , откуда следует, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию с первым членом o n и разностью прогрессии 2 n п.1.2. Расположение корней n-й степени из комплексного числа на комплексной плоскости Любое комплексное число можно изобразить точкой на комплексной плоскости. Так как модуль у всех корней одинаковый, то на ком- плексной плоскости они удалены от начала координат на одинаковое расстояние. Отсюда делаем вывод, что все корни на комплексной плоскости изображаются точками, лежащими на окружности радиуса n | z | с центром в начале координат. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 2 Так как аргументы корней образуют арифметическую прогрессию, то угол между двумя соседними точками одинаковый. Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются на окружности равномерно, и ес- ли соединить все соседние точки отрезками прямой, то получим пра- вильный n-угольник. Рис. 1 Замечание. При изображении корней на комплексной плоскости око- ло точки, с которой отождествляется корень проставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые. п.1.3. Корни n-й степени из 1 Пусть n 1 – натуральное число. По формуле корней из комплексного числа, существует ровно n корней из комплексного числа z 1 i 0 1 . Для вычисления этих корней запишем единицу в триго- нометрической форме: 1 cos0 isin 0 Обозначим все множество корней через n T . По формуле корней полу- чаем: n n o 1 n 1 T 1 { , , ..., } , где k 2 k 2 k cos isin , k {0,1, ..., n 1} n n . В частности, 2 n n 2 1 k k n 1 o у х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 3 o cos0 isin 0 1 , 1 2 2 cos isin n n Заметим, что k {0,1, ..., n 1} верна формула: k k 1 . Действительно, по формуле Муавра: k k 1 k 2 2 2 2 cos isin cos k isin k n n n n Теперь мы все множество корней из 1 можем записать так: o 2 n 1 n 1 1 1 1 T { 1, , , ..., } Теорема. Множество всех корней из 1 является группой относительно умножения. п.1.4. Разложение степенного двучлена n x 1 над полем ком- плексных и над полем действительных чисел Определение. Многочлен вида n x a , где х – переменная, а – кон- станта, n 1 – натуральное число, называется степенным двучленом. Многочлен вида x a называется линейным двучленом. Теорема. (Разложение степенного двучлена n x 1 на линейные мно- жители.) Пусть n – натуральное число. Тогда n 1 n 1 x 1 (x 1) (x ) ... (x ) , где 1 n 1 1, , ..., – все корни n-й степени из 1. Замечание. Последнее равенство называется также разложением сте- пенного двучлена n x 1 на неприводимые множители над полем ком- плексных чисел. Понятие неприводимого многочлена смотрите далее в пункте 1.5. Теорема. Пусть 1 n 1 1, , ..., – все корни n-й степени из 1 и k {1, ..., n 1} . Если n 2k , то k и n k являются комплексно со- пряженными, т.е. n k k . Если n – четное число, тогда n 2 1 . Из разложения степенного двучлена n x 1 на линейные множители Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 4 возьмем два линейных множителя с комплексно сопряженными кор- нями, и перемножим их: 2 k k k k k k (x )(x ) x ( )x 2 2 k x 2cos x 1 n Перемножая попарно линейные множители, содержащие комплексно сопряженные корни, получаем разложение степенного двучлена n x 1 на линейные и квадратичные множители с действительными коэффи- циентами: а) если n – нечетное число, то n 1 1 n 1 n 1 2 2 x 1 (x 1)(x )(x )...(x )(x ) 2 2 2 (n 1) (x 1)(x (2cos )x 1)...(x (2cos )x 1) n n , где число квадратичных множителей равно n 1 2 ; b) если n – четное число, то n 1 1 n 2 n 2 2 2 x 1 (x 1)(x 1)(x )(x )...(x )(x ) (x 1)(x 1) 2 2 2 (n 2) (x (2cos )x 1)...(x (2cos )x 1) n n , где число квадратичных множителей равно n 2 2 Замечание. Это разложение степенного двучлена n x 1 на множите- ли называется разложением на неприводимые множители над полем действительных чисел. Аналогично раскладываются на неприводимые над R множители степенные двучлены вида n x a , где a R Теорема. n 1 n 2 1 n 1 x x ... x 1 (x ) ... (x ) , где 1 n 1 , ..., – все корни n-й степени из 1, кроме 1. Теорема сразу же следует из равенства Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 5 n 2 n 1 x 1 1 x x ... x x 1 , которое становится очевидным, если мы рассмотрим данный много- член как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Из последней теоремы следует, что разложение многочлена n 1 n 2 x x ... x 1 на неприводимые множители проводится по той же схеме, что и разложение степенного двучлена. п.1.5. Разложение многочлена на неприводимые множители, про- стые и кратные корни многочлена Теорема. (Основная теорема алгебры.) Любой многочлен степени n 1 с действительными или комплексными коэффициентами раскла- дывается над полем комплексных чисел на линейные множители. Следствие. Любой многочлен над полем комплексных чисел имеет столько корней, какова его степень. Определение. Многочлен f(x) степени n 1 с коэффициентами из по- ля K называется неприводимым (неразложимым) над полем K, если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов с ко- эффициентами из поля K и степенями не меньше 1. В противном слу- чае, многочлен называется разложимым над полем К. Теорема. Единственными неприводимыми многочленами над полем комплексных чисел являются многочлены 1-й степени и только они. Теорема. Единственными неприводимыми многочленами над полем действительных чисел являются линейные многочлены и квадратные трехчлены с отрицательными дискриминантами и только они. Теорема. Пусть многочлен f(x) степени n 1 с коэффициентами из поля K имеет в этом поле корень c K . Тогда справедливо следую- щее равенство r f (x) (x c) g(x) , где g(x) – многочлен с коэффициентами из поля K и с не является его корнем, т.е. g(c) 0 , r – натуральное число. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 6 Определение. В условиях предыдущей теоремы, число r называется кратностью корня с, а сам корень с многочлена f(x) называется крат- ным корнем кратности r, если r 1 , и называется простым корнем, ес- ли r 1 . Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z x iy , то комплексно сопряженное ему число z x iy также является корнем этого многочлена. Теорема. Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде: 1 m r r n 1 m f (x) a (x x ) ...(x x ) t 1 k k 2 2 1 1 t t (x p x q ) ...(x p x q ) , где 1 2 m x , x , ..., x R – все различные действительные корни многочле- на f (x) , m – их число, 1 2 k r , r , ..., r N – их кратности, t – число квад- ратных трехчленов с действительными коэффициентами 1 1 t t p ,q ,...,p ,q R и отрицательными дискриминантами, 1 2 t k , k , ..., k N – кратности соответствующих комплексных корней, n a 0 – старший коэффициент многочлена f (x) , n – его степень. Замечание. Так как коэффициенты многочлена f(x) предполагаются действительными, то его разложение на линейные множители будет иметь вид: 1 m r r n 1 m f (x) a (x x ) ...(x x ) t t 1 1 k k k k 1 1 t t (x z ) (x z ) ...(x z ) (x z ) , где 1 2 m x , x , ..., x R – все различные действительные корни многочле- на f (x) , m – их число, 1 2 k r , r , ..., r N – их кратности, 1 1 t t z , z , ..., z , z C – все различные комплексно сопряженные корни многочлена f (x) , t – число пар всех различных комплексно сопря- женных корней, 1 2 t k , k , ..., k N – их кратности, n a 0 – старший ко- эффициент многочлена f (x) , n – его степень. Осталось попарно пере- множить линейные множители, содержащие комплексно сопряжен- ные корни. Заметим еще, что линейных множителей может и не быть вовсе. Тогда m 0 и многочлен не имеет действительных корней. Анало- гично, многочлен может не иметь комплексных корней, тогда t 0 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 7 Очевидно, что для многочлена f (x) с действительными коэффициен- тами справедлива формула: deg f (x) n m 2t , где m и 2t число, со- ответственно, его действительных и комплексных корней. Следствие.__Любой_многочлен_нечетной_степени_с_действительными_коэффициентами_имеет_хотя_бы_один_действительный_корень._п.1.6*._Первообразные_корни_из_1_Определение.'>Следствие. Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. п.1.6*. Первообразные корни из 1 Определение. Пусть n натуральное число. Функцией Эйлера (n) на- зывается количество чисел в множестве {0,1, ..., n 1} , взаимно про- стых с числом n. Теорема. Пусть 1 2 m p ,p ,...,p – все различные простые множители на- турального числа n. Тогда 1 2 m 1 1 1 (n) n 1 1 ... 1 p p p Определение. Корень n-й степени из 1 называется первообразным корнем n-й степени из 1, если он не является корнем из 1 меньшей, чем n степени. Теорема. Корень n-й степени из 1 k 2 k 2 k cos isin , k {0,1, ..., n 1} n n , является первообразным корнем n-й степени из 1 тогда и только тогда, когда его номер k является числом взаимно простым со степенью кор- ня n, т.е. когда н.о.д.(k,n) 1 , и дробь k n является несократимой. Следствие. Количество первообразных корней n-й степени из 1 равно (n) Определение. Пусть n натуральное число и 1 2 m , ,..., – все перво- образные корни n-й степени из 1, где m (n) . Многочлен n 1 2 m Ф (x) (x )(x )...(x ) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 8 называется многочленом деления круга или круговым многочленом. Теорема. (Свойства кругового многочлена.) Для любого натурального числа n все коэффициенты кругового многочлена n Ф (x) являются це- лыми числами, его старший коэффициент равен 1, и его степень равна (n) . Круговой многочлен n Ф (x) является неприводимым многочле- ном над полем рациональных чисел. Теорема. (Разложение степенного двучлена на неприводимые множи- тели над полем рациональных чисел.) Пусть 1 2 d , d ,...,d – все положи- тельные делители натурального числа n. Тогда 1 2 n d d d x 1 Ф (x)Ф (x)...Ф (x) Определение. Пусть n натуральное число. Функцией Мёбиуса (n) называется число, определяемое по правилу: 1) (1) 1 ; 2) (n) 0 , если число n делится на целое число 2 d 1 ; 3) k (n) ( 1) , если 1 2 k n p p ...p , где 1 2 k p ,p ,...,p – все различные про- стые множители числа n. Теорема. Пусть 1 2 d , d ,...,d – все положительные делители натураль- ного числа n. Тогда 1 2 1 2 n n n d d d d d d n Ф (x) (x 1) (x 1) ...(x 1) Замечание. Количество всех положительных делителей натурального числа n обозначается (n) и оно может быть вычислено по формуле: 1 2 m (n) (k 1)(k 1)...(k 1) , где целые неотрицательные числа 1 2 m k ,k ,...k берутся из каноническо- го разложение числа n в произведение простых множителей: 1 2 m k k k 1 2 m n p p ...p Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 9 п.2. Список задач Список №1 1. Найти все корни данной степени из данного комплексного числа, и изобразить их на комплексной плоскости. 2. Разложить данный степенной двучлен n x 1 на линейные множите- ли. 3. Разложить данный степенной двучлен n x 1 на неприводимые множители над полем действительных чисел. Список №2 1. Составить таблицу умножения для группы корней n-й степени из 1. 2. Разложить данный степенной двучлен n x a на неприводимые множители над полем комплексных и полем действительных чисел. 3. Вычислить значение функции Эйлера (n) для данного натураль- ного числа n. 4. Найти все первообразные корни n-й степени из 1. 5. Найти для данного натурального числа n его круговой многочлен n Ф (x) . 6. Для данного натурального числа n вычислить значение функции Мёбиуса и число его делителей. 7. Найти для данного натурального числа n все его положительные делители и разложить степенной двучлен n x 1 в произведение круговых многочленов. Иначе говоря, разложить степенной дву- член n x 1 на неприводимые множители над полем рациональных чисел. п.3. Примеры Пример 1. Вычислить 3 1 i Решение. Запишем число z 1 i в тригонометрической форме за- писи: 3 3 z 2(cos isin ) 4 4 . Тогда 3 o 1 2 1 i { , , } , где 3 k 3 3 2 k 2 k 4 4 2 cos isin 3 3 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 10 6 2 k 2 k 2 cos isin 4 3 4 3 , k 0,1, 2 Ответ: 3 o 1 2 1 i { , , } , где 6 o 2 cos isin 4 4 , 6 1 11 11 2(cos isin ) 12 12 , 6 2 19 19 2(cos isin ) 12 12 Пример 2. Изобразить все корни 3 1 i на комплексной плоскости. Решение. Корни уже найдены в примере 1. Изображаем координатные оси, проводим окружность радиуса 6 2 с центром в начале координат и отмечаем на ней точки полярный угол которых равен: o 1 2 11 19 , , 4 12 12 Соединим построенные точки отрезками прямых и получаем пра- вильный треугольник. Смотрите рисунок 2. Рис. 2 Пример 3. Разложить степенной двучлен 6 x 1 на линейные множи- тели. Решение. 1-й способ. Вычислим все корни 6-й степени из 1. Имеем, 2 3 4 5 6 1 {1, , , , , } , где 2 2 1 3 cos isin cos isin i 6 6 3 3 2 2 2 19 12 1 11 12 o 4 х у 6 2 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 11 Рис. 3 Вычисляя остальные корни по формуле k k k k cos isin cos isin 3 3 3 3 , k 2, 3, 4, 5 , получаем (смотрите рисунок 3): 2 2 2 1 3 cos isin i 3 3 2 2 ; 3 cos isin 1 ; 4 2 4 4 1 3 cos isin i 3 3 2 2 ; 5 1 3 i 2 2 . Отсюда, 6 2 2 x 1 (x 1)(x 1)(x )(x )(x )(x ) 1 3 1 3 1 3 1 3 (x 1)(x 1) x i x i x i x i 2 2 2 2 2 2 2 2 2-й способ. Разложим многочлен 6 x 1 по формуле разности квадра- тов: 6 3 2 3 3 x 1 (x ) 1 (x 1)(x 1) . Воспользуемся формулами сокращенного умножения – разности и суммы кубов: 6 3 3 2 2 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x x 1)(x 1)(x x 1) . Решая квадратные уравнения 2 x x 1 0 и 2 x x 1 0 , находим корни соответствующих многочленов: 1,2 3,4 1 3 1 3 x i , x i 2 2 2 2 , откуда находим разложение квадратных трехчленов на линейные множители. у 5 4 2 3 1 2 1 х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 12 Ответ: 6 1 3 1 3 x 1 (x 1)(x 1) x i x i 2 2 2 2 1 3 1 3 x i x i 2 2 2 2 |