АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Пример 5. Найти координаты вектора AB , если А(1; –3; 12), В(–2; 11; 9). Решение. Воспользуемся правилом нахождения координат вектора: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 9 B A B A B A AB (x x ; y y ; z z ) ( 3;14; 3) Ответ: AB ( 3;14; 3) . Пример 6. Найти координаты вектора 3a 2b , если a (5; 1; 3), b (2;7; 5) . Решение. 5 2 15 4 11 3a 2b 3 1 2 7 3 14 11 3 5 9 10 1 Ответ: 3a 2b (11;11;1) Пример 7. Найти расстояние между точками А(0; 1; –9) и В(–7; 7: –3). Решение. Вычисляем по формуле: 2 2 2 B A B A B A 2 2 2 AB (x x ) (y y ) (z z ) ( 7) (7 1) ( 3 9) 49 36 36 11 Ответ: 11. Пример 8. Найти отношение, в котором точка С(2; 4; 5) делит отрезок АВ, если А(0; 1; 9) и В(–2; –2;13). Решение. Воспользуемся формулой: C C A C A C A AB B C B C B C x x y y z z x x y y z z Заметим, что если данные точки не лежат на одной прямой, то одно из двух равенств в формуле не выполняется: C A C A B C B C x x y y x x y y или C A C A B C B C y y z z y y z z Подставляем данные координаты в формулу: C AB 2 0 4 1 5 9 2 2 2 4 13 5 или C AB 1 2 . Одновременно мы убедились в том, что точки А, В и С находятся на одной прямой. Ответ: C AB 1 2 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 10 п.3. Задачи Задачи для аудиторного решения 10 1. Постройте в ПДСК Oxyz точку А(4; 3; 5) и её проекции на коорди- натные оси и координатные плоскости, и найти их координаты. 2. Найдите расстояния от точки В(4; 3; –5) до координатных плоско- стей и координатных осей. 3. Найдите координаты точек, симметричных точке М(5; 4; – 2) отно- сительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. 4. Найдите проекции радиус-вектора точки А(1; 2; 5) на координатные оси, и запишите его в координатной форме. 5. Найдите модуль и направляющие углы радиус-вектора точки А(2; – 1; –2). 6. Найдите модуль и направляющие косинусы вектора a ( 7; 6;6) 7. Найдите орт вектора a ( 6;2; 3) . 8. Найдите проекции вектора на координатные оси, если его модуль равен 2, и известны его направляющие углы: o o o 45 , 120 , 60 . Запишите этот вектор в координатной форме. 9. Найдите координаты вектора, если его модуль равен 2 , направ- ляющие углы o o 45 , 135 , и известно, что направляющий угол – острый. 10. Найдите координаты вектора, если точка А(–2; –13; 19) является его началом, а точка В(–11; –9; 23) – его концом. 11. Найдите координаты вектора с 5a 2b , если a ( 1;1; 2) , b (3; 4;5) 12. Найдите длины сторон треугольника с вершинами А(2; 2; –2), В(3; –1; –3), С(–3; 6; 1), и длину его медианы, проведенной из вершины А. 13. На прямой, проходящей через точки А(2; 5; –2) и В( –1; 3; –4), найдите точку, которая делит отрезок АВ в отношении 4 7 , считая от точки А. 14. Убедитесь, что точки А(1; –1; 0), В(0; 1; 3) и С(–2; 5; 9) лежат на одной прямой, и найдите отношение, в котором точка А делит от- резок ВС, считая от точки В. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 11 Задачи повышенного уровня сложности 10 15. Даны вершины треугольника А(1; 2; –1), В(2; –1; 3) и С(–4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В. 16. На отрицательной полуоси абсцисс найти точку В, расстояние от которой до точки А(–1; 4; 8) равно 12. 17. Даны две вершины А(2; –3; –5) и В(–1; 3; 2) параллелограмма АВСД и точка пересечения его диагоналей К(4; –1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма. 18. Прямая проходит через точки А(–1; 6; 6) и В(3; –6; –2). Найти точ- ки ее пересечения с координатными плоскостями. 19. Ребро куба равно 1. Найти длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер. 20. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер правильного тетраэдра, пересекаются в одной точке и делят- ся в ней пополам. 21. Докажите, что в произвольном треугольнике АВС вектор o o AB AC лежит на биссектрисе угла ВАС. Домашнее задание 10. ПДСК в пространстве 1. Найти центр сферы радиуса 3, которая касается всех трех коорди- натных плоскостей и расположена: а) в первом октанте; б) в шес- том октанте. 2. Даны точки: А(3; –2; 5), В(–2; 1; –3), С(5; 1; –1). а) Запишите векторы AB, AC, BC в координатной форме и найдите их орты o o o AB , AC , BC . б) Найдите координаты вектора 1 (AB AC) 2 и его модуль. в) Найдите модуль и направляющие косинусы вектора AM , где точка М делит отрезок ВС в отношении 2 : 1. 3. Вектор имеет направляющие углы o 120 и o 45 . Каков тупой угол между этим вектором и осью ординат? Самостоятельная работа 10 Вариант 1. 1. Определение координат вектора. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 12 2. Найдите проекции радиус-вектора точки А(3; 5; 1) на координатные оси. 3. Найдите расстояние от точки А(3; 5; 1) до: а) координатной плоско- сти Oxz; б) координатной оси Оу; в) начала координат. Вариант 2. 1. Определение орта вектора. 2. Найдите координаты радиус-вектора точки А(5; 1; 3). 3. Найдите расстояние от точки А(5; 1; 3) до: а) координатной плос- кости Oуz; б) координатной оси Ох; в) начала координат. Вариант 3. 1. Определение правоориентированной тройки взаимно перпендику- лярных осей. 2. В координатном пространстве Oxyz точки А(2; –3; 5) и В(3; –1; 2) являются вершинами параллелограмма ОАВС. Найдите: а) коорди- наты вершины С; б) длину медианы ОD треугольника ОАВ. Вариант 4. 1. Определение координат точки в ПДСК Охуz. 2. В координатном пространстве Oxyz точки В(3; –1; 2) и С(1; 2; –3) являются вершинами параллелограмма ОАВС. Найдите: а) коорди- наты вершины А; б) длину медианы ОD треугольника ОВС. п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 10 Обозначения 1. Обозначение и названия координатных осей. 2. Обозначение координатного пространства. 3. Обозначение координат точки в координатном пространстве. 4. Обозначение координат вектора в координатном пространстве. 5. Обозначение координатной формы записи вектора в координатном пространстве. 6. Обозначение координатного пространства с помощью декартовой степени множества действительных чисел. 7. Обозначение направляющих углов вектора в ПДСК. 8. Обозначение орта вектора. Определения 1. Определение ориентации тройки взаимно перпендикулярных коор- динатных осей. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 13 2. Определение координат произвольной точки координатного про- странства. 3. Определение ПДСК в пространстве. 4. Определение радиус-вектора точки. 5. Определение координат вектора. 6. Определение координатной формы записи вектора. 7. Определение направляющих углов вектора. 8. Определение орта вектора. Теоремы 1. Теорема о координатах точки и ее радиус-вектора. 2. Теорема о равенстве векторов. 3. Теорема о действиях с векторами в координатной форме. 4. Теорема о вычислении координат вектора. 5. Формула расстояния между двумя точками координатного про- странства. 6. Теорема о модуле вектора. 7. Теорема о направляющих косинусах вектора. 8. Теорема об орте вектора. 9. Теорема о координатах точки, делящей отрезок. 10. Формулы середины отрезка. Тест 10 1. Постройте в ПДСК Oxyz точку А(1; 2; 3) и её проекции на коорди- натные оси и координатные плоскости, и найти их координаты. 2. Найдите расстояния от точки В( –1; 2; 3) до координатных плоско- стей и координатных осей. 3. Найдите проекции ее радиус-вектора OA на координатные оси, и запишите его в координатной форме, если А(–3; –7; 12). 4. Найдите модуль и направляющие косинусы вектора a (1; 2; 2) . 5. Вектор a имеет направляющие углы o o 60 , 120 ,. Вычислите его направляющий угол (a ^ Oz) , если известно, что он является тупым. 6. Найдите координаты вектора AB , если А(0; –5; 2), В(–1; –3; –3). 7. Найти расстояние от точки А(12; –9; 4) до точки В(–2; 3; –2). 8. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(–3; 1; 2), В(3; 6; 1). Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 14 9. На отрезке АВ найдите точку, которая делит его в отношении 5 : 2, считая от точки А, если А(4; –3; –1), В(–8; 6; –5). 10. Найдите отношение, в котором точка С(6 ; –9;15) делит отрезок АВ, считая от точки А(2; –1; 3), если В(0; 3; –3). 11. Найти координаты орта вектора a (1; 2; 2) . 12. Найдите координаты вектора 3a 4b 2c , если a (1; 2; 2), b (2; 2;1), c (1; 0; 8) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 1 Практическое занятие 11 ГЦТ системы материальных точек и плоских фигур Краткое содержание: ГЦТ системы из двух и более материальных точек, ГЦТ треугольника, трапеции, многоугольника. п.1. Теория п.1.1. ГЦТ системы из двух материальных точек Рассмотрим модель рычажных весов, находящихся в равновесии. Рис. 1 Определение. Упорядоченная пара A (A; m ) , где А – точка, A m – по- ложительное действительное число называется материальной точкой, число A m при этом называется массой этой точки. Определение. Пусть имеется отрезок АВ, концы которого являются материальными точками с массами A m и B m соответственно. Точка С отрезка АВ, для которой выполняется равенство A B m AC m BC , где АС и ВС – длины соответствующих отрезков, называется геомет- рическим центром тяжести (в дальнейшем просто ГЦТ) системы из двух материальных точек. Таким образом, ГЦТ системы из двух материальных точек А и В есть по определению точка С, которая делит отрезок АВ внутренним обра- зом в отношении C B AB A m AC CB m Теорема. (О ГЦТ системы двух материальных точек.) Пусть A A A B B B A(x , y , z ), B(x , y , z ) , – две произвольные материальные точки с массами A m и B m соответственно. Пусть точка C C C C(x , y , z ) явля- A m B m А С В Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 2 ется их ГЦТ. Тогда A A B B A A B B C C A B A B x m x m y m y m x , y m m m m , A A B B C A B z m z m z m m п.1.2. ГЦТ системы из трех и более материальных точек Пусть А, В, С – система из трех материальных точек с массами A B m , m , и С m соответственно. Заменим в этой системе две матери- альные точки, например, А и В материальной точкой D с массой D A B m m m , которая является их ГЦТ. Координаты точки D можно найти по формулам предыдущей теоремы. Теперь у нас осталась сис- тема из двух материальных точек D и С с массами D A B m m m и С m соответственно. Обозначим через F их ГЦТ. Координату точки F опять можно найти по выше приведенным формулам, зная координа- ты точек D и С. Точка F называется ГЦТ системы из трех материаль- ных точек А, В и С. Вообще ГЦТ системы из n ( n 3 ) материальных точек определяется индукцией по их количеству. Определение. ГЦТ системы из n ( n 3 ) материальных точек 1 2 n A , A , ..., A с массами 1 2 n m , m , ..., m называется ГЦТ системы из двух материальных точек: В и n A с массами B 1 2 n 1 m m m ... m и n m соответственно, где В – ГЦТ системы из (n – 1)-й материальных точек 1 2 n 1 A , A , ..., A Теорема. (О ГЦТ системы из n материальных точек.) Пусть 1 1 1 1 n n n n A (x , y , z ), ..., A (x , y , z ) – система из n ( n 2 ) материальных точек с массами 1 n m , ..., m соответственно и С является их ГЦТ. Тогда 1 1 2 2 n n C 1 2 n x m x m ... x m x m m ... m , 1 1 2 2 n n C 1 2 n y m y m ... y m y m m ... m , 1 1 2 2 n n C 1 2 n z m z m ... z m z m m ... m Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 3 п.1.3. ГЦТ треугольника Пусть АВС треугольник, который мы будем рассматривать как тре- угольную пластинку, выполненную из однородного материала, тол- щиной которой мы пренебрегаем. Известно, что центром тяжести та- кой пластинки является точка пересечения медиан. Определение. Точка пересечения медиан треугольника называется ГЦТ этого треугольника. Теорема. ГЦТ системы из трех материальных точек с равными мас- сами совпадает с ГЦТ треугольника с вершинами в данных точках, и координаты которого можно вычислить по формулам: A B C A B C A B C F F F x x x y y y z z z x , y , z 3 3 3 п.1.4. ГЦТ трапеции Разобьем трапецию ABCD на два треугольника АВС и ACD. (Смотри- те рисунок 2.) Рис. 2. Найдем центры тяжести обоих треугольников. Пусть Е – центр тяже- сти треугольника АВС, F – центр тяжести треугольника ACD. Помес- тим в точку Е массу, численно равную площади треугольника АВС: E 1 m BC h 2 , где h – высота трапеции. В точку F помещаем массу, численно равную площади треугольника ACD: F 1 m AD h 2 . Обо- значим a AD длину нижнего основания, b BC длину верхнего основания. Тогда E bh m 2 , F ah m 2 . Теперь ГЦТ трапеции совпадает с ГЦТ системы из двух материальных точек Е и F: E b а h С В D А F Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 4 E F E E F F E F E F bh ah x x x m x m bx ax 2 2 x bh ah m m a b 2 2 По аналогичным формулам находятся остальные координаты ГЦТ трапеции. п.1.5. ГЦТ многоугольника Разбиваем данный многоугольник на треугольники и находим их цен- тры тяжести. В центр тяжести каждого треугольника помещаем массу, равную массе треугольника. Так как многоугольник однородный, то его масса пропорциональна его площади. Можно положить удельную плотность равную 1 и считать, что масса любой плоской однородной фигуры численно равна ее площади. Таким образом, в центр тяжести каждого треугольника помещаем массу, численно равную площади треугольника. В результате получаем несколько материальных точек с известными координатами и массами. Осталось применить соответст- вующие формулы для вычисления координат ГЦТ системы из n мате- риальных точек. п.2. Список задач Список №1 1. Найти ГЦТ системы из двух материальных точек. 2. Найти ГЦТ однородного стержня. 3. Найти ГЦТ стержня, составленного из двух однородных стержней. 4. Найти ГЦТ системы из трех материальных точек. 5. Найти ГЦТ однородного треугольника. Список №2 1. Найти ГЦТ выпуклого четырехугольника. 2. Найти ГЦТ многоугольника. п.3. Примеры Пример 1. Найти ГЦТ системы из материальных точек А(3; 5; –1) и В(–3; –4; 8), с массами A m 1 и B m 2 соответственно. Решение. Пусть С – искомый ГЦТ. Тогда Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 5 A A B B C A B x m x m 3 6 x 1 m m 3 , A A B B C A B y m y m 5 8 y 1 m m 3 , A A B B C A B z m z m 1 16 z 5 m m 3 Ответ: С(–1; –1; 5). Пример 2. Найти ГЦТ однородного стержня, если известны коорди- наты его концов: (–3; 8; –3) и (1; 4; –5). Решение. ГЦТ однородного стержня находится в его середине. Ответ: (–1; 6; –4). Пример 3. Найти ГЦТ стержня, если он составлен из двух стержней длины 3 и 4 соответственно, и известно, что масса короткого стержня в 3 раза больше массы более длинного стержня. Решение. Введем систему координат. Допустим, что стержень лежит на оси Ох, где начало координат совпадает с местом стыка обоих стержней. Смотрите рисунок 3. Рис. 3 Обозначим через m массу длинного стержня, тогда масса короткого стержня равна 3m. Заменим короткий стержень на материальную точ- ку (С, 3m), где С – его ГЦТ , который находится в середине короткого стержня, Поэтому точка С имеет на оси Ох координату C x 1,5 Аналогично поступим с длинным стержнем, заменяя его на матери- альную точку D(2) и массой m. Тогда ГЦТ составного стержня будет совпадать с ГЦТ системы из двух материальных точек С(–1,5) и D(2) с массами 3m и m соответственно. Обозначим искомый ГЦТ буквой F. Тогда C C D D F C D x m x m 1,5 3m 2m 2,5 5 x m m 4m 4 8 Ответ: ГЦТ составного стержня находится на коротком стержне, на расстоянии 0,625 от места стыка стержней. В(4) А(–3) О х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 11, с.11 6 |