АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Задачи повышенного уровня сложности 9 15. Определить координаты точки М в косоугольной системе коорди- нат с координатным углом 6 , если расстояние ее от осей коорди- нат равны соответственно 1 и 1,5. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 14 16. Определить координаты вершин правильного шестиугольника со стороной 1, если за оси координат принять две его смежные сторо- ны, так, что вершина противолежащая началу координат, имеет по- ложительные координаты. 17. Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся коорди- натных осей. Определить ее центр и радиус. 18. Даны три точки А(1; –1), В(3; р) и С(4; 5). При каком р треуголь- ник АВС прямоугольный? (ответ: 11 2; ; 2 11 2 ) 19. Даны две смежные вершины квадрата А(2; –1) и В(–1; 3). Найти координаты двух его других вершин. 20. Прямая линия отсекает на оси Ох отрезок OA 4 и на оси Оу от- резок OB 7 . Найти координаты основания перпендикуляра, опу- щенного из начала координат на данную прямую. 21. Сторона ромба равна 5 2 , две его противоположные вершины имеют координаты (4; 9) и (–2; 1). Докажите, что этот ромб являет- ся квадратом. 22. В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3) и С(6; –5) найти дли- ну биссектрисы внутреннего угла В. 23. Покажите, что точки А(–3; 8), В(1; 5) и С(4; 1) могут служить тре- мя вершинами ромба ABCD (или ABDC). а) Используя равенство AB CD , найдите координаты точки D. б) Вычислите площадь этого ромба. Домашнее задание 9. ПДСК на плоскости 1. Найти координаты точки, симметричной точке А(–3; –5) относительно оси абсцисс косоугольной системы коорди- нат с координатным углом o 60 2. В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3) и С(6; –5) найти: а) длину высоты ВD; б) отношение в котором точка D делит отрезок АС и координаты точки D; в) координаты вектора BD и его на- правляющие углы; г) координаты, модуль, орт и направляющие углы вектора 3 CM BA 4 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 15 Самостоятельная работа 9 Вариант 1. 1. Определение угла между векторами. 2. На координатной плоскости Оху даны точки А(–3; 2) и В(1; –1): а) постройте точки А и В на плоскости Оху; б) найдите координаты вектора AB ; в) найдите координаты середины отрезка АВ; г)* докажите, что начало координат не лежит на прямой, проходя- щей через точки А и В. Вариант 2. 1. Определение угла между вектором и осью. 2. На координатной плоскости Оху даны точки А(–1; –1) и В(3; 2): а) постройте точки А и В на плоскости Оху; б) найдите координаты вектора AB ; в) найдите координаты середины отрезка АВ. г)* докажите, что начало координат не лежит на прямой, проходя- щей через точки А и В. Вариант 3. 1. Определение координат вектора в ПДСК на плоскости. 2. Отложите вектор AB (1; 2) от точки А(–2; 1), и: а) постройте чертеж и найдите координаты точки В; б) найдите модуль вектора AB и его направляющие косинусы. Вариант 4. 1. Определение координат точки в ПДСК на плоскости. 2. Отложите вектор AB ( 1; 2) от точки А(2; –1), и: а) постройте чертеж и найдите координаты точки В; б) найдите модуль вектора AB и его направляющие косинусы. п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 9 Обозначения 1. Обозначение угла между векторами, между вектором и осью. 2. Обозначение координат точки М на координатной плоскости Оху. 3. Обозначение координат вектора. 4. Координатная форма записи вектора. 5. Обозначение направляющих углов вектора. 6. Обозначение орта вектора. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 16 Определения 1. Определение угла между двумя векторами. 2. Определение угла между вектором и осью. 3. Определение координатного угла в ДСК на плоскости. 4. Определение абсциссы и ординаты точки координатной плоскости. 5. Определение координат точки координатной плоскости. 6. Определение координатной плоскости. 7. Определение ПДСК на плоскости. 8. Определение радиус-вектора точки координатной плоскости. 9. Определение координат вектора на координатной плоскости. 10. Определение координатной формы записи вектора координатной плоскости. 11. Определение направляющих углов и направляющих косинусов вектора координатной плоскости. 12. Определение орта вектора. Теоремы 1. Теорема о вычислении проекции вектора на ось. 2. Теорема о координатах точки и её радиус-вектора. 3. Теорема о равенстве векторов в координатной форме записи. 4. Теорема о действиях с векторами в координатной форме записи. 5. Теорема о вычислении координат вектора. 6. Формула расстояния между двумя точками плоскости. 7. Формула модуля вектора, заданного в координатной форме. 8. Формула направляющих косинусов вектора, заданного в коорди- натной форме. 9. Формулы координат точки, делящей данный отрезок в данном от- ношении. 10. Формулы координат середины отрезка. 11. Формулы вычисления отношения, в котором данная точка делит данный отрезок. Тест 9 1. Отметьте на координатной плоскости Оху следующие точки: А(3; 4), В(–1; 2), С(–1; –2), D(3; –4). 2. Отметьте на координатной плоскости Оху точки, симметричные точке А(2; 4) относительно осей координат и начала координат. 3. Отметьте на координатной плоскости Оху точки, симметричные точке А(2; 4) относительно биссектрисы координатного угла и бис- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 17 сектрисы угла, смежного с координатным. 4. Найдите координаты радиус-вектора точки А(2; 5) и изобразите его на координатной плоскости. 5. Отложите от точки А(–2; –3) вектор a ( 2;3) и найдите координа- ты его конца. 6. Найдите модуль и направляющие косинусы вектора a ( 4;3) 7. Запишите в координатной форме орт вектора a (4; 3) . 8. Запишите вектор AB в координатной форме записи, если А(–5; –8), В(–8; 5). 9. Найдите расстояние между точками 1 2 A ; 2 3 и 4 3 B ; 3 2 , и координаты середины отрезка АВ. 10. На отрезке АВ найдите точку, которая делит его в отношении 5 4 , считая от точки 1 2 A ; 2 3 , если 4 3 B ; 3 2 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 1 Практическое занятие 10 Прямоугольная декартовая система координат в пространстве Краткое содержание: ориентация трех взаимно перпендикулярных координатных осей в про- странстве, координаты точки и ПДСК в пространстве, координаты вектора и координатная форма записи, действия с векторами в координатной форме, расстояние между двумя точками в пространстве, модуль вектора, его направляющие углы и косинусы, орт вектора, деление отрезка в данном отношении. п.1. Теория п.1.1. Ориентация координатных осей в пространстве Пусть Ох, Оу и Оz – три взаимно перпендикулярные координат- ные оси с общим началом координат в точке их пересечения О. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат, ось Оz – осью аппликат. Рассмотрим кратчайший поворот оси Ох вокруг начала координат в плоскости Оху к оси Оу, причем наблюдать за этим поворотом бу- дем из той части полупространства относительно плоскости Оху, в которой находится положительная полуось аппликат. Если наблюдае- мый поворот осуществляется против часовой стрелки (смотрите рису- нок 1), то говорят, что оси координат имеют правую ориентацию, иначе (смотрите рисунок 2) – левую. Рис. 1 п.1.2. Прямоугольная декартовая система координат в простран- стве Пусть Ох, Оу, Оz – три взаимно перпендикулярные оси с правой ори- ентацией, с общим началом координат О и общим масштабом. Введем понятие координат произвольной точки пространства М. Пусть x y z M , M , M – проекции точки М на координатные оси Ох, Оу, Оz со- О z у х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 2 ответственно. Смотрите рисунок 3. Рис. 2 Рис. 3 Каждая точка на координатной оси имеет координату. Обозначим M M M x , y , z координаты точек x y z M , M , M на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно, т.е. x M y M z M M (x ), M (y ), M (z ) . Определение. Числа M M M x , y , z называются, соответственно, абс- циссой, ординатой и аппликатой точки М. Упорядоченный набор чи- сел M M M (x , y , z ) называется координатами точки М. Общепринято следующее обозначение координат точки М: M M M M(x , y , z ) . (Смотрите рисунок 4.) Определение. Прямоугольной декартовой системой координат в про- странстве называются три взаимно перпендикулярные оси с правой ориентацией, с общим началом координат, общим масштабом и вве- у О z х О z М x M z M y M у х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 3 денным понятием координат любой точки пространства. п.1.3. Координаты вектора и его координатная форма записи Определение. Вектор OM , где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки М. Определение. Координатами вектора называются его проекции на координатные оси. Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.) Координаты точки М в ПДСК в пространстве совпадают с координатами её ради- ус-вектора: M x M y M z x пр OM, y пр OM, z пр OM Смотрите рисунок 4. Рис. 4 Принято отождествлять радиус-вектор OM с упорядоченной тройкой его координат: M M M x y z OM (x , y , z ) (пр OM, пр OM, пр OM) Введем для произвольного вектора a обозначения: x x y y z z a пр a, a пр a, a пр a Пусть a – произвольный вектор пространства и a OM . Так как про- екции вектора на оси не зависят от выбора точки его начала, то можно M M M M(x , y , z ) z M M (z ) y M M (y ) x M M (x ) a О z у х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 4 записать: x y z x y z a (пр a, пр a, пр a) (a , a , a ) Определение. Запись вектора в виде x y z a (a , a , a ) называется его координатной формой записи. Теорема. (О равенстве векторов.) Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. Теорема. (О действиях с векторами в координатной форме.) При сло- жении векторов их координаты складываются, а при умножении век- тора на число каждая координата вектора умножается на это число: x x y y z z a b (a b , a b , a b ) , x y z k a (k a , k a , k a ) Теорема. (О вычислении координат вектора.) Для того, чтобы вычислить координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты его начала: B A B A B A AB (x x ; y y ; z z ) Теорема. (Формула расстояния между двумя точками.) 2 2 2 B A B A B A AB (x x ) (y y ) (z z ) Теорема. (О модуле вектора.) Модуль вектора равен корню квадрат- ному из суммы квадратов его координат. 2 2 2 x y z | a | a a a Обозначим углы между вектором и координатными осями: (a ^ Ox) , (a ^ Oy) , (a ^ Oz) . Определение. Углы между вектором и координатными осями назы- ваются его направляющими углами, а косинусы этих углов называ- ются направляющими косинусами. Теорема. (О направляющих косинусах вектора.) Пусть Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 5 x y z a (a ; a ; a ) . Тогда y x z a a a cos , cos , cos | a | | a | | a | , 2 2 2 cos cos cos 1 . Рис. 5 Теорема. (Об орте вектора.) Направляющие косинусы вектора явля- ются декартовыми координатами его орта: o a a (cos ; cos ; cos ) | a | . п.1.4. Деление отрезка в данном отношении Теорема. (О координате точки, делящей отрезок.) Пусть A A A B B B A(x , y , z ), B(x , y , z ) и C C C C(x , y , z ) – три произвольные точ- ки пространства, лежащие на одной прямой L и точка С делит отрезок АВ в отношении C AB , считая от точки А. Тогда A B A B A B C C C x x y y z z x , y , z 1 1 1 и C C A C A C A AB B C B C B C x x y y z z x x y y z z Следствие. Если точка С есть середина отрезка АВ, то A B A B A B C C C x x y y z z x , y , z 2 2 2 a О z у х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 6 п.2. Список задач Список №1 1. Построить чертеж ПДСК в пространстве, и отметить на нем точку с заданными положительными координатами. 2. Найти в координатном пространстве координаты точки, симмет- ричной данной относительно координатных плоскостей, коорди- натных осей и начала координат. 3. Найти расстояние от данной точки до координатных плоскостей и координатных осей. 4. Построить в ПДСК Oxyz радиус-вектор точки с заданными коорди- натами, и найти его проекции на координатные оси. 5. Дан вектор в координатной форме записи. Найти его модуль и на- правляющие косинусы. Записать орт данного вектора в координат- ной форме. 6. Дан орт вектора и его модуль. Найти его координаты, и записать в координатной форме. 7. Дан модуль вектора и два из трех направляющих углов. Найти ко- ординаты вектора. 8. Найти координаты вектора по известным координатам его начала и конца. 9. Найти координаты суммы векторов и произведения вектора на чис- ло. 10. Найти расстояние между двумя точками с известными координа- тами. 11. Найти отношение, в котором данная точка делит данный отрезок. 12. На данном отрезке найти координаты точки, делящей данный от- резок в данном отношении. 13. Найти координаты середины отрезка. Список №2 1. Найти на координатных осях точку, удаленную от данной точки на данное расстояние. 2. Точка с одной известной координатой делит данный отрезок в дан- ном отношении. Найти неизвестные координаты этой точки. п.3. Примеры Пример 1. Построить точку М(1; 2; 2) в координатном пространстве Oxyz, и найти расстояния от неё до координатных плоскостей и осей. Решение. Смотрите рисунок 6. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 7 Рис. 6 Легко видеть, что расстояние от точки М до координатной плоскости Оху равно модулю её аппликаты: M d(M;Oxy) | z | 2 . Аналогично, M M d(M;Oxz) | y | 2, d(M;Oyz) | x | 1 . Расстояние от точки М до координатных осей: 2 2 2 2 M M M M d(M,Ox) y z 2 2, d(M,Oy) x z 5 , 2 2 M M d(M,Oz) x y 5 Ответ: рисунок 6, d(M;Oxy) d(M;Oxz) 2, d(M;Oyz) 1 , d(M,Ox) 2 2, d(M,Oy) d(M,Oz) 5 Пример 2. Найти модуль и направляющие косинусы вектора a ( 2;1; 2) . Записать в координатной форме орт данного вектора. Решение. Воспользуемся формулой для вычисления модуля вектора: 2 2 2 2 2 x y z | a | a a a ( 2) ( 2) 1 3 Вычисляем направляющие косинусы: y x z a a a 2 1 2 cos , cos , cos 3 3 3 | a | | a | | a | Мы знаем, что направляющие косинусы вектора равны координатам его орта. Осталось записать ответ. М(1;2;2) 2 2 1 О z у х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 10, с.14 8 Ответ: 2 1 2 | a | 3, cos , cos , cos 3 3 3 , o 2 1 2 a ( ; ; ) 3 3 3 Пример 3. Найти координаты вектора a , если его орт имеет коорди- наты o 6 2 3 a ( ; ; ) 7 7 7 и | a | 3 . Решение. Сначала проверим, что o | a | 1 . Действительно, 2 2 2 o 6 2 3 1 | a | 36 4 9 1 7 7 7 7 Из определения орта вектора следует: o 6 2 3 18 6 9 a | a | a 3 ( ; ; ) ( ; ; ) 7 7 7 7 7 7 Ответ: 18 6 9 a ( ; ; ) 7 7 7 Пример 4. Найти координаты вектора a , если его модуль равен 2, o o 60 , 120 Решение. Воспользуемся тем, что сумма квадратов направляющих ко- синусов вектора равна 1: 2 o 2 2 o cos 60 cos cos 120 1 . Отсюда находим, 2 cos 2 , т.е. 0 45 или 0 135 . Возможны два варианта: o o o a 2(cos60 ,cos 45 ,cos120 ) (1; 2; 1) или o o o a 2(cos60 ,cos135 ,cos120 ) (1; 2; 1) . Ответ: a (1; 2; 1) или a (1; 2; 1) . |