АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 9 из 44

Задачи повышенного уровня сложности 7
13. В параллелограмме АВСD: К и М – середины сторон ВС и СD,
AK a, AM b

 . Выразить векторы BD и AD через векторы a
и b
14. В четырехугольнике АВСD диагонали, пересекаясь делятся попо- лам. Доказать, что этот четырехугольник – параллелограмм.
15. Пользуясь линейными операциями с векторами докажите, что ме- дианы любого треугольника пересекаются в одной точке. (Указа- ние: пусть О – точка пересечения медиан AD и ВЕ, F – середина стороны АВ. Выразите векторы
OF
и
CO
через векторы AB и
AC
.)
16. В треугольнике АВС, CN и BK – медианы. Докажите, что
2
AB AC
(CN BK) CB
3




. (Указание.
Докажите, что
CB OB OC


, О – точка пересечения медиан.)
Домашнее задание 7. Линейные операции с векторами
1. В равнобочной трапеции ABCD,
AD 2BC

,
AB a

,
AD b

. Вы- разите через векторы a
и b
векторы: а)
AC
; б)
BC
; в)
CD
; г)
BD .
2. При каких значениях х векторы
3
x a

и
2
(x x 2) a
   противопо- ложно направлены?
3. Дано: a b, | a | 5, | b | 12



. Найти | a b |
 и | a b |
 .
4.
В прямоугольном параллелепипеде
1 1 1 1
ABCDA B C D ,
1
AB p, AD q, AA
r



. Выразите через векторы p, q, r векторы:
1 1 1
1 1
1
AC, D B , AC , B C, D B, DB

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 15
Самостоятельная работа 7
Вариант 1.
1. Определение коллинеарных векторов.
2. Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй- те векторы
AB AC

и
AB AC

3. В треугольнике АВС, AB a, AC b

 , BD – медиана. Выразите век- тор DB через векторы a
и b
Вариант 2.
1. Определение оси.
2. Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй- те векторы AB

и
BA BC

3. В треугольнике АВС, АК – медиана, AB a, AK m

 Выразите век- тор BK через векторы a
и m .
Вариант 3.
1. Определение сонаправленных векторов, лежащих на одной оси.
2. Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй- те векторы
1 1
AB
AC
2 2

и
1
AB
AC
2

3. В треугольнике АВС, AB a, AC b

 , О – точка пересечения меди- ан. Выразить вектор
OB
через векторы a
и b
Вариант 4.
1. Определение сонаправленных векторов, лежащих на параллельных прямых.
2. Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй- те векторы
1 1
AB
AC
2 2

и
3
AB
BC
2

3. В треугольнике АВС, AB a, AC b

 , О – точка пересечения меди- ан. Выразить вектор
OC
через векторы a
и b
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 7
Обозначения
1. Обозначение пространства точек.
2. Обозначение расстояния между точками А и В.
3. Обозначение вектора, как направленного отрезка.
4. Обозначение модуля вектора.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 16 5. Обозначение векторного пространства всех векторов, как направ- ленных отрезков.
6. Обозначение свободного вектора, как элемента векторного про- странства.
7. Обозначение коллинеарных векторов, вектора и прямой.
8. Обозначение неколлинеарных векторов.
9. Обозначение сонаправленных вектора и оси.
10. Обозначение противоположно направленных вектора и оси.
11. Обозначение сонаправленных векторов.
12. Обозначение противоположно направленных векторов.
13. Обозначение равных векторов.
14. Обозначение суммы векторов.
15. Обозначение нулевого вектора.
16. Обозначение вектора противоположного данному.
17. Обозначение произведения вектор на скаляр.
Определения
1. Определение вектора.
2. Определение модуля вектора.
3. Определение коллинеарных векторов.
4. Определение положительного направления на прямой.
5. Определение оси.
6. Определение вектора коллинеарного прямой.
7. Определение вектора оси, сонаправленного с осью.
8. Определение ориентации вектора на оси.
9. Определение сонаправленных векторов, лежащих на одной прямой.
10. Определение сонаправленных векторов, лежащих на параллель- ных прямых.
11. Определение равных векторов.
12. Определение суммы двух векторов.
13. Определение нулевого вектора.
14. Определение противоположного вектора.
15. Определение произведения вектора на число.
16. Определение линейного выражения одного вектора через другой.
Теоремы
1. Свойства сложения векторов.
2. Свойства умножения вектора на число.
3. Простейших свойствах векторного пространства.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 17 4. Необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векто- ров.
Тест 7
1. Изобразить на рисунке вектор, лежащий на оси и имеющий левую ориентацию.
2. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки, и постройте их сумму по правилу параллелограмма.
3. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки, и постройте их сумму по правилу треугольника.
4. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки, и постройте их разность.
5. По данному вектору a
постройте противоположный ему вектор.
6. По данному вектору a
постройте вектор
3a
7. По данным векторам a
и b
построить вектор
1
(3a 2b)
2

8. В треугольнике АВС дано: AB a, AC b

 , М – середина стороны
ВС. Используя линейные операции с векторами, выразите вектор
AM через векторы a
и b
9. Пусть О – точка пересечения медиан треугольника АВС, и AD – одна из его медиан. Найдите линейное выражение вектора
OA
че- рез вектор
OD
10. В равнобочной трапеции ABCD нижнее основание AD в два раза больше верхнего ВС, MN – средняя линия. Выразите вектор
MN
через векторы AB и
CD

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 1
Практическое занятие 8
Декартовая система координат на прямой
Краткое содержание: проекция вектора на ось и её свойства, координата вектора оси, коорди- натная форма записи вектора оси, радиус-вектор, координата точки оси, координатная пря- мая, вычисление координаты вектора числовой оси и расстояния между её двумя точками, деление отрезка в данном отношении, внутренним и внешним образом, вычисление отноше- ния и координаты точки деления.
п.1. Теория
п.1.1. Проекция вектора на ось и её вычисление
Определение. Пусть А и В – произвольные точки пространства, L – произвольная ось,
A и B – проекции точек А и В на ось L. Проекци- ей вектора
AB на ось L называется действительное число, которое обозначается
L
пр AB
и определяется равенством
L
A B , если A B
L
пр AB
A B , если A B
L
  
  

 
 




, где A B
  обозначает длину отрезка A B
  оси L. (Смотрите рисунок 1.)
Рис. 1
Рассмотрим случай, когда проектируемый вектор коллинеарен оси.
Смотрите рисунки 2 и 3.
Рис. 2
А
В
B
A
L


А
A
В
B
L
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 2
Рис. 3
В обоих случаях, по определению проекции вектора на ось, мы имеем равенство
AB A B
 

, и проекция вектора AB на ось L равна его модулю, взятому со знаком плюс, если вектор правоориентированный на оси L, и со знаком ми- нус, в противном случае:
L
| AB |, если AB
L
пр AB
| AB |, если AB
L



 



п.1.2. Координата вектора оси
Определение.
Координатой вектора оси называется его проекция на эту ось.
Обозначим координату вектора а
оси L через
L
a . Если а AB

, то ко- ординату вектора AB на оси L будем обозначать, по определению,
L
пр AB
Теорема.
(О знаке координаты вектора оси.)
Координата вектора оси неотрицательна и равна его модулю, если вектор правоориентирован на оси. Координата вектора отрицательна и противоположна его модулю, если вектор левоориентирован на оси.
L
L
| a |, если a
L
a пр a
| a |, если a
L



 




Следствие.
(О модуле координаты вектора оси.) Модуль координаты вектора оси равен модулю этого вектора:
L
| a | | a |

Следствие.
(О координатах противоположных векторов оси.) Коор- динаты противоположных векторов – противоположны, т.е.
A A

L
B B


Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 3
L
L
b a
b a
  
 
п.1.3. Свойства проекции вектора на ось
Теорема.
(Свойства проекции.) Для любых векторов a,b , для любого действительного числа k и любой оси L выполняются равенства:
1)
L
L
L
пр (a b) пр a пр b



; 2)
L
L
пр k a k пр a
  
Коротко оба свойства можно сформулировать так:
Проекция суммы равна сумме проекций и скалярный множитель мож- но выносить за знак проекции.
Обозначим через
L
V множество всех векторов, коллинеарных прямой
L. Нетрудно видеть, что множество
L
V является вещественным век- торным пространством.
Следствие.
(Линейные операции с векторами оси в координатной форме.)
Пусть L – произвольная ось и
L
a, b, c V

– произвольные векторы этой оси. Пусть k R
 – произвольное действительное число. Тогда:
1) если c a b
 
, то
L
L
L
c a
b


;
2) если b k a
 
, то
L
L
b k a
  .
Другими словами можно сказать, что при сложении векторов оси их координаты складываются, а при умножении вектора на действитель- ное число его координата умножается на это число.
Теорема.'>Замечание.
Вектор оси можно отождествить с его координатой:
L
a (a )

. Это так называемая координатная форма записи вектора оси.
Теорема.
(О равенстве векторов.) Два вектора оси равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.
п.1.4. Декартовая система координат на прямой
Определение.
Вектор
OA
, где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки А, и часто обозначается
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 4
A
r
OA

Определение.
Координатой точки оси называется координата её ра- диус-вектора.
Обозначение: Пусть А – точка оси Ох,
A
x – её координата. Тогда, по определению:
A
x x
пр OA

Это же определение можно дать, не используя понятие радиус- вектора точки.
Определение.
Координатой точки А оси Ох называется действитель- ное число
A
x , определяемое следующим равенством:
A
OA, если OA
Ox x
OA, если OA
Ox



 



, где ОА – расстояние от начала координат до точки А.
Смотрите следующие рисунки. На рисунке 4:
A
x
OA 0

 , на рисунке
5:
A
x
OA 0
 
 .
Рис. 4
Рис. 5
Определение.
Прямая, на которой выбрано положительное направле- ние, начало координат, масштаб и для каждой точки которой опреде- лена её координата, называется координатной прямой или числовой осью. Говорят также, что на прямой определена декартовая система
0
A
x
А
О х
0
A
x
А
О х

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 5 координат.
Теорема.
Между множеством точек координатной оси Ох и множест- вом действительных чисел R существует взаимно однозначное соот- ветствие (биекция).
Замечание.
В силу этой теоремы, мы можем отождествить точку чи- словой оси и число, которое равно ее координате. Поэтому после бук- вы обозначающей точку в круглых скобках пишут ее координату:
A
B
A(x ), B(x ) и т.д. Более того, из определения координаты точки следует, что точка с положительной координатой лежит справа от на- чала координат на расстоянии, равном её координате, а точка с отри- цательной координатой лежит слева от начала координат на расстоя- нии, равном модулю её координаты.
Определение.
Положительной полуосью называется та часть коорди- натной оси, все точки которой имеют положительные координаты
(эти точки следуют за началом координат). Отрицательной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют от- рицательные координаты (эти точки предшествуют началу коорди- нат).
п.1.5. Расстояние между двумя точками числовой оси
Теорема.
(О вычислении координаты вектора и расстоянии между точками числовой оси.) Пусть Ох координатная ось, А, В – две её произвольные точки,
A
B
x , x – их координаты. Тогда:
1) x
B
A
пр AB x x


; 2)
B
A
AB | x x |


Другими словами:
1) для того, чтобы найти координату вектора на числовой оси, нужно из координаты его конца вычесть координату его начала;
2) расстояние между двумя точками числовой оси равно модулю раз- ности их координат.
п.1.6. Деление отрезка в данном отношении
Определение.
Пусть L – произвольная прямая, A, B, C L
 – её произ- вольные точки, причем A B
 . Отношением в котором точка С делит
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 6
отрезок АВ считая от точки А называется действительное число, ко- торое обозначается
C
AB
 и определяется равенством
C
AB
AC
CB
  
Замечание.
Из определения следует, что
C B

и
C
AB
1

 
Возможны два принципиально различных случая расположения точки
С на прямой относительно отрезка АВ, смотрите рисунки 6 и 7.
1) Точка С находится на отрезке АВ:
Рис. 6 2) Точка С находится вне отрезка АВ (неважно справа или слева от отрезка)
Рис. 7
Определение.
Если точка С является точкой отрезка АВ, то говорят, что точка С делит отрезок АВ внутренним образом, в противном слу- чае говорят, что точка С делит отрезок АВ внешним образом.
Теорема.
(О вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.)
Отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, можно вычислить по формуле:
C
AB
AC
CB

 
, где знак плюс берется в случае, когда точка С делит отрезок АВ внут- ренним образом и знак минус в противном случае.
Теорема.
(О делении отрезка точкой на числовой оси.) Пусть
A
B
C
A(x ), B(x ), C(x ) – точки координатной оси Ох и точка С делит отрезок АВ в отношении
C
AB

, причем,
A B С
 
. Тогда:
С
А
В
L
А
С
В
L

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 7
1)
C
C
A
AB
B
C
x x
x x




; 2)
C
A
AB
B
C
C
AB
x x
x
1
 


 
Следствие.
Пусть точка С – середина отрезка АВ. Тогда
A
B
C
x x
x
2


п.2. Список задач
Список №1
1. Отметить на координатной оси точку с заданной координатой.
2. Изобразить на чертеже координатную ось Ох и радиус-вектор дан- ной точки этой оси.
3. Найти проекцию данного вектора оси на эту же ось, и записать его в координатной форме.
4. Определить ориентацию вектора, лежащего на оси, зная его коор- динату.
5. Найти модуль вектора оси по его координате.
6. Найти координату вектора, лежащего на координатной оси, зная координаты его конца и начала.
7. Зная координаты двух векторов, лежащих на координатной оси, найти координату их суммы.
8. Зная координату вектора, лежащего на координатной оси, найти ко- ординату произведения этого вектора на данное число.
9. Отложить данный вектор, коллинеарный координатной оси, от дан- ной точки оси, зная координату вектора и координату точки.
10. Найти расстояние между двумя точками числовой оси.
11. Найти отношение, в котором данная точка делит данный отрезок.
12. На данном отрезке найти координаты точки, делящей данный от- резок в данном отношении.
13. Найти координаты середины отрезка.
Список №2
1. Найти множество точек координатной оси, удовлетворяющих за- данному условию.
п.3. Примеры
Пример 1.
Изобразите на координатной оси Ох следующие точки с заданными координатами: А(5), В(–5).
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 8
Решение. Откладываем на координатной оси 5 единиц вправо и влево от начала координат. Так как
A
x
5 0
  , то точка А находится на по- ложительной полуоси на расстоянии 5 от начала координат:
OA 5

Точка В симметрична точке А относительно начала координат,
OB 5

, и находится на отрицательной полуоси. Смотрите рисунок 8.
Рис. 8
Ответ: рисунок 8.
Пример 2.
Изобразите на координатной оси Ох радиус-вектор точки
В(–5).
Решение. Отложим на оси точку В(–5). Тогда вектор
OB
является ра- диус-вектором точки В. Смотрите рисунок 9.
Рис. 9
Ответ: рисунок 9.
Пример 3.
Найдите проекцию вектора a
на ось Ох, если он лежит на этой оси, имеет левую ориентацию, и его модуль равен 5.
Решение. 1-й способ. Воспользуемся определением проекции вектора на ось. Пусть a AB

. Так как вектор лежит на оси, то точки А и В есть точки оси и совпадают с их проекциями на эту ось. Смотрите ри- сунок 10.
Рис. 10
Так как вектор левоориентированный, то
A B
Ox
  
и по определе- нию проекции, x
x пр a пр AB
AB
| a |
5

 
 
 
A A

х
B B

О
х
В
–5 0
О
х
А
В
–5 0
5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18 9
2-й способ. Воспользуемся формулой для вычисления проекции век- тора на ось: x
пр a | a | cos(a ^ Ox) 5 cos
5


 
  
Здесь, (a ^ Ox)
  в силу левой ориентированности вектора на оси.
Ответ: –5.