АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 5 Обозначения 1. Обозначение множества комплексных чисел. 2. Обозначение мнимой единицы. 3. Обозначение действительной (вещественной) части комплексного числа. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 11 4. Обозначение мнимой части комплексного числа. 5. Обозначение алгебраической формы записи комплексного числа. 6. Обозначение комплексно сопряжённого числа. Определения 1. Определение комплексного числа. 2. Определение равенства комплексных чисел. 3. Определение мнимой единицы. 4. Определение суммы комплексных чисел. 5. Определение произведения комплексных чисел. 6. Определение алгебраической формы записи комплексного числа. 7. Определение действительной части комплексного числа. 8. Определение мнимой части комплексного числа. 9. Определение чисто мнимого комплексного числа. 10. Определение комплексно сопряженного числа. 11. Определение разности двух комплексных чисел. 12. Определение частного двух комплексных чисел. Теоремы 1. Об алгебраической структуре множества комплексных чисел. 2. Об алгебраической форме записи комплексных чисел. 3. Свойства комплексно сопряженных чисел. 4. Правило деления комплексных чисел. Тест 5 1. Найдите алгебраическую форму записи суммы комплексных чисел 1 z 2 3i и 2 z 3 2i . 2. Найдите алгебраическую форму записи комплексного числа, проти- воположного комплексному числу 4 5i 3. Найдите алгебраическую форму записи разности 1 2 z z комплекс- ных чисел 1 z 2 3i и 2 z 3 2i . 4. Найдите алгебраическую форму записи произведения комплексных чисел 1 z 2 3i и 2 z 3 2i . 5. Найдите комплексное число, комплексно сопряженное комплекс- ному числу 3 i 6. Найдите алгебраическую форму записи комплексного числа, обрат- ного комплексному числу 3 3i Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12 12 7. Найдите алгебраическую форму записи частного 1 2 z z комплексных чисел 1 z 2 3i и 2 z 3 2i . 8. Решите уравнение ( 2 i)z 5 5i 0 . 9. Вычислите значение многочлена 2 f (z) z 2z 2 при z 1 3i 10. Решите уравнение 2z 3z 4 5i 11. Вычислите определитель: а) 2 1 1 , если 1 3 i 2 2 ; б) 2 2 2 1 1 1 , если 1 3 i 2 2 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 1 Практическое занятие 6 Комплексные числа – 2 Краткое содержание: понятие корня натуральной степени из комплексного числа, квадратные корни из комплексного числа, решение квадратных уравнений над полем комплексных чисел. п.1. Теория п.1.1. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа Определение. Пусть n N – произвольное натуральное число. Кор- нем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что n z . Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из ком- плексного числа.) Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа. Замечание. Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие. Если а – положительное действительное число, то n a по опреде- лению обозначает положительный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем. Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При a 0 этот единст- венный корень n a является по определению арифметическим, при a 0 этот единственный корень n a не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противополож- ного числа: n n a a , где n a является арифметическим, т.к. a 0 Если n – четное число, то существует ровно два действительных корня n-й степени из положительного числа и они являются противо- положными числами, поэтому один из них положительный, его и обо- значают n a и называют его арифметическим, а второй будет отрица- тельным, противоположным арифметическому и его обозначают n a В любом случае, знак n a обозначает (при условии, что это выра- жение имеет смысл) только одно число, один корень. В случае же, если z C – комплексное число, то для любого нату- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 2 рального числа n выражение n z всегда имеет смысл и обозначает все множество корней n-й степени из комплексного числа z: n o 1 n 1 z { , , ..., } , где o 1 n 1 , , ..., – все n корней n-й степени из комплексного числа z, так что по определению k {0,1, ..., n 1} , n k z . В частности, при n 2 существуют ровно два корня из комплекс- ного числа z и легко видеть, что, если – квадратный корень из ком- плексного числа z, то 2 2 ( ) z , т.е. оба корня и являются противоположными комплексными числами, поэтому вместо записи z { , } применяют запись z п.1.2. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Формула квадратных корней из комплексного числа Определение. Пусть х – действительная переменная. Функция, опре- деленная правилом: 1, при x 0 sgn x 1, при x 0 , называется знаком числа х и читается "сигнум икс". Теорема. Пусть z a bi C – произвольное комплексное число. То- гда 2 2 2 2 a b a a b a a bi i sgn b 2 2 , где квадратные корни в правой части равенства являются арифмети- ческими квадратными корнями из неотрицательных чисел. Замечание. Можно не запоминать эту формулу ввиду ее громоздко- сти, а при решении использовать алгоритм доказательства теоремы. Смотрите 2-й способ решения в примере 1. Следствие. Пусть z a R и a 0 . Тогда оба квадратных корня из числа z могут быть найдены по формуле: z a i | a | Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 3 Замечание. В частности, последняя формула дает равенство: 1 i Это верное равенство, т.е. 1 по определению есть множество всех корней из числа –1, в то время как равенство 1 i неверное, с этой точки зрения! Именно поэтому нельзя переносить свойства корней из действительных чисел на корни из комплексных чисел, как показыва- ет следующий простой контрпример: 2 1 1 ( 1)( 1) 1 1 i i i 1 С другой стороны, легко доказать следующую теорему. Теорема. (О вынесении действительного множителя из под знака корня.) Пусть z C, a R, a 0 , n – произвольное натуральное число. Тогда n n n a z a z , где n a есть обычный арифметический корень из положительного числа. п.1.3. Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел Теорема. Пусть a,b,c C, a 0 , z – комплексная переменная. Тогда квадратное уравнение 2 az bz c 0 имеет ровно два корня (они мо- гут быть равными), которые можно найти по формуле: 2 1,2 b b 4ac z 2a Замечание. Аналогично решаются квадратные уравнения с действи- тельными коэффициентами, но с отрицательным дискриминантом. п.2. Список задач Список №1 1. Найти квадратные корни из комплексного числа. 2. Найти квадратные корни из отрицательного действительного числа. 3. Найти квадратные корни из мнимого числа. 4. Решить квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом. 5. Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами. 6. Решить уравнение, содержащее кроме комплексной переменной Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 4 комплексно сопряженную ей. 7. Найти остаток от деления многочлена на линейный двучлен над по- лем комплексных чисел. Список №2 1. Решить биквадратное уравнение над полем комплексных чисел. 2. Решение некоторых алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней над полем комплексных чисел. 3. Найти остаток от деления многочлена на квадратный трехчлен над полем комплексных чисел. п.3. Примеры Пример 1. Вычислить 3 4i . Решение. 1-й способ. Используем формулу квадратных корней из комплексного числа. Здесь 2 2 a 3, b 4, a b 9 16 5, sgn b 1 . Подставляем в формулу и получаем: 5 3 5 3 3 4i i (2 i) 2 2 2-й способ. Пусть 3 4i (x yi) . Тогда 2 2 x 2xyi y 3 4i . Равенство возможно лишь тогда равны вещественные и мнимые части обоих комплексных чисел: 2 2 x y 3 2xy 4 Возводим оба уравнения системы в квадрат: 4 2 2 4 2 2 x 2x y y 9 4x y 16 Прибавляем второе уравнение к первому: 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2x y y 25 (x y ) 25 x y 5 4x y 16 x y 4 x y 4 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 5 В силу обратной теоремы Виета решения 2 2 1 2 t x , t y последней системы уравнений являются корнями квадратного уравнения 2 t 5t 4 0 . Решаем это квадратное уравнение и находим его корни: 1 2 t 1, t 4 . Так как 2 2 x y 3 , то 2 2 x 4, y 1 x 2, y 1 . Принимаем x 2 . Так как xy 2 , то y 1 . Получили один из двух корней: x yi 2 i . Второй корень противоположен первому. Ответ: 3 4i (2 i) . Пример 2. Вычислить 4, 3, 1 . Решение. Используем формулу a i | a | , где а – произвольное от- рицательное действительное число. 4 i ( 4) 2i, 3 i 3, 1 i Ответ: 4 2i, 3 i 3, 1 i . Пример 3. Решить уравнение 2 z (7 2i)z 13(1 i) 0 . Решение. Вычисляем дискриминант: 2 2 D b 4ac (7 2i) 4 13(1 i) 49 28i 4 52 52i 7 24i Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратных корней из комплексного числа: 2 2 2 2 7 24 7 7 24 7 7 24i i 2 2 25 7 25 7 i (3 4i) 2 2 Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравне- ния: 2 1,2 b b 4ac (7 2i) (3 4i) z 2 2 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 6 или 1 2 (7 2i) (3 4i) (7 2i) (3 4i) z 2 3i, z 5 i 2 2 . Ответ: 1 2 z 2 3i; z 5 i . Пример 4. Решить уравнение 2 x 3x 3 0 . Решение. Вычислим дискриминант: 2 D b 4ac 9 12 3 0 . Отсюда следует, что действительных корней квадратное уравнение не имеет, но, согласно теореме, оно имеет два корня в поле комплексных чисел. Для вычисления корня из дискриминанта применяем формулу квадратных корней из отрицательного числа: D 3 i 3 Теперь подставляем в формулу корней квадратного уравнения: 2 1,2 b b 4ac 3 i 3 3 3 z i 2 2 2 2 Ответ: 3 3 i 2 2 п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 6 1. Решите уравнение: а) (5 7i) 3z 8 11i ; б) z (0,6 0,8i) 5 11i ; в) 3z 5z 5 11i 2. Найдите квадратные корни из комплексного числа z: а) z 8 6i ; б) z i ; в) z i ; г) z 1 i ; д) z 3 4i ; е) 3 i z 2 2 ; ё) 1 3 z i 2 2 3. Решите квадратное уравнение: а) 2 z 4z 5 0 ; б) 2 z 4iz 5 0 ; в) 2 z 4z 1 4i 0 ; г) 2 z (7 2i)z 13 13i 0 . 4. Решите биквадратное уравнение: а) 4 1 3 z i 2 2 ; б) 4 2 z i 3z 1 0 . 5. Найдите остаток от деления многочлена 37 30 20 4x 2x 3x x 7 на Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 7 многочлен: а) x i ; б) x i ; в) 2 x 1 . 6. Решите квадратное уравнение с дополнительным условием: а) 2 z 15 8i, Im z 0 ; б) 2 z 5 12i, Re z 0 ; 7. Решите уравнение: а) 2 z z 1 i ; б) 2 z 2(z z) 4 0 ; в) 2 z 2z 1 0 Задачи повышенного уровня сложности 6 8. Решите уравнение в поле комплексных чисел: а) 4 3 2 9x 24x 2x 24x 9 0 ; б) 4 3 2 2x 7x 9x 7x 2 0 . Домашнее задание 6. Комплексные числа – 2 1. Вычислите: а) 1 3i 2 ; б) 1 i ; в) 3 i . 2. Решить квадратное уравнение в поле комплексных чисел: а) 2 x x 1 0 ; б) 2 x 2x 2 0 . 3. Решите уравнение 2 z (7 i)z 14 5i 0 . 4. Решите биквадратное уравнение в поле комплексных чисел: 4 1 3 z i 2 2 Самостоятельная работа 6 Вариант 1. 1. Формула квадратных корней из отрицательного действительного числа. 2. Найдите квадратные корни из числа z 3 i . 3. Решите квадратное уравнение в поле комплексных чисел: 2 z z 1 0 . Вариант 2. 1. Определение корня натуральной степени из комплексного числа. 2. Найдите квадратные корни из числа z 3 i . 3. Решите квадратное уравнение в поле комплексных чисел: 2 z 2z 4 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 8 Вариант 3. 1. Определение функции сигнум. 2. Найдите квадратные корни из числа z 1 i 3 3. Решите квадратное уравнение в поле комплексных чисел: 2 x x 1 i 0 . Вариант 4. 1. Формула квадратных корней из комплексного числа. 2. Найдите квадратные корни из числа z 1 i 3 3. Решите квадратное уравнение в поле комплексных чисел: 2 x x 1 i 0 . п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 6 Обозначения 1. Обозначение множества всех корней n-й степени из комплексного числа. 2. Обозначение множества всех квадратных корней из комплексного числа. Определения 1. Определение корня n-й степени из комплексного числа. 2. Определение арифметического корня n-й степени из действитель- ного числа. 3. Определение функции сигнум. Теоремы 1. Формула квадратных корней из комплексного числа. 2. Формула квадратных корней из отрицательного действительного числа. 3. Теорема о вынесении действительного множителя из под знака корня из комплексного числа. Тест 6 1. Извлеките корень 1 2. Извлеките корень i 3. Вычислите 1 3i 2 4. Найдите комплексные корни уравнения 2 x x 1 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 6, с.9 9 5. Решите уравнение 2 x 4x 5 0 . 6. Решите уравнение 2 z 2iz 3 0 . 7. Какие из следующих чисел являются корнями квадратного уравне- ния 2 x (3 i)x 3 3i 0 : 1 2i,1 2i, 2 i . 8. Решите биквадратное уравнение 4 1 3 z i 2 2 9. Решите уравнение 2 z 2z 1 0 10. Разложите многочлен 3 2 x 2x 2x 1 на линейные множители. 11. Найдите остаток от деления многочлена 17 11 7 f (x) x x x 1 на линейный двучлен x i . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 1 Практическое занятие 7 Линейные операции с векторами Краткое содержание: функция расстояния и ее свойства, определение вектора как направлен- ного отрезка, модуль вектора, коллинеарные векторы, положительное направление, ось, ори- ентация вектора на оси, сонаправленные и противоположно направленные векторы и оси, равенство векторов, свободные векторы, линейные операции с векторами, векторные про- странства векторов прямой, плоскости и пространства, необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векторов. п.1. Теория п.1.1. Функция расстояния Мы полагаем, что нам известно понятие расстояния между двумя точками, как длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Рас- стояние между точками А и В обозначается АВ или AB r или r(A,B) и является функцией двух переменных (аргументов), определенная на множестве точек прямой, плоскости или пространства. |