АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Свойства функции расстояния 1) Свойство неотрицательности. Для любых точек А и В: AB 0 2) Свойство симметричности. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А: AB BA 3) Неравенство треугольника. Для любых точек А, В, С справедливо неравенство: AB AC CB , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда точки лежат на одной прямой и точка С находится на отрезке АВ, т.е. между точ- ками А и В. п.1.2. Определение вектора как направленного отрезка Определение. Вектором, как направленным отрезком, называется упорядоченная пара точек (А, В) и обозначается AB . Первая точка А называется началом вектора AB , вторая – точка В, называется концом вектора AB . Геометрически вектор изображается отрезком прямой, соединяю- щим точки А и В и стрелкой в точке В: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 2 Рис. 1 Определение. Модулем вектора AB называется длина отрезка АВ, т.е. расстояние между точками А и В, и обозначается | AB | AB Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называет- ся нулевым вектором, и обозначается 0 Из определения очевидно следует, что модуль вектора равен нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой. п.1.3. Коллинеарные и сонаправленные векторы, ось Определение. Если на прямой выбран один (из двух возможных) по- рядок следования точек, то говорят, что на прямой выбрано положи- тельное направление. Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направле- ние называется осью. Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они ле- жат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: AB || CD – векторы AB и CD коллинеарные, AB || CD – векторы AB и CD неколлинеарные. Определение. Вектор называется коллинеарным прямой (оси), если он лежит на ней или на параллельной прямой. Обозначение: AB || L – вектор AB коллинеарный прямой или оси L. Определение. Вектор, лежащий на оси, называется сонаправленным с осью, если его начало предшествует его концу (конец вектора следует за его началом). В противном случае говорят, что вектор и ось имеют противоположные направления. (Смотрите рисунки 2 и 3.) А В Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 3 Рис. 2 Рис. 3 Обозначения: AB L – вектор AB сонаправлен с осью L, AB L – вектор AB и ось L имеют противоположные направления. Определение. Вектор AB , лежащий на оси L, называется правоори- ентированным, если AB L и называется левоориентированным, если AB L Определение. Два вектора, лежащие на одной прямой называются сонаправленными, если при любом выборе положительного направ- ления на этой прямой оба вектора будут иметь одинаковую ориента- цию. В противном случае векторы называются противоположно на- правленными. Обозначение: AB CD – векторы AB и CD сонаправленные, AB CD – векторы AB и CD имеют противоположные направле- ния (противоположно направленные). Пусть теперь два вектора AB и CD лежат на параллельных пря- мых. Тогда обе прямые лежат в одной плоскости. Через начала векто- ров проведем секущую АС. При этом возможны два случая. См. ри- сунки 4 и 5: Рис. 4 b a С D А В L A B L A B Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 4 Рис. 5 Секущая АС, проведенная через начала обоих векторов делит плос- кость, в которой лежат обе параллельные прямые а и b, на две полу- плоскости. В первом случае (смотрите рисунок 4) концы векторов ле- жат в одной полуплоскости, а во втором случае (рисунок 5) – в разных полуплоскостях. Определение. Два вектора, лежащие на параллельных прямых, назы- ваются сонаправленными, если их концы лежат в одной полуплоско- сти относительно прямой, проведенной через их начала. В противном случае говорят, что векторы имеют противоположные направления (противоположно направленные). Определение. Пусть а и b две параллельные оси. На каждой оси возь- мем по одному правоориентированному вектору. Если эти векторы сонаправленные, то данные оси называются сонаправленными. В про- тивном случае говорят, что оси имеют противоположные направле- ния. п.1.4. Свободные векторы Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправ- ленные и имеют равные модули: df AB CD (AB CD) & (| AB | | CD |) Замечание. Пусть AB – произвольный вектор. Все векторы, равные данному вектору можно обозначить одной буквой с чертой: a . Тогда про вектор AB a можно сказать, что это вектор a , отложенный от точки А, которая называется точкой приложения вектора a . Множе- ство всех различных (не равных) векторов будем обозначать S V , где буквой S обозначается множество всех точек пространства. Элементы b a С D А В Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 5 множества S V называются свободными векторами (не имеющими оп- ределенной точки приложения), и обозначать одной буквой с чертой. п.1.5. Сложение векторов и его свойства Определение. Пусть S a,b V – два произвольных вектора. Отложим вектор a , от какой-нибудь точки А и обозначим его конец буквой В, так что AB a . Вектор b отложим от точки В (от конца первого вектора) и обозначим его конец буквой С, так что b BC . То- гда вектор AC называется суммой векторов a и b и обозначается a b Рис. 6 Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Определение. Вектор b называется противоположным вектору a , если a b и | a | | b | , и обозначается a Из определения следует, что a a и | a | | a | , и если a AB , то a BA Существует еще одно правило сложения векторов, которое назы- вается правилом параллелограмма и дает точно такой же результат. Оба вектора a и b отложим от одной точки А и обозначим через В конец вектора a , через D – конец вектора b . Достраиваем до па- раллелограмма. Через точку D проводим прямую параллельную АВ, через точку В – прямую параллельную AD, точку пересечения по- a b b C B A a Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 6 строенных прямых обозначим буквой С. Тогда ABCD – параллело- грамм. Вектор AC a b Рис. 7 Равенство AC a b следует из равенства векторов b AD BC и из определения, т.е. из правила треугольника сложения векторов. Теорема. (Свойства сложения векторов.) 1. Сложение векторов подчиняется закону ассоциативности: S a, b, c V , (a b) c a (b c) 2. Нулевой вектор является нулевым элементом относительно сложе- ния векторов: S a V , a 0 0 a a 3. Для любого вектора S a V существует противоположный ему век- тор S a V , такой, что a ( a) ( a) a 0 . 4. Сложение векторов подчиняется закону коммутативности: S a, b V , a b b a Следствие.__Множество_всех_векторов_SV_относительно_операции_сложения_является_абелевой_группой._п.1.6._Умножение_вектора_на_число_Определение.'>Следствие. Множество всех векторов S V относительно операции сложения является абелевой группой. п.1.6. Умножение вектора на число Определение. Произведением вектора a на действительное число называется вектор, который обозначается a , и удовлетворяет сле- дующим двум условиям: 1) | a | | | | a | ; 2) a a , если 0 и a a , если 0 A C b a a b B D Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 7 Теорема. (Свойства умножения вектора на число.) 1. Умножение вектора на число подчиняется закону ассоциативности: S , R, a V , ( a) ( ) a 2. Умножение вектора на число подчиняется закону дистрибутивности умножения относительно сложения чисел: S , R, a V , ( ) a a a 3. Умножение вектора на число подчиняется закону дистрибутивности умножения относительно сложения векторов: S R, a, b V , (a b) a b 4. Верно равенство: S a V , 1 a a Следствие. Множество всех векторов S V как направленных отрезков в пространстве точек S является вещественным векторным простран- ством. Теорема. (Простейшие свойства векторного пространства.) 1) В векторном пространстве существует единственный нулевой век- тор. 2) В векторном пространстве любой вектор имеет единственный про- тивоположный ему. 3) Произведение скаляра на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда либо скаляр нулевой, либо вектор нулевой: K, x V : x 0 0 или x 0 4) Произведение вектора на минус единицу равно противоположному вектору: x V : ( 1) x x . Определение. Пусть a и b два произвольных вектора. Если верно равенство b a , где R , то говорят, что вектор b линейно вы- ражается через вектор a Замечание. По определению полагают, что нулевой вектор коллинеа- рен любому вектору. Теорема. (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 8 векторов.) Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необхо- димо и достаточно, чтобы хотя бы один из них линейно выражался через другой. Определение. Пусть a, b и c – произвольные векторы. Если верно равенство c a b , где , R , то говорят, что вектор c линей- но выражается через векторы a и b п.2. Список задач Список №1 1. Изобразить на рисунке произвольный вектор и отложить его от произвольной точки. 2. Изобразить на рисунке правоориентированный (левоориентирован- ный) вектор оси. 3. Построить сумму двух данных векторов по правилу параллело- грамма. 4. Построить сумму двух или более данных векторов по правилу тре- угольника. 5. Построить произведение вектора на число. 6. Построить вектор, противоположный данному. 7. Построить разность двух векторов. 8. Определить взаимное расположение двух векторов. 9. Найти линейное выражение одного вектора через другой. Список №2 1. Найти линейное выражение одного вектора через два других. 2. Решение некоторых задач геометрии с помощью векторов. п.3. Примеры Пример 1. Для данного вектора, лежащего на прямой, выбрать на ней положительное направление таким образом, чтобы вектор имел пра- вую ориентацию. Решение. Пусть дан вектор AB , лежащий на прямой L. Рис. 8 L A B Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 9 Чтобы вектор AB был правоориентированным, нужно так выбрать направление на прямой L, чтобы его начало -- точка А предшествова- ла его концу – точке В. Следовательно, выбираем на прямой L поло- жительное направление слева направо. Смотрите следующий рисунок. Рис. 9 Ответ: рисунок 9. Пример 2. Построить сумму двух данных векторов по правилу парал- лелограмма. Решение. Оба данных вектора откладываем от одной точки и рассмат- риваем их как смежные стороны параллелограмма. Достраиваем до параллелограмма: через конец каждого вектора проводим прямую па- раллельную другому вектору. Рис. 10 По определению суммы двух векторов, вектор a b , отложенный от той же точки, что и векторы слагаемые, совпадает с диагональю по- строенного параллелограмма. Ответ: рисунок 18. Пример 3. Построить сумму двух или более данных векторов по пра- вилу треугольника. Решение. Пусть даны 3 вектора a, b и c . Найдем их сумму a b c Отложим вектор a от произвольно выбранной точки А и обозначим его конец через В. Тогда a AB . Отложим вектор b от точки В и обозначим его конец через С, тогда b BC . Отложим вектор c от точки С и обозначим его конец через D, тогда с CD . По правилу треугольника сложения векторов, искомый вектор a b c AD a b b a L A B Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 10 Рис. 11 Ответ: рисунок 11. Пример 4. Построить произведение данного вектора на данное число. Решение. Пусть дан вектор a и число k. Найдем их произведение k a . По определению умножения вектора на число, вектор k a кол- линеарный вектору a и его модуль | k a | | k | | a | . Отложим вектор a от произвольно выбранной точки А и обозначим его конец через В. Тогда a AB . Проведем через точки А и В прямую L. Отложим век- тор k a от точки А, тогда его конец, обозначим его через С, лежит на прямой L и AC k a , причем его длина AC | k a | . Если число k 0 , то векторы AB и AС – сонаправленные, AB AC (рисунок 12): Рис. 12 Если же число k 0 , то векторы AB и AС имеют противоположные направления, AB AC (рисунок 13): Рис. 13 Ответ: рисунки 12 и 13. А В С k a a L А В С k a a L a b c c b a А В С D Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 11 Пример 5. Построить вектор, противоположный данному. Решение. По теореме о простейших свойствах векторного пространст- ва, для любого вектора a противоположный ему вектор a ( 1) a . Тогда, в соответствии с предыдущей задачей получаем, что векторы a и a имеют равные модули, но противоположные направления. Ответ: рисунок 14. Рис. 14 Пример 6. Построить разность векторов. Решение. По определению, разностью a b называется вектор a ( b) , т.е. a b a ( b) . Иначе, разностью векторов a b назы- вается такой вектор с , что a b с Рис. 15 Из рисунка мы видим, что если векторы a и b отложены от одной точки, то начало вектора a b находится в конце вектора b , а конец вектора a b находится в конце вектора a Ответ: рисунок 15. Пример 7. Определить взаимное расположение векторов (1 k)a и (k 1)a , где a – произвольный ненулевой вектор, в зависимости от значений произвольного числового параметра k R . Решение. Так как при умножении вектора на число получается вектор коллинеарный данному, то (1 k)a || a || (k 1)a , откуда следует, что данные векторы коллинеарные при любых значе- ниях параметра k. Из определения умножения вектора на число следу- a b с b a a a Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 12 ет, что (1 k)a (k 1)a (1 k)(k 1) 0 . Решая последнее неравенство, находим ответ. Ответ: при k [ 1;1] , (1 k)a (k 1)a , при k ( ; 1) (1; ) , (1 k)a (k 1)a Пример 8. Пусть О – точка пересечения медиан треугольника АВС, и AD – одна из его медиан. Найдите линейное выражение вектора OA через: а) вектор DA ; б) векторы AB и AC Решение. Смотрите рисунок 16. Из рисунка находим, что векторы OA и DA лежат на одной прямой и сонаправленные. Точка О делит ме- диану AD в отношении 2 : 1, считая от вершины, следовательно, 2 OA DA 3 Далее, точка D – середина стороны ВС, поэтому 1 1 DB CB (AB AC) 2 2 Из треугольника ABD находим 1 1 DA AB DB (AB AC) DA (AB AC) 2 2 Так как 2 OA DA 3 , то 1 OA (AB AC) 3 Рис. 16 D C B A O Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 13 Ответ: а) 2 OA DA 3 ; б) 1 OA (AB AC) 3 п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 7 1. Изобразите на рисунке какой-нибудь произвольный вектор и отло- жите его от произвольно выбранной точки. 2. Изобразите на рисунке вектор, лежащий на оси и имеющий правую (левую) ориентацию. 3. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки, и постройте их сумму по правилу: а) параллелограмма; б) тре- угольника. 4. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки, и постройте их разность. 5. По данным векторам a и b , отложенными от одной точки, постро- ить векторы: а) 2a b ; б) 1 (a 2b) 2 ; в) 3 1 (a 2b) (a 2b) a b 4 4 . 6. В треугольнике АВС дано: AB a, AC b , М – середина стороны ВС. Используя линейные операции с векторами, выразите вектор AM через векторы a и b 7. В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан, AM a, AC b . Используя линейные операции с векторами, выра- зите векторы AB и BC через a и b 8. В равнобочной трапеции ABCD дано: AD 2BC , AB a , BC b Выразите через векторы a и b вектор CD и: а) постройте вектор 1 AB BC CD 2 ; б) докажите, что CD BA BC , 2 1 AC DB AB 3 3 и 1 (AB BC CD) AB 2 9. Даны векторы a и b . Коллинеарны ли векторы: а) c a 2b и d 2a 4b ; б) c a 2b и d 2a 4b ; в) c a 2 3 b и d 3 a 6 b ? Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17 14 10. При каких значениях векторы 2 a и 3 ( 1) a сонаправлен- ные? 11. Дано: | a | 13, | b | 19, | a b | 24 . Найти | a b | . 12. Точка О является центром тяжести треугольника АВС. Доказать, что OA OB OC 0 |