АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.) Пусть 1 1 1 1 z | z | (cos isin ) , 2 2 2 2 z | z | (cos isin ) где 1 1 arg z и 2 2 arg z – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда 1 2 1 2 1 2 1 2 z z | z | | z | (cos( ) isin ( )) Следствие 1. Пусть k натуральное число и k {1, 2, ..., n} . Пусть далее Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 5 k k k k z | z | (cos isin ) , где k k arg z – произвольные n комплекс- ных чисел записанных в тригонометрической форме записи. Тогда 1 2 n 1 2 n 1 2 n z z ... z | z | | z | ... | z | (cos( ) 1 2 n isin ( )) Следствие 2. Пусть n натуральное число и z | z | (cos isin ) – про- извольное комплексное число в тригонометрической форме записи. Тогда n n z | z | (cos n isin n ) . Можно сформулировать следующее правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Правило умножение комплексных чисел При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а ар- гументы складываются. Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.) Пусть 1 2 z, z ,z C – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на ком- плексной плоскости. Тогда: 1) 1 2 1 2 | z z | | z | | z | и | z | | z | Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны; 2) расстояние между точками 1 z и 2 z комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел: 1 2 | z z | ; 3) 1 2 1 2 | z z | | z | | z | ; (неравенство треугольника) 4) 1 2 1 2 | z z | | z | | z | Теорема. (Формула Муавра.) Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство: n (cos isin ) cos(n ) isin (n ) . Следствие. (О целых степенях комплексного числа.) Пусть z | z | (cos isin ) . Тогда n Z Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 6 n n z | z | (cos(n ) isin (n )) . Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической фор- ме) Пусть 1 1 1 1 z | z | (cos isin ) , 2 2 2 2 z | z | (cos isin ) где 1 1 arg z и 2 2 arg z – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда 1 1 1 2 1 2 2 2 z | z | (cos( ) isin ( )) z | z | . Правило деления комплексных чисел При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вы- читаются. п.2. Список задач Список №1 1. Построить комплексное число, заданное в алгебраической форме, на комплексной плоскости, найти его модуль, аргумент, и записать в тригонометрической форме. 2. Построить на комплексной плоскости комплексное число, ком- плексно сопряженное данному, найти его модуль, аргумент, и запи- сать в тригонометрической форме. 3. Записать в алгебраической форме комплексное число, заданное в тригонометрической форме. 4. Найти произведение и частное двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. 5. Найти целую степень комплексного числа, заданного в тригономет- рической форме. 6. Найти расстояние между двумя точками на комплексной плоскости. 7. Изобразить на комплексной плоскости все точки, удаленные от данной на заданное расстояние. 8. Изобразить на комплексной плоскости все комплексные числа, имеющие заданный аргумент. Список №2 1. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетво- ряющих заданным условиям. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 7 п.3. Примеры Пример 1. Построить на комплексной плоскости комплексное число z 1 i и комплексно сопряженное ему z . Найти их модули, аргумен- ты и записать в тригонометрической форме. Решение. Комплексное число z 1 i соответствует на комплексной плоскости точке z с декартовыми координатами (1; 1). Отметим ее на координатной плоскости. Смотрите рисунок 2, из которого мы видим, что |1 i | 2 и arg (1 i) 4 . Отсюда, 1 i 2(cos isin ) 4 4 Найдем, далее тригонометрическую форму числа комплексно сопря- женного числу z 1 i , т.е. z 1 i . Декартовые координаты соответ- ствующей точки на комплексной плоскости равны (1; –1). Рис. 2 Из рисунка 2 мы видим, что |1 i | 2 , arg (1 i) 4 и z 1 i 2(cos isin ) 4 4 Или 7 7 1 i 2(cos isin ) 4 4 Ответ: 1 i 2(cos isin ) 4 4 , 7 7 1 i 2(cos isin ) 4 4 , 7 |1 i | |1 i | 2, arg(1 i) , arg(1 i) 4 4 Пример 2. Записать комплексные числа 1 z 1 i и 2 z 1 i 3 в тригонометрической форме и найти их произведение и частное. 1 z 1 i –1 2 o 45 0 1 z 1 i у х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 8 Решение. Модули комплексных чисел находим по формуле 2 2 | z | | x iy | x y 1 | z | 2 , 2 | z | 2 . Аргументы комплексных чисел находим по формулам y arg z arctg x или y arg z arctg x , взависимости от четверти координатной плоскости, в которой нахо- дится данное комплексное число. Комплексное число 1 z 1 i на комплексной плоскости отожде- ствляется с точкой (–1; 1) и находится во второй четверти, поэтому 1 1 3 arg z arctg ( 1) 4 4 Комплексное число 2 z 1 i 3 на комплексной плоскости нахо- дится в четвертой четверти, поэтому 2 2 arg z arctg ( 3) 3 . Произведение и частное данных чисел находим, руководствуясь правилами умножения и деления комплексных чисел, заданных в три- гонометрической форме: 1 2 3 3 z z 2 2 cos isin 4 3 4 3 5 5 2 2 cos isin 12 12 1 2 z 2 3 3 1 13 13 cos isin (cos isin ) z 2 4 3 4 3 12 12 2 Ответ: 1 1 2 2 z 5 5 1 13 13 z z 2 2 cos isin , (cos isin ) 12 12 z 12 12 2 Пример 3. Вычислить 2010 1 3 i 2 2 Решение. Комплексное число 1 3 z i 2 2 на комплексной плоскости Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 9 находится в третьей четверти, поэтому | z | 1 , 4 arg z arctg 3 3 3 Для вычисления степени данного числа, применим формулу Муавра: 2010 2010 1 3 4 4 i cos isin 2 2 3 3 4 4 cos( 2010) isin ( 2010) 3 3 cos(4 670) isin (4 670) cos0 isin 0 1 . Ответ: 2010 1 3 i 1 2 2 Пример 4. Найти тригонометрическую форму записи комплексного числа z, если: z 2 ; z 3 ; z 3i ; z 2i ; z 1 2i . Решение. Отметим данные точки на комплексной плоскости (смотри- те рисунок 3): z 2 2 0 i ( 2;0) , z 3 3 0 i (3;0) , z 3i 0 3i (0;3) , z 2i 0 2i (0; 2) , z 1 2i ( 1; 2) . Так как модуль комплексного числа равен расстоянию от начала ко- ординат до точки комплексной плоскости, отождествленной с этим числом, то из рисунка мы видим, что | 2 | 2 , | 3| 3 , | 3i | 3 , | 2i | 2 . Модуль комплексного числа z 1 2i находим по формуле: 2 2 | 1 2i | ( 1) ( 2) 5 Аргументы первых четырех чисел очевидны из рисунка 3: arg ( 2) , arg3 0 , arg(3i) 2 , 3 arg ( 2i) 2 Аргумент комплексного числа z 1 2i находим по формуле, учи- тывая, что соответствующая точка находится в третьей четверти: ( 2) arg ( 1 2i) arctg arctg 2 ( 1) Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 10 Рис. 3 Ответ: 2 2(cos isin ) , 3 3(cos0 isin 0) , 3i 3(cos isin ) 2 2 , 3 3 2i 2 cos isin 2 2 , 1 2i 5(cos isin ) , где arctg 2 п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 13 1. Отметьте на комплексной плоскости комплексные числа 1 3 i , найдите их модули, аргументы и запишите в тригонометрической форме. 2. Вычислить: а) 0 0 0 0 cos 20 isin 20 cos 25 isin 25 ; б) 4 4 2 cos isin 9 9 5 5 3 cos isin 18 18 ; в) 0 0 99 cos 20 isin 20 3. Вычислить 0 0 100 0 0 20 (cos17 isin17 ) (cos5 isin 5 ) 4. Вычислить: а) 12 1 i 3 1 i ; б) n 1 i 3 , n Z 2 5. Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чи- у 1 2i О –1 2i 3i 3 –2 х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 11 сел z, удовлетворяющих условию: а) | z | 3 ; б) | z | 2 ; в) arg z 6 ; г) z z 4 . 6. Запишите в тригонометрической форме 0 0 2 sin 20 icos 20 Задачи повышенного уровня сложности 13 7. Запишите в тригонометрической форме: а) sin icos ; б) 2 3 i . (Указание: представьте числа 2 и 3 i векторами на комплексной плоскости и найдите координаты их суммы.); в) 1 cos x isin x, x (2 ; 3 ) . 8. Изобразите множество точек z комплексной плоскости, удовлетво- ряющих условию: а) 2 | (1 i)z i | 2 2 ; б) 1 2 Re i Im z z 9. Из всех чисел z, удовлетворяющих условию z z 25 , найдите та- кие, что | z 7 | | z 5i | принимает наименьшее значение. 10. При каких значениях р среди комплексных чисел z таких, что | z 1 i 3 | p , найдется ровно одно такое, что 4 z R ? 11. Пусть 1 z 1 z . Какое наибольшее значение может принимать | z | ? 12. Пользуясь формулой Муавра, выведите формулы для: а) cos3x ; б) sin 3x 13. Пользуясь формулой Муавра, выразите через первые степени си- нуса и косинуса аргументов кратных х, функции: 3 sin x ; б) 3 cos x . Домашнее задание 13. Комплексная плоскость 1. Отметьте на комплексной плоскости комплексные числа i 3 , найдите их модули, аргументы и запишите в тригонометрической форме. 2. Вычислить 30 3 i 1 i 3. Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чи- сел z, удовлетворяющих условию: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 12 а) z z 3 ; б) 170 arg z 3 и | z | 3 . 4*. Запишите в тригонометрической форме 1 i tg 1 i tg Самостоятельная работа 13 Вариант 1. 1. Определение тригонометрической формы комплексного числа. 2. Изобразите комплексное число z 1 3 i точкой на комплекс- ной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в три- гонометрической форме. 3. Вычислить 3 3 (1 i 3)(cos isin ) 5 5 и записать результат в триго- нометрической форме. Вариант 2. 1. Определение модуля комплексного числа. 2. Изобразите комплексное число z 3 i точкой на комплексной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в триго- нометрической форме. 3. Вычислить ( 3 i) 2 2 cos isin 5 5 и записать результат в тригонометриче- ской форме. Вариант 3. 1. Определение аргумента комплексного числа. 2. Изобразите комплексное число z 3 3 i точкой на комплексной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в триго- нометрической форме. 3. Вычислить 3 5 ( 1 i 3) cos isin 5 5 и записать результат в три- гонометрической форме. Вариант 4. 1. Определение комплексной плоскости. 2. Изобразите комплексное число z 3 3i точкой на комплексной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в триго- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 13 нометрической форме. 3. Вычислить 4 2 ( 3 i) cos isin 5 5 и записать результат в тригонометри- ческой форме. п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 13 Обозначения 1. Обозначение модуля комплексного числа. 2. Обозначение аргумента комплексного числа. 3. Обозначение тригонометрической формы записи комплексного числа. Определения 1. Определение комплексной плоскости. 2. Определение модуля комплексного числа. 3. Определение аргумента комплексного числа. 4. Определение тригонометрической формы записи комплексного числа. Теоремы 1. Теорема о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме. 2. Формулы модуля и аргумента комплексного числа, заданного в ал- гебраической форме записи. 3. Свойства модуля комплексного числа. 4. Формула Муавра. 5. Формула целой степени комплексного числа, заданного в тригоно- метрической форме записи. 6. Правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометри- ческой форме записи. Тест 13 1. Изобразите комплексное число z 3 4i точкой комплексной плоскости. Проведите радиус-вектор отмеченной точки и найдите его модуль. 2. Изобразите комплексное число z 4 3i точкой комплексной плос- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 14 кости. Проведите радиус-вектор отмеченной точки. Постройте на этой же плоскости радиус-векторы точек, соответствующих ком- плексному числу противоположному данному и комплексно со- пряженному данному. 3. Постройте комплексное число z 3 i на комплексной плоско- сти, найдите его модуль, аргумент и запишите его в тригонометри- ческой форме. 4. Постройте на комплексной плоскости комплексное число 11 11 z 2 cos isin 6 6 , найдите его модуль, аргумент, и запишите его в алгебраической форме. 5. Постройте на комплексной плоскости комплексное число 11 11 z 2 cos isin 6 6 , найдите его модуль, аргумент, и запишите его в тригонометрической форме. 6. Найдите алгебраическую форму записи комплексного числа 7 7 z 2(cos isin ) 6 6 7. Найдите алгебраическую форму записи комплексных чисел 1 5 5 z 2(cos isin ) 6 6 и 2 4 4 z 3(cos isin ) 3 3 , и найдите триго- нометрическую форму записи их суммы и разности. 8. Найдите тригонометрическую и алгебраическую формы произведе- ния 1 2 z z и частного 1 2 z z комплексных чисел 1 5 5 z 2(cos isin ) 6 6 и 2 4 4 z 3(cos isin ) 3 3 9. Используя формулу Муавра, найдите степень комплексного числа 17 5 5 2(cos isin ) 6 6 , и найдите его тригонометрическую и алгеб- раическую форму записи. 10. Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чисел z, удовлетворяющих условию: а) z z 1 ; б) z z 1 ; в) 10 arg z 3 и | z | 1 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 14, с.20 1 Практическое занятие 14 Корни из комплексных чисел Краткое содержание: формула корней произвольной степени из комплексного числа, распо- ложение корней на комплексной плоскости, корни из 1, первообразные корни из 1, круговые многочлены, разложение степенного двучлена на неприводимые множители над полем ком- плексных, полем действительных и полем рациональных чисел. п.1. Теория п.1.1. Формула корней n-й степени из комплексного числа |