АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Пример 4. В полярной системе координат на плоскости, стандартным образом совмещенной с прямоугольной, найти полярные координаты точек: А(1; 1), B( 3;1) , C( 1; 3) , D(3; 4) . Решение. Для вычисления полярного радиуса точек используем фор- мулу: 2 2 r x y . Получаем: С А В C 3 4 A 3 4 B 4 О Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 7 A B r 1 1 2, r 3 1 2 , C D r 1 3 2, r 9 16 5 Для вычисления полярного угла воспользуемся формулой: y arctg x , если ; 2 2 , или y arctg x , если 3 ; 2 2 Так как точка А лежит в первой четверти, а точка D – в четвертой, то A D 4 4 arctg1 , arctg arctg 4 3 3 Так как точка В лежит во второй четверти, а точка С – в третьей, то B 1 5 arctg 6 6 3 , C 4 arctg 3 3 3 Ответ: 5 4 4 A( 2; ), B(2; ), C(2; ), D(5; arctg ) 4 6 3 3 Пример 5. Найти направляющие углы и полярный угол вектора a ( 3; 1) . Отложить вектор от начала координат и построить чер- теж. Решение. Построим чертеж (смотрите рисунок 6). Обозначим через М конец вектора a , отложенного от начала координат. Тогда вектор a OM есть радиус-вектор точки М и координаты точки М совпада- ют с координатами её радиус-вектора: M( 3; 1) . Тогда полярный угол вектора, по определению, совпадает с полярным углом точки М в полярной системе координат, совмещенной с прямоугольной. Так как точка М находится в третьей четверти, то её полярный угол равен M 1 7 arctg 6 6 3 Угол между вектором OM и осью Ох равен 5 6 , а угол между вектором OM и осью Оу равен Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 8 M 7 2 2 6 2 3 Рис. 6 Ответ: полярный угол вектора a равен 7 6 , 5 (a ^ Ox) 6 , 2 (a ^ Oy) 3 Пример 6. Найти площадь треугольника с вершинами, заданными в полярной системе координат: О(0; 0), A(1; ) 3 , 7 B(2; ) 6 Решение. Смотрите рисунок 7. Рис. 7 Построим данный треугольник в полярной системе координат Из ри- сунка видим, что внутренний угол АОВ треугольника равен A 3 А В у х B 7 6 О a М у х 5 6 M 7 6 2 3 О Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 9 B A 7 5 AOB 6 3 6 Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: OAB 1 5 1 S OA OB sin( AOB) sin 2 6 2 Ответ: OAB 1 S 2 п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 12 1. Построить в полярной системе координат точки, заданные поляр- ными координатами: A 3; , B(2; ), C 3; 2 4 ; D(4; 3); Е (1; –1). 2. Определить полярные координаты точек, симметричных данным относительно полюса и полярной оси: A 3; , B 2; , C 3; 4 2 3 , D(5; –2). 3. Полярная система координат на плоскости совмещена стандартным образом с ПДСК. В полярной системе координат даны точки: 1 2 3 M 6; , M (5; 0), M 2; 2 4 , 4 5 2 M 10; , M 8; 3 3 . Опреде- лить декартовы координаты этих точек. 4. Полярная система координат на плоскости совмещена с ПДСК. Найти полярные координаты точек, заданных в ПДСК: А(0; 5), В(– 3; 0), C( 3;1), D( 2; 2) , E(1; 3) 5. В полярной системе координат даны две вершины 4 A 3; 9 и 3 B 5; 14 параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма. 6. В полярной системе координат даны точки 2 A 8; 3 и B 6; 3 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 10 Вычислить полярные координаты середины отрезка АВ. 7. Вычислить площадь треугольника ОАВ, где О – полюс полярной системы координат, A 5; , B 4; 4 12 – полярные координаты двух его других вершин. Задачи повышенного уровня сложности 12 8. В полярной системе координат даны две противоположные верши- ны квадрата: 7 A 6; 12 и C 4; 6 . Найти его площадь. 9. Полярная система координат совмещена с ПДСК стандартным об- разом. Найти ГМТ плоскости, координаты которых совпадают в обеих системах координат. 10. Одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной системы координат, а другие в точках А(2; 0) и B 4; 3 . Найти радиус впи- санной в треугольник окружности. 11. Полюс полярной системы координат совмещен с вершиной пра- вильного треугольника со стороной 1, а полярный луч направлен по его стороне. Найдите полярные координаты всех вершин тре- угольника. Домашнее задание 12. Полярная система координат 1. В ПДСК даны точки: А(0; 1), В(0; –1), С(1; 0), D(–1; 0), Е(1; 1), F(1; –1), G(–1; –1), H(–1; 1), I(1; 3), J( 3;1) . Найдите их полярные ко- ординаты в полярной системе координат стандартным образом со- вмещенной с прямоугольной. 2. Вычислить площадь треугольника, вершины которого заданы в по- лярной системе координат: A 3; 8 , 7 5 B 8; , C 6; 24 8 3. Полюс полярной системы координат совмещен с центром правиль- ного треугольника со стороной 1, а полярный луч параллелен его стороне. Найдите полярные координаты всех вершин треугольника. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 11 Самостоятельная работа 12 Вариант 1. 1. Определение полярного радиуса точки в полярной системе коорди- нат. 2. Постройте в полярной системе координат точку A 2; 3 и найди- те полярные координаты точки, симметричной точке А относи- тельно полюса. 3. Постройте в полярной системе координат треугольник АВС и най- дите его угол при вершине А, если его вершины имеют координа- ты: 4 A(0;0), B 3; , C 4; 3 3 Вариант 2. 1. Определение полярного угла точки в полярной системе координат. 2. Постройте в полярной системе координат точку 2 A 2; 3 и найди- те полярные координаты точки, симметричной точке А относи- тельно полярного луча. 3. Постройте в полярной системе координат треугольник АВС и най- дите его угол при вершине А, если его вершины имеют координа- ты: 7 A(0;0), B 3; , C 4; 6 6 Вариант 3. 1. Определение полярных координат точки в полярной системе коор- динат. 2. ПДСК совмещена с полярной. Найдите декартовые координаты точки, заданной полярными координатами 5 A 2; 3 . Постройте чертеж. 3. Найдите площадь треугольника АВС, если его вершины в полярной системе координат имеют координаты: 4 A(0;0), B 3; , C 4; 3 3 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 12 Вариант 4. 1. Определение полярной системы координат. 2. ПДСК совмещена с полярной. Найдите полярные координаты точ- ки, заданной декартовыми координатами A 3; 4 . Постройте чертеж. 3. Найдите площадь треугольника АВС, если его вершины в полярной системе координат имеют координаты: 7 A(0;0), B 3; , C 4; 6 6 Постройте чертеж. п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 12 Обозначения 1. Обозначение полярного радиуса точки плоскости. 2. Обозначение полярного угла точки плоскости. 3. Обозначение полярных координат точки плоскости. Определения 1. Определение полюса и полярного луча. 2. Определение полярного радиуса точки плоскости. 3. Определение полярного угла точки плоскости. 4. Определение полярных координат точки плоскости. 5. Определение полярной системы координат на плоскости. 6. Определение стандартного совмещения полярной системы коорди- нат с ПДСК. 7. Определение полярного угла вектора на координатной плоскости. Теоремы 1. Связь декартовых координат точки с её полярными координатами. 2. Вычисление полярных координат точки по известным её декарто- вым координатам. 3. Связь полярного угла вектора на координатной плоскости с его на- правляющими углами. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.13 13 Тест 12 1. В полярной системе координат на плоскости постройте точки, за- данные своими полярными координатами: 5 A 2; , B(3; ), C 1; 2 4 2. Определить полярные координаты точек, симметричных точке 5 A 3; 6 относительно полюса и полярной оси. 3. Постройте на координатной плоскости, точку с полярными коорди- натами 7 M(4; ) 6 и найдите её декартовые координаты. 4. Зная декартовые координаты точки M( 3, 1) , найдите её полярные координаты и укажите их на координатной плоскости. 5. На плоскости дан квадрат со стороной 1 и полярная система коор- динат, в которой полюсом служит центр квадрата, а полярный луч проходит через середину его стороны. Найдите полярные коорди- наты вершин квадрата. 6. На плоскости дан квадрат со стороной 1 и полярная система коор- динат, в которой полюсом служит центр квадрата, а полярный луч проходит через одну из его вершин. Найдите полярные координаты вершин квадрата. 7. На плоскости дан квадрат со стороной 1 и полярная система коор- динат, в которой полюсом служит вершина квадрата, а полярный луч проходит через вершину, противоположную полюсу. Найдите полярные координаты вершин квадрата. 8. На плоскости дан правильный треугольник со стороной 1 и поляр- ная система координат, в которой полюсом служит центр треуголь- ника, а полярный луч проходит параллельно его стороне. Найдите полярные координаты вершин треугольника. 9. На плоскости дан правильный треугольник со стороной 1 и поляр- ная система координат, в которой полюсом служит одна из вершин треугольника, а полярный луч проходит по его стороне. Найдите полярные координаты вершин треугольника. 10. Вычислить площадь треугольника ОАВ, где О – полюс полярной системы координат, A 5; , B 4; 4 12 – полярные координаты двух его других вершин. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 1 Практическое занятие 13 Комплексная плоскость Краткое содержание: комплексная плоскость, модуль и аргумент комплексного числа, триго- нометрическая форма записи комплексных чисел, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи, формула Муавра. п.1. Теория п.1.1. Комплексная плоскость Теорема. Между множеством комплексных чисел и множеством то- чек координатной плоскости существует взаимно однозначное соот- ветствие. Это соответствие устанавливается правилом: 2 z x yi C (x, y) R В силу этого соответствия можно каждое комплексное число z x yi C отождествить с точкой координатной плоскости Оху, которая имеет координаты (х, у). Определение.__Модулем_комплексного_числа_называется_полярный_радиус_точки_комплексной_плоскости_отождествленной_с_этим_чис-_лом,_и_обозначается_|_z_|_r_._Определение.'>Определение. Координатная плоскость, каждая точка которой ото- ждествлена с комплексным числом, называется комплексной плоско- стью. Ось абсцисс Ох, в этом случае, называется действительной осью, ось ординат Оу – мнимой осью. Рис. 1 Замечание. Существует взаимно однозначное соответствие между точками координатной плоскости и их радиус-векторами. Поэтому также существует взаимно однозначное соответствие и между всеми комплексными числами и радиус-векторами соответствующих точек комплексной плоскости. В силу этого соответствия, можно графиче- ски изображать комплексные числа радиус-вектором соответствую- щей точки на комплексной плоскости. (Смотрите рисунок 1.) r О а у х z a bi b Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 2 Итак, чтобы изобразить комплексное число z точкой на комплекс- ной плоскости нужно записать его в алгебраической форме записи, и построить в ПДСК на этой плоскости точку, абсцисса которой равна действительной части, а ордината – мнимой части данного комплекс- ного числа z. п.1.2. Модуль и аргумент комплексного числа Введем на комплексной плоскости полярную систему координат стандартным образом совмещенную с ПДСК, т.е. с полюсом в начале координат и полярным лучом, совмещенным с положительной полу- осью абсцисс. Тогда точка z имеет полярные координаты (r, ) , где r – полярный радиус точки z, а – ее полярный угол. (Рисунок 1.) Определение. Модулем комплексного числа называется полярный радиус точки комплексной плоскости отождествленной с этим чис- лом, и обозначается | z | r . Определение. Аргументом комплексного числа называется полярный угол точки комплексной плоскости отождествленной с этим числом, и обозначается arg z . Таким образом, полярные координаты точки z комплексной плоскости называются модулем и аргументом комплексного числа z. Из определений следует, что | z | [0; ) , arg z [0; 2 ) или arg z ( ; ] . Можно дать следующее определение модуля комплексного числа сов- падающее с первым. Определение. Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат комплексной плоскости до точки, отождествлен- ной с этим числом. п.1.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Теорема. Пусть точка z комплексной плоскости имеет декартовые ко- ординаты (х, у), т.е. z x yi и полярные (r, ) , тогда они связаны соотношением: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 3 x r cos y r sin По определению, r | z |, arg z и, подставляя в алгебраическую форму записи числа z, получаем: z x yi | z | cos(arg z) i | z | sin (arg z) | z | (cos(arg z) isin (arg z)). Определение. Запись комплексного числа в виде z | z | (cos(arg z) isin (arg z)) называется его тригонометрической формой. Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколь- ко, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде: z | z | (cos isin ) , где arg z Теорема. (О равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме.) Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы. Используя соотношения, которые связывают полярные и декартовые координаты точки плоскости, можно найти модуль и аргумент ком- плексного числа зная его действительную и мнимую части. Теорема. Пусть z x yi , т.е. x Rez, y Imz . Тогда 2 2 y | z | x y , arg z arctg x , если точка z лежит в первой или четвертой четверти или y arg z arctg x , если точка z лежит во второй или третьей четверти. Замечания. Если полярный угол лежит в первой или четвертой чет- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 12, с.14 4 верти: ; 2 2 , то его можно выразить через арксинус: 2 2 y y sin r x y и 2 2 y arcsin x y Если полярный угол лежит в первой или второй четверти: [0; ] , то его можно выразить через арккосинус: 2 2 x x cos r x y и 2 2 y arccos x y Если же если полярный угол лежит в третьей четверти: 3 ; 2 , то 2 2 2 2 y x arcsin 2 arccos x y x y В некоторых случаях удобнее не пользоваться формулами, а изо- бражать на чертеже соответствующую точку на комплексной плоско- сти и находить модуль и аргумент комплексного числа пользуясь чер- тежом. Смотрите ниже примеры. Несмотря на то, что cos( ) cos , а sin ( ) sin , форма за- писи комплексного числа z с аргументом arg z в виде z | z | (cos isin ) не является тригонометрической, т.к. arg z . В этом случае правильной записью тригонометриче- ской формы комплексного числа будет: z | z | (cos( ) isin ( )) или z | z | (cos(2 ) isin (2 )) . |