АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 11 из 44

Определение.
Угол между положительными направлениями коорди- натных осей называется координатным углом.
п.1.3. Общая декартовая система координат на плоскости
Выберем упорядоченную пару неколлинеарных координатных осей на плоскости с общим началом координат, с правой ориентацией, с про- извольным координатным углом и с одинаковым масштабом. Первую ось обозначим Ох и назовем её осью абсцисс, вторую – Оу и назовем её осью ординат.
Для каждой точки плоскости определим понятие её координат. Пусть
М – произвольная точка плоскости. Проведем через точку М прямые параллельные координатным осям. Точку пересечения построенной прямой с осью Ох обозначаем M . Вторую точку пересечения обозна- чим M .
Рис. 5
Определение.
Точка M называется проекцией точки М на ось Ох параллельно оси Оу, а точка M называется проекцией точки М на ось Оу параллельно оси Ох. х у
О
M
M (y )

M
M (x )

M
M
M(x ; y ) у х
О
у х
О

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 3
Определение.
Координата
M
x точки M на оси Ох называется абс- циссой точки М, а координата
M
y точки M на оси Оу называется ординатой точки М. Упорядоченная пара
M
M
(x , y ) называется коор- динатами точки М.
Определение.
Плоскость, на которой выбраны две неколлинеарные координатные оси с правой ориентацией, с общим началом координат, общим масштабом и для каждой точки которой определено понятие её координат, называется координатной плоскостью. Говорят также, что на плоскости введена общая декартовая система координат.
п.1.4. Прямоугольная декартовая система координат на плоскости
Определение.
Декартовая система координат на плоскости с прямым координатным углом называется прямоугольной.
Рис. 6
Определение.
Вектор
OM
, где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки М.
Введем, для произвольного вектора a
, обозначения: x
x y
y a
пр a, a пр a


Определение.
Координатами вектора называются его проекции на координатные оси.
Теорема.
(О координатах точки и ее радиус-вектора.) Координаты точки М в ПДСК на плоскости совпадают с координатами её радиус- вектора:
M
M (y )

M
M
M(x , y ) у х
О
M
M (x )

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 4
M
x
M
y x = пр OM, y = пр OM .
Замечание.
В силу взаимно однозначного соответствия:
M
M
x y
M
(x , y ) (пр OM, пр OM)
OM



принято отождествлять радиус-вектор
OM
с упорядоченной парой его координат:
M
M
x y
OM (x , y ) (пр OM, пр OM)


п.1.5. Координатная форма записи вектора координатной плоско-
сти
Определение.
Пусть a
– произвольный вектор координатной плоско- сти Оху. Запись вектора в виде x
y x
y a (пр a, пр a) (a , a )


, называется его координатной формой записи.
Теорема.
(О равенстве векторов.) Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты: x
x y
y a b
(a b ) & (a b )
 


Теорема.
(О действиях с векторами в координатной форме записи.)
При сложении векторов их координаты складываются, а при умноже- нии вектора на число каждая координата вектора умножается на это число: x
x y
y a b (a b , a b )
 


и x
y k a (k a , k a )
  

, где a, b – произвольные векторы координатной плоскости Оху, k R

– произвольное действительное число.
Теорема.
(О вычислении координат вектора.)
Для того, чтобы вычислить координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты его начала:
B
A
B
A
AB (x x ; y y )



Теорема.
(Расстояние между двумя точками плоскости.)
Пусть
A
A
A(x , y ) и
B
B
B(x , y ) – две произвольные точки координат-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 5 ной плоскости Оху. Тогда расстояние между ними можно вычислить по формуле:
2 2
B
A
B
A
AB
(x x )
(y y )




Теорема.
(О модуле вектора.) Модуль вектора равен корню квадрат- ному из суммы квадратов его координат:
2 2
x y
| a |
a a


Обозначим углы между вектором и координатными осями:
(a ^ Ox)
, (a ^ Oy)
 
  .
Рис. 7
Определение.__Углы_между_вектором_и_координатными_осями_назы-_ваются_его_направляющими_углами,_а_их_косинусы_–_его_направляю-_щими_косинусами._Теорема.'>Определение.
Углы между вектором и координатными осями назы- ваются его направляющими углами, а их косинусы – его направляю- щими косинусами.
Теорема.
(О направляющих косинусах вектора.) Пусть x
y a (a ; a )

Тогда y
x a
a cos
, cos
| a |
| a |
 
 
и
2 2
cos cos
1
 
  .
Определение.
Вектор единичной длины, сонаправленный с вектором a
называется его ортом, и обозначается o
a
Теорема.
(Об орте вектора.) Направляющие косинусы вектора явля- ются координатами его орта:
 х a

у
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 6
o a
a
(cos ; cos )
| a |



 .
п.1.6. Деление отрезка в данном отношении
Теорема.
(О координатах точки, делящей отрезок.) Пусть
A
A
B
B
C
C
A(x , y ), B(x , y ), C(x , y ) – три произвольные точки коорди- натной плоскости Оху, лежащие на одной прямой L, и точка С делит отрезок АВ в отношении
C
AB
  
, считая от точки А. Тогда
A
B
A
B
C
C
x x
y y
x
, y
1 1
  
  


 
 
и
C
C
A
C
A
AB
B
C
B
C
x x
y y
x x
y y







Следствие.
Если точка С есть середина отрезка АВ, то
A
B
A
B
C
C
x x
y y
x
, y
2 2




п.2. Список задач
Список №1
1. Построить чертеж общей ДСК на плоскости с данным координат- ным углом, и отметить на нем точку с заданными координатами.
2. Найти расстояние от данной точки плоскости до координатных осей в общей ДСК с данным координатным углом.
Следующие задачи предполагается решать в ПДСК на плоскости.
3. Построить чертеж ПДСК на плоскости, и отметить на нем точку с заданными координатами.
4. Найти на координатной плоскости точку, симметричную данной относительно координатных осей и начала координат.
5. Построить в ПДСК на плоскости радиус-вектор точки с заданными координатами, и найти его координаты.
6. В ПДСК на плоскости отложить от данной точки вектор с данными координатами.
7. Дан вектор в координатной форме записи. Найти его модуль, орт и направляющие косинусы.
8. Дан орт вектора и его модуль. Найти его координаты, и записать в координатной форме. Построить чертеж координатной плоскости, и отложить от начала координат найденный вектор и его орт.
9. Дан модуль вектора и один из двух направляющих углов. Найти ко- ординаты вектора, и отложить его от начала координат.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 7
10. Найти координаты вектора по известным координатам его начала и конца.
11. Найти координаты суммы векторов и произведения вектора на число.
12. Найти расстояние между двумя точками с известными координа- тами.
13. Найти отношение, в котором данная точка делит данный отрезок.
14. На данном отрезке найти координаты точки, делящей данный от- резок в данном отношении.
15. Найти координаты середины отрезка.
Список №2
1. Зная расстояния от точки до координатных осей, найти её коорди- наты в данной общей ДСК.
2. Найти на координатной плоскости точку симметричную данной от- носительно биссектрисы координатного угла, и биссектрисы угла, смежного с координатным.
3. Найти на координатных осях точку, удаленную от данной точки на данное расстояние.
4. Точка с одной известной координатой делит данный отрезок в дан- ном отношении. Найти неизвестную координату этой точки.
п.3. Примеры
Пример 1.
Построить точку М(2; 1) в общей ДСК с координатным уг- лом o
60
, и найти расстояния от неё до координатных осей.
Решение. Смотрите рисунок 8. На оси Ох откладываем точку С(2). На оси Оу откладываем точку D(1). Через точки С и D проводим прямые, параллельные координатным осям. Их точка пересечения есть иско- мая точка М(2; 1). Из точки М опускаем перпендикуляры на коорди- натные оси: МА и МВ. Это искомые расстояния от точки М до коор- динатных осей. По построению, OCMD является параллелограммом, поэтому
CM OD 1, MD OC 2



 . В прямоугольном треугольнике
АМС, угол А прямой, угол АСМ равен координатному углу, следова- тельно, o
3
AM CM sin 60 2



Аналогично, из треугольника DMB находим
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 8
o
BM DM sin 60 3



Рис. 8
Ответ: рисунок 8,
3
d(M,Ox)
, d(M,Oy)
3 2


Пример 2.
Отложить на координатной плоскости Оху вектор a ( 3;1)
 
от точки А(2; 1).
Решение. Смотрите рисунок 9.
Рис. 9
Обозначим через В – конец искомого вектора, С и D – проекции точ- ки А на координатные оси.
Проекция вектора a
на ось абсцисс равна минус 3, поэтому откла- дываем на оси Ох от точки С влево от нее 3 единицы и отмечаем точ- ку Е(–1). Проекция вектора a
на ось равна 1, поэтому откладываем на o
60
В
А
С(2)
D(1)
М
у х
О
O
B
F(2)
E(–1)
D(1)
С(2)
А(2;1) у х

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 9 оси Оу от точки D вверх от нее одну единицу и отмечаем точку F(2). В точках Е и F восстанавливаем перпендикуляры. Их точка пересечения есть искомая точка В.
Построенный вектор AB равен данному вектору a
, так как равны их координаты – их проекции на координатные оси.
Ответ: рисунок 9.
Пример 3.
Найти модуль, орт и направляющие косинусы вектора a ( 3;1)
 
Решение.
2 2
| a |
( 3)
1 10




, x
a
3
cos
| a |
10

 

, y
a
1
cos
| a |
10
 

, o
a
1 3
1
a
( 3;1)
;
| a |
10 10 10





 




Ответ: o
3 1
3 1
| a |
10, cos
, cos
, a
;
10 10 10 10




 
 
 




Пример 4.
Найти координаты вектора a
, и записать его в координат- ной форме, если его модуль равен 10, а его направляющий угол
 в 2 раза больше направляющего угла

Решение. Воспользуемся соотношением
2 2
cos cos
1
 
  , и тем, что по условию задачи
2
   . Получаем уравнение
2 2
cos cos 2 1
 
 
Воспользуемся формулой косинуса половинного аргумента:
2 1 cos 2
cos
2


 
, и, подставляя в уравнение, получаем
2 2cos 2
cos 2 1 0
 
  
Решая последнее уравнение находим его корни, учитывая, что, по оп- ределению, направляющий угол не превосходит o
180
:
1 2
;
6 2


 
  .
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 10
Следовательно,
1 2
;
3

 
   . Теперь, зная направляющие углы век- тора, находим его орт: o
o
1 2
1 1
2 2
3 1
a
(cos ;cos ) (
; ), a
(cos
;cos
) (0; 1)
2 2


 


 
 .
Умножая орт вектора на его модуль, получаем запись вектора в коор- динатной форме: o
a | a | a
| a | (cos ; cos )




 .
Ответ:
1 2
a
(5 3;5), a
(0; 10)



Пример 5.
Найти координаты вектора AB , если А(1; 3), В(–1; 7).
Решение. Воспользуемся формулой:
B
A
B
A
AB (x x ; y y ) ( 2;4)



 
Ответ: AB ( 2;4)
 
Пример 6.
Найти координаты вектора
2a 4b

, если a (5; 1), b (2;7)



Решение. Действия с векторами в координатной форме удобнее про- изводить, когда координаты вектора записаны не в строчку, а столб- цом:
5 2
10 8
2 2a 4b 2 4
1 7
2 28 30
 
  
   







 
  
   




 
  
   

Ответ: 2a 4b (2; 30)



Пример 7.
Найти расстояние между точками: А(1; 3), В(–1; 7).
Решение. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками координатной плоскости:
2 2
2 2
B
A
B
A
AB
(x x )
(y y )
( 2)
4 2 5








Ответ: 2 5 .
Пример 8.
Найти отношение, в котором точка С(2; 1) делит отрезок
А(1; 3), В(–1; 7), считая от точки А.
Решение. 1-й способ. Сначала убеждаемся в том, что данные точки

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 11 находятся на одной прямой. Находим координаты векторов
CB ( 3;6)
 
и AC (1; 2)
  . Координаты этих векторов пропорцио- нальны:
1 2
3 6



, следовательно, векторы коллинеарные и данные точки лежат на одной прямой. Более того,
1 1
AC (1; 2)
CB
( 3;6)
3 3
   
  
Из определения отношения, в котором точка С делит отрезок АВ, счи- тая от точки А:
C
AB
AC
CB
  
, находим, что
C
AB
1 3
   .
2-й способ. Если данные точки находятся на одной прямой, то верны равенства:
C
C
A
C
A
AB
B
C
B
C
x x
y y
x x
y y







Подставляя данные координаты в эти равенства, получаем:
2 1 1 3 1
1 2 7 1 3



 
 

Следовательно, данные точки лежат на одной прямой и искомое от- ношение
C
AB
1 3
   .
3-й способ. Сначала убедимся в том, что данные точки лежат на одной прямой. Для этого найдем длины отрезков АВ, АС, СВ:
AB 2 5, AC
5, CB 3 5



Так как
CB CA AB


, то это означает, что точки А, В и С лежат на одной прямой. Далее, воспользуемся теоремой о вычислении отноше- ния, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А:
C
AB
AC
CB

 
, где знак плюс берется в том случае, когда точка С делит отрезок АВ внутренним образом, и знак минус, когда точка С делит отрезок АВ
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 12
внешним образом. Получаем отсюда:
C
AB
AC
5 1
CB
3 3 5

 
 
  . Если бы точка С находилась между точками А и В на отрезке АВ, тогда выполнялось бы одно из следующих неравенств:
A
C
B
x x
x


или
B
C
A
x x
x


, но в нашем случае,
C
A
B
x
2 x
1 x
1
 
 
  . Это означает, что точка
С делит отрезок АВ внешним образом, и нужно выбрать знак минус.
Ответ:
C
AB
1 3
   .
Пример 9.
Найти координаты точки С, если известно, что она делит отрезок А(1; 3), В(–1; 7), считая от точки А, в отношении 3 : 2.
Решение. Воспользуемся формулами:
C
C
A
AB
B
A
AB
B
C
C
C
C
AB
AB
x x
y y
x
, y
1 1
 

 



 
 
По условию задачи,
C
AB
3 2

 . Из данных формул находим:
C
C
3 3
1
( 1)
3 7
1 27 2
2 2
x
, y
5 3
3 5
5 5
1 1
2 2
  
 

 





Ответ:
1 2
C
; 5 5
5







Пример 10.
Найти координаты середины отрезка АВ, если А(1; 3),
В(–1; 7).
Решение. Воспользуемся формулами координат середины отрезка:
A
B
A
B
C
C
x x
y y
1 ( 1)
3 7
x
0, y
5 2
2 2
2


 






 .
Ответ: (0; 5).
п.3. Задачи
Задачи для аудиторного решения 9
1. Построить точки с данными координатами в косоугольной системе координат с координатным углом o
60
: А(1; 2); В(–3; 1); С(1; –2);

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 9, с.17 13
D(–2; –2).
2. Относительно косоугольной системы координат с координатным углом o
45
дана точка М(4; 2). Определить расстояние от этой точ- ки до осей координат.
Следующие задачи решаем в ПДСК.
3. Постройте на координатной плоскости точку А(1; 4) и точки, сим- метричные данной относительно координатных осей и начала ко- ординат.
4. Постройте на координатной плоскости точку А(1; 4) и её радиус- вектор, и найдите его координаты.
5. Отложите от точки А(–2; –3) вектор a ( 1;7)
 
6. Найдите модуль, направляющие косинусы и орт вектора a ( 1;7)
 
7. Найдите координаты вектора a
, если | a | 2
 и o
3 4
a
(
;
)
5 5
  
8. Найдите координаты вектора, если его модуль равен 5, а угол меж- ду вектором и осью ординат равен o
150 9. Найдите координаты вектора AB , если
8 9
7 11
A
;
, B
;
3 4
4 3














10.
Найдите координаты вектора d a 2b 3c
 

, если a ( 1; 7), b (2;5), c (1; 3)
  

  .
11. Даны две смежные вершины квадрата А(3; –7) и
В(–1; 4). Вычислите его площадь.
12. Найдите отношение, в котором точка С(4; 5) делит отрезок АВ, считая от точки А, если А(1; –1), В(3; 3). Убедитесь сначала, что данные точки лежат на одной прямой.
13. На отрезке АВ, где А(–4; 5), В(1; –1), найдите точку С, которая де- лит его в отношении 3 : 5, считая от точки А.
14. Найдите координаты середины отрезка АВ, если: а) А(–4; 5), В(1; –1); б)
8 9
7 11
A
;
, B
;
3 4
4 3













