АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 19 из 44

Теорема.
(Скалярное произведение векторов в координатной форме.)
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соот- ветствующих координат, т.е. если
1 1
1 1
1 1
a x i y j z k (x , y , z )




,
2 2
2 2
2 2
b x i y j z k (x , y , z )




, то
1 2 1 2 1 2
a b x x y y z z
 


Следствие 1.
Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат, т.е. если a (x, y,z)

, то
2 2
2
| a |
x y
z



Следствие 2.
Если векторы заданы в координатной форме,
1 1
1 2
2 2
a (x , y ,z ), b (x , y ,z )


, то угол между ними можно вычислить по формуле:
1 2 1 2 1 2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
2 2
2
x x y y z z a b
(a ^ b) arccos arccos
| a | | b |
x y
z x
y z











Следствие 3.
Если векторы заданы в координатной форме
1 1
1 2
2 2
a (x , y ,z ), b (x , y ,z )


, то проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле:
1 1 2 2 1 2
b
2 2
2 2
2 2
x y x y z z a b пр a
| b |
x y
z







Физический смысл скалярного произведения
Работа А, производимая вектором силы
F при перемещении матери- альной точки вдоль вектора перемещения s
равна их скалярному про- изведению:
A F s
 

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 3
п.2. Список задач
Список №1
1. Вычислить скалярное произведение двух векторов, если известны их модули и угол между ними.
2. Найти скалярный квадрат вектора, если известен его модуль.
3. Найти модуль вектора, если известен его скалярный квадрат.
4. Найти скалярный квадрат и модуль суммы двух векторов, если из- вестны модули слагаемых и угол между ними.
5. Зная координаты двух векторов, вычислить их скалярное произве- дение.
6. Найти скалярный квадрат вектора и его модуль, если известны его координаты.
7. Зная координаты двух векторов, вычислить проекцию одного век- тора на другой.
8. Зная координаты двух векторов, вычислить угол между ними.
9. Проверить ортогональность векторов.
10. Вычислить работу, совершаемую вектором силы вдоль вектора перемещения материальной точки.
Список № 2
1. Задачи планиметрии и стереометрии, решаемые с помощью метода координат, и с применением скалярного произведения.
п.3. Примеры
Пример 1.
Найти скалярное произведение векторов a
и b
, если
5
| a | 2, | b | 5, (a ^ b)
6




Решение. По определению скалярного произведения
5
a b | a | | b | cos(a ^ b) 2 5 cos
5 3 6

 


  
 
Ответ: 5 3

Пример 2.
Найти скалярный квадрат вектора a
, если его модуль ра- вен 3.
Решение. Воспользуемся свойством скалярного произведения, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
2 2
2
a
| a |
3 9


 . Ответ: 9.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 4
Пример 3.
Найти модуль вектора, если его скалярный квадрат равен
18.
Решение. Воспользуемся свойством скалярного произведения, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
2 2
a
| a | 18


Отсюда находим модуль вектора.
Ответ:
3 2
Пример 4.
Найти
2
(a b)

и | a b |
 , если | a | 2, | b |
2


,
3
(a ^ b)
4


Решение. Воспользуемся свойством линейности скалярного произве- дения, и найдем скалярный квадрат суммы:
2 2
2 2
2 3
(a b)
a
2a b b
| a |
2 | a | | b | cos
| b |
2 4




 





 .
Отсюда,
2
| a b |
(a b)
2
 


Ответ:
2
(a b)
2, | a b |
2


 
Пример 5.
Найти скалярное произведение векторов a ( 2;5; 3), b (1;2;3)
 


Решение. Воспользуемся формулой вычисления скалярного произве- дения векторов, заданных в координатной форме:
1 2 1 2 1 2
a b x x y y z z
2 10 9 1
 


  
  
Ответ: –1.
Пример 6.
Найти скалярный квадрат вектора a ( 2;6; 3)
 
 , и его мо- дуль.
Решение. Вычисляем скалярный квадрат данного вектора, используя формулу скалярного произведения векторов, заданных в координат- ной форме:
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 1
a a a x x y y z z x
y z
4 36 9 49
  





 
 
По свойству скалярного произведения, модуль вектора равен квадрат- ному корню из его скалярного квадрата:
2
| a |
a
49 7


 .
Ответ: 7.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 5
Пример 7.
Найти проекцию вектора a (1;2;4)

на вектор b ( 2;6; 3)
 
 .
Решение. Воспользуемся формулой вычисления проекции вектора на вектор, если векторы заданы в координатной форме:
1 1 2 2 1 2
b
2 2
2 2
2 2
x y x y z z a b
2 12 12 2
пр a
7
| b |
4 36 9
x y
z



 










Ответ:
2 7
 .
Пример 8.
Найти угол между векторами a ( 3;0;4)
 
и b ( 2;6; 3)
 
 .
Решение. Вычисляем скалярное произведение данных векторов и их модули: a b 6 0 12 6, | a | 5, | b | 7
   
 

 .
По формуле угла между векторами, находим a b
6
(a ^ b) arccos arccos
35
| a | | b |











Ответ:
6
arccos
35







Пример 9.
Выяснить, ортогональны ли векторы a ( 2;6;4)
 
и b (1; 3;5)
 
Решение. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Вычисляем скалярное произведение данных векторов: a b
2 18 20 0
    

Ответ: данные векторы ортогональные.
Пример 10.
Вычислить, какую работу производит сила f
(3; 5; 2)


, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора s (2; 5; 7)

  .
Решение. Работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:
A f s 6 25 14 17
   


Ответ: 17.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 6
Пример 11.
Вычислить тупой угол, образованный медианами, прове- денными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.
Решение. Обозначим длины катетов данного равнобедренного прямо- угольного треугольника через а, и введем систему координат как на рисунке 1.
Рис. 1
Искомый угол равен углу между векторами a
1
AM
a;
a
1;
2 2




 










и a
1
BN
; a a
; 1 2
2
















По формуле угла между векторами, получаем:
2 2
AM BN
a
4
cos(AM ^ BN)
5 5
| AM | | BN |
a
4




 

Ответ:
4
arccos
5







п.4. Задачи
Задачи для аудиторного решения 15
1. Зная, что | a |
2, | b |
3


, вычислить скалярное произведение век- торов a
и b
, если угол между ними равен: а)
2 3

; б)
3 4

; в)
6

; a
N
2
 
 
 
a
M
2
 
 
 
В(а)
А(а) х у
О

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 7 г)
2

; д)
5 6

; е)
3

; ё)
4

2. Найти скалярный квадрат вектора a
, если его модуль равен
3 4
3. Найти модуль вектора, если известно, что его скалярный квадрат равен
3 4
4. Дано: | a | 2, | b |
2, (a ^ b)
4



 . Найти: а)
2
(a b)

; б) | a b |
 ; в) (3a 2b)(a 2b)


5. Даны векторы a (4; 2; 4), b (6; 3; 2)

 


. Вычислить их скаляр- ное произведение.
6. Вычислить скалярный квадрат вектора a (4; 2; 4)

  и его модуль.
7. Вычислить проекцию вектора a (5; 2; 5)

на вектор b (2; 1; 2)


8. Вычислить косинус угла, образованного векторами a (2; 4; 4)


и b ( 3; 2; 6)
 
9. Дано, что | a | 3, | b | 5

 . Определить, при каком значении

векто- ры a b, a b
 
  будут ортогональны.
10. Найти работу производимую силой f
(3; 2; 5)

  , когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(2; –
3; 5) в точку В(3; –2; –1).
11. Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1) и С(1; –2; 1).
Найти его внешний угол при вершине А.
12. Даны три вектора a 3i 6j k, b i 4j 5k
  
  
и c 3i 4j 12k
  
Вычислить с
пр (a b)
 .
Задачи повышенного уровня сложности 15
13. Векторы a
и b
образуют угол
6

. Зная, что | a |
3

, | b | 1
 , вы- числить угол между векторами p a b
  и q a b
  .
14. Даны две точки А(3; –4; –2), В(2; 5; –2). Найти проекцию вектора
AB
на ось, составляющую с координатными осями углы o
o
60 ,
120
 
 
, а угол
 – тупой.
15. Найти проекцию вектора a (4; 3; 2)


на ось, если она составляет
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 8
с координатными осями равные острые углы.
16. Вектор x коллинеарный вектору a (6; 8; 7,5)

 
образует острый угол с осью Oz. Зная, что | x | 50

, найти его координаты.
17. Найти угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла треугольника, если его катеты относятся друг к другу как m : n.
18. Пусть АBCD – правильный тетраэдр с ребром равным 1, О – центр описанной около него сферы. Введите, удобным для вас образом,
ПДСК Охуz и найдите: а) координаты вектора
OA
, его модуль и направляющие косинусы; б) косинус угла между ребром АВ и ра- диусом ОА.
Домашнее задание 15. Скалярное произведение векторов
1. Векторы a
и b
ортогональны, вектор c
образует с ними углы, рав- ные
3

. Зная, что | a | 3, | b | 5, | c | 8


 , вычислить: а) a b

; б) b c

; в) a c

; г)
2
a ; д)
2
b ; е)
2
c ; ё)
2
(a 2b 3c)


2. Векторы a, b, c , попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен o
60 . Зная, что | a | 4, | b | 2

 , | c | 6
 , определить модуль вектора p a b c
   .
3. Даны вершины треугольника А(–1; –2; 4), В(–4; –2; 0) и С(3; –2; 1).
Найдите его внутренний угол при вершине В и расстояние от вер- шины В до основания высоты, опущенной из вершины А на сторо- ну ВС. (Указание: найдите
BC
| пр BA | .)
4. Даны два вектора a (3; 1; 5)


и b (1; 2; 3)

 . Найдите вектор c
при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет ус- ловиям: c a 9, c b
4
 
   . (Указание: положите c (x, y,z)

и реши- те систему уравнений: c a 9, c b
4, c k 0
 
  
  , где k – орт оси Oz.
Самостоятельная работа 15
Вариант 1.
1. Определение скалярного произведения двух векторов.
2. Вычислить скалярный квадрат вектора a
, если | a |
3


Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 9
3. Найти модуль суммы векторов a
и b
, если
3
| a | | b |
2
 
, а угол ме- жду ними равен o
30 .
Вариант 2.
1. Определение скалярного квадрата вектора.
2. Вычислить скалярное произведение a b

, если | a |
3

, модуль век- тора b
в 2 раза больше и угол между ними равен o
150 .
3. Найти модуль разности векторов a
и b
, если
2
| a | | b |
3
 
, а угол между ними равен o
150 .
Вариант 3.
1. Формула угла между векторами, заданными в координатной форме.
2. Вычислить модуль вектора a
, если скалярный квадрат вектора
3 1
a
2
равен
3 4
3. Найти | a
3 b |

 , если o
3
| a | | b |
, (a ^ b) 120 2
 

Вариант 4.
1. Формула проекции вектора на вектор, если векторы заданы в коор- динатной форме.
2. Вычислить скалярное произведение векторов a
и b
, если | a |
3

, модуль вектора b
на
3
больше и угол между ними равен o
150 .
3. Найти | a
3 b |

 , если o
2
| a | | b |
, (a ^ b) 135 3
 

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 15
Обозначения
1. Обозначение скалярного произведения.
2. Обозначение скалярного квадрата вектора.
Определения
1. Определение скалярного произведения.
2. Определение скалярного квадрата вектора.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 15, с.10 10
Теоремы
1. Простейшие свойства скалярного произведения.
2. Свойство линейности скалярного произведения.
3. Формула скалярного произведения векторов в координатной форме.
4. Формула скалярного квадрата вектора.
5. Формула модуля вектора.
6. Формула угла между векторами.
Тест 15
1. Дано: (a ^ b)
, | a | 2, | b | 3 3



 . Вычислить: а) a b

; б)
2
a ; в)
2
(a b)

; г) | a b |
 .
2. Вычислите скалярное произведение двух векторов единичной дли- ны, если угол между ними равен o
150 .
3. Дан правильный треугольник АВС со стороной 1. Вычислите
CA
пр AB .
4. Пусть BD – высота правильного треугольника АВС со стороной 1.
Найдите скалярное произведение вектора AB на вектор BD .
5. Пусть i и j – орты координатных осей ПДСК Оху. Не пользуясь координатной формой записи, вычислите i j пр j

. Постройте чертеж.
6. Вычислите скалярное произведение векторов a
и b
, если a (1; 2; 2), b (2; 2;1)




7. Даны векторы a (2; 3; 1), b (1; 3; 2)

 


. Вычислить: а)
2
(a b)

; б) | a b |
 .
8. Вычислить косинус угла между векторами a (2; 4; 4)


и b ( 3; 2; 6)
 
9. Вычислите проекцию вектора a
на вектор b
, если a (1; 2; 2), b (6; 7; 6)




10. Вычислить с
пр (a b)
 , если a 3i 6j k
   , b i 4j 5k
  
, c 3i 4j 12k
  
11. Вычислите проекцию вектора a (1; 2; 2)

 на противоположный ему вектор.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 1
Практическое занятие 16
Векторное произведение
Краткое содержание: определение и простейшие свойства векторного произведения векторов, свойства линейности, вычисление векторного произведения векторов, заданных в координат- ной форме, применения векторного произведения.
п.1. Теория
п.1.1. Определение и свойства векторного произведения
Определение. Векторным произведением вектора a
на вектор b
на- зывается третий вектор, который обозначается a b

и удовлетворяет следующим трем условиям:
1) a b a, a b b
 
  ;
2) тройка векторов
{a, b, a b}
 является правоориентированной;
3)
| a b | | a | | b | sin (a ^ b)
 


Рис.1.
Из определения следует, что, если векторы a
, b
и a b

отложить от одной точки, то:
1) вектор a b

перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a
и b
;
2) кратчайший поворот вектора a
к вектору b
происходит против ча- совой стрелки, если смотреть "сверху", т.е. со стороны вектора a b

;
3) длина вектора a b

численно равна площади параллелограмма, по- строенного на векторах a
и b
, как на его сторонах. b a a b
   
a b


S | a | | b | sin



 b
a
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 2
Теорема.
(Свойства векторного произведения.)
1). Антикоммутативность:
S
a,b V , a b b a


   
2). Условие коллинеарности векторов: a || b a b 0
   .
3). Модуль векторного произведения численно равен площади парал- лелограмма, построенного на векторах a
и b
, как на его сторонах.
Из второго свойства следует, что векторное произведение вектора на самого себя есть нулевой вектор и поэтому не имеет смысла говорить о векторном квадрате вектора. В силу этого свойства, квадрат вектора всегда понимается как скалярный квадрат вектора:
2 2
2
(a)
a
| a |


Теорема
. (Свойство линейности векторного произведения.)
Для любых векторов и действительных чисел справедливы следую- щие равенства:
1)
1 2
1 2
(a a ) b a b a b

     ;
2) (
a) b
(a b)
      ;
3)
1 2
1 2
a (b b ) a b a b


    ;
4) a (
b)
(a b)
      .
Замечание.
Свойство 1) и 3) этой теоремы можно рассматривать как свойство дистрибутивности векторного произведения векторов отно- сительно их сложения.
Свойство антикоммутативности векторного произведения не позволя- ет нам пользоваться формулами сокращенного умножения. Например,
(a b) (a b) a a a b b a b b
2(a b)
  
         
 .
Из последнего равенства мы видим, что формула сокращенного ум- ножения, а именно разность квадратов здесь не выполняется. Анало- гично не выполняются и другие формулы сокращенного умножения.
Так, например,
(a b) (a b) 0
  
 , так как (a b) || (a b)

 .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 3
п.1.2. Векторное произведение в координатной форме
Теорема.
Пусть векторы заданы в координатной форме:
1 1
1 2
2 2
a (x , y , z ), b (x , y , z )


. Тогда
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
i j
k y
z x
z x
y a b x
y z
i j
k y
z x
z x
y x
y z
 

 
 
