АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 22 из 44

Теорема.
Пусть даны канонические уравнения двух прямых:
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
x x y y x x y y
L :
, L :
m n
m n






, где
1 2
1 1
2 2
s
(m ,n ), s
(m ,n )


– их направляющие векторы,
1 1
1 2
2 2
M (x , y ), M (x , y ) – произвольные фиксированные точки, лежа- щие на прямых
1
L и
2
L соответственно. Тогда:
1) прямые совпадают, если
1 2
1 2
(s || s ) & (M
L )

, т.е.
1 1
2 2
m n
m n

и
1 2
1 2
2 2
x x
y y
m n



;
2) прямые параллельные, если
1 2
1 2
(s || s ) & (M
L )

, т.е.
1 1
2 2
m n
m n

и
1 2
1 2
2 2
x x
y y
m n



;
3) прямые пересекаются в одной точке, если
1 2
s || s
 , т.е.
1 1
2 2
m n
m n


Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 7
Теорема.
Пусть
1 1
1 1
1
x x m t
L :
y y n t



  

и
2 2
2 2
2
x x m k
L :
y y n k



  

– две произвольные прямые на координатной плоскости Оху, задан- ные параметрическими уравнениями. Тогда:
1) если система уравнений
1 1
2 2
1 1
2 2
x m t x m k y
n t y n k









(5) имеет единственное решение (t, k), то прямые пересекаются в одной точке, координаты которой можно найти подставляя найденные зна- чения параметров t или k в соответствующие параметрические урав- нения;
2) если система уравнений (5) не имеет решений, то прямые парал- лельные;
3) если система уравнений (5) имеет более одного решения, то прямые совпадают.
Теорема.
Пусть
1 2
1 1
1 2
n , n , s , s , k , k
– соответственно нормальные век- торы, направляющие векторы и угловые коэффициенты двух прямых, тогда один из двух углов между ними равен:
1 2
1 2
n n arc cos
| n | | n |


или
1 2
1 2
s s arc cos
| s | | s |


, или
2 1
1 2
k k
arctg
1 k k


Следствие.
(Условие перпендикулярности двух прямых)
Пусть
1 1
1 2
2 2
1 1
1 2
2 2
1 2
n
(A ; B ), n
(A ; B ), s
(m ; n ), s
(m ; n ), k , k




– соответственно нормальные векторы, направляющие векторы и уг- ловые коэффициенты двух данных прямых. Если скалярные произве- дения
1 2
1 2
1 2
n n
A A
B B
0




или
1 2
1 2
1 2
s s m m n n
0




, или произведение угловых коэффициентов
1 2
k k
1
  , то данные прямые являются перпендикулярными.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 8
п.2. Список задач
Список №1
1. Установить, принадлежит ли данная точка данной прямой.
2. Построить чертеж данной прямой на координатной плоскости.
3. Найти общее уравнение прямой, проходящей через данную точку, и перпендикулярной данному вектору.
4. Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, прохо- дящей через данную точку, и параллельной данному вектору.
5. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две дан- ные точки.
6. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку с дан- ным угловым коэффициентом.
7. Привести общее уравнение прямой к уравнению прямой в отрезках.
8. Найти общее уравнение прямой и её нормальный вектор, если из- вестно её каноническое уравнение.
9. Найти каноническое уравнение прямой и её направляющий вектор, если известно её общее уравнение.
10. Перейти от канонического уравнения прямой к параметрическому и обратно.
11. Зная одно из уравнений прямой (общее, в отрезках, с угловым ко- эффициентом, каноническое, параметрическое), найти остальные виды уравнений данной прямой.
12. Найти нормальный вектор прямой, если известен её направляю- щий вектор, и обратно.
13. Найти нормальный вектор прямой, если известен её угловой ко- эффициент, и обратно.
14. Найти направляющий вектор прямой, если известен её угловой ко- эффициент, и обратно.
15. Выяснить взаимное расположение двух данных прямых.
16. Доказать, что две данные прямые пересекаются и найти координа- ты точки пересечения.
17. Найти острый угол между двумя данными прямыми.
18. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку пер- пендикулярно (параллельно) заданной прямой.
Список №2
1. Найти проекцию данной точки на данную прямую.
2. Найти точку симметричную данной относительно данной прямой.
3. Найти уравнение прямой, на которой лежит отраженный от данной

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 9 прямой луч, если известно уравнение прямой, на которой лежит падающий луч.
4. Найти точку пересечения медиан (высот) данного треугольника.
п.3. Примеры
Пример 1.
Изобразить на координатной плоскости Оху прямую, за- данную общим уравнением: 2x 3y 6 0

  .
Решение. Для построения прямой достаточно знать координаты двух её точек. Координаты точек, лежащих на данной прямой, удовлетво- ряют её уравнению. Воспользуемся этим фактом. Положим в уравне- нии x 0

:
3y 6 0
   .
Вычисляем у: y
2
  . Следовательно, точка с координатами (0; –2) лежит на данной прямой. Так как абсцисса этой точки равна 0, то она находится на оси ординат, т.е. точка с координатами (0; –2) является точкой пересечения данной прямой с осью ординат. Аналогично, по- лагая y 0
 и подставляя в уравнение, находим координаты точки пе- ресечения прямой с осью абсцисс: (3; 0). Отмечаем найденные точки на координатной плоскости Оху и проводим через них прямую. Смот- рите рисунок 3.
Рис.3.
Заметим, что координаты точек пересечения прямой с координатными осями можно найти, зная её уравнение в отрезках. С этой целью пере- несем свободный член –6 общего уравнения прямой в правую часть:
2x 3y 6

 , затем разделим обе части получившегося уравнения на 6:
2x 3y
1 6
6

 , и, после сокращения, получаем уравнение прямой в отрезках: у х
3
О
–2
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 10
x y
1 3 2
  .
Отсюда видим, что прямая пересекает ось абсцисс в точке x 3

, а ось ординат – в точке y
2
  .
Пример 2.
Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку
А(2; –7), и перпендикулярной вектору n ( 1;4)
 
Решение. 1-й способ. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором: o
o
A(x x ) B(y y ) 0



 , где o
o
(x , y ) – координаты произвольной фиксированной точки o
M , лежащей на данной прямой, (A, B) n
 – координаты её нормального вектора. По условию задачи искомая прямая должна проходить через точку А(2; –7), следовательно, мы можем положить o
o x
2, y
7

  .
По условию задачи, прямая должна быть перпендикулярной вектору n ( 1;4)
 
, следовательно, данный вектор может служить нормальным вектором для данной прямой и мы можем положить A
1, B 4
 
 .
Подставляя эти числа в уравнение, получаем:
(x 2) 4(y 7) 0
  

 .
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем: x 4y 30 0
 

 или x 4y 30 0


 .
2-й способ. Воспользуемся общим уравнением прямой
Ax By C 0

  , где (A, B) n
 – координаты её нормального вектора.
Так как нормальный вектор прямой дан по условию задачи: n ( 1;4)
 
, то полагаем A
1, B 4
 
 и подставляем эти числа в общее уравнение прямой: x 4y C 0
 
  .
Искомая прямая проходит через точку А(2; –7), поэтому её координа- ты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Подставляя x 2, y
7

  в предыдущее уравнение, получаем:
2 4( 7) C 0
     .
Отсюда находим значение коэффициента С:
C 30

. Подставляя в уравнение, получаем:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 11 x 4y 30 0
 

 или x 4y 30 0


 .
Ответ: x 4y 30 0


 .
Пример 3.
Найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку А(2; –7) параллельно вектору s (3;5)

Решение. Каноническое уравнение прямой имеет вид o
o x x y y m
n



, где (m, n) s
 – координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, o
o
(x , y ) – координаты произвольной фиксированной точки o
M лежащей на данной прямой.
Для написания канонического уравнения прямой у нас есть все дан- ные. Точка А(2; –7) по условию задачи должна лежать на искомой прямой, следовательно, мы можем положить o
o x
2, y
7

  . По усло- вию задачи вектор s (3;5)

параллелен искомой прямой, поэтому он является её направляющим вектором, отсюда следует, что мы можем положить m 3, n 5

 . Подставляя найденные числа в каноническое уравнение, получаем: x 2
y 7 3
5



Зная каноническое уравнение прямой, легко найти её параметриче- ское уравнение: o
o x x mt
, t R
y y nt




  

, где числа o
o x , y ,m,n обозначают тоже самое, что и в каноническом уравнении прямой. Подставляя их параметрическое уравнение, полу- чаем: x 2 3t
, t R
y
7 5t
 


   

Заметим, что для нахождения параметрического уравнения прямой достаточно обе части канонического уравнения приравнять одной и той же букве t:
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 12
x 2
t
3
y 7
t
5




 



и разрешить уравнения получившейся системы относительно пере- менных х и у соответственно: x 3t 2
y 5t 7
 

  

Ответ: x 2
y 7 3
5



, x 2 3t
, t R
y
7 5t
 


   

Пример 4.
Найти общее уравнение прямой, проходящей через точки
А(3; –1) и В(–2; 5).
Решение.1-й способ. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:
1 1
2 1
2 1
x x y y x
x y
y





, где
1 1
(x , y ) и
2 2
(x , y ) – координаты данных точек. Полагаем
1 1
2 2
x
3, y
1, x
2, y
5

 
 
 и подставляем эти числа в уравнение: x 3
y ( 1)
2 3 5 ( 1)

 

 
 
или x 3
y 1 5
6




Умножая обе части полученного уравнения на –30, получаем:
6(x 3)
5(y 1)
  
 или 6x 5y 13 0


 .
2-й способ. Найдем каноническое уравнение искомой прямой: o
o x x y y m
n



По условию задачи нам известны координаты двух точек, лежащих на прямой, поэтому вектор AB будет лежать на данной прямой и может служить её направляющим вектором. Найдем координаты вектора
AB :
B
A
B
A
AB (x x ; y y ) ( 2 3;5 ( 1)) ( 5;6)



  
 
 
Т.е. в каноническом уравнении прямой мы можем положить m
5, n 6
 
 . В качестве o
o x , y мы можем взять координаты любой из

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 13 двух данных точек, т.к. обе они лежат на искомой прямой. Полагаем o
o x
3, y
1

  . Подставляем найденные значения m, n, o
o x , y в кано- ническое уравнение и получаем: x 3
y 1 5
6




или 6x 5y 13 0


 .
Ответ: 6x 5y 13 0


 .
Пример 5.
Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом k
2
  , проходящей через точку М(–1; 0).
Решение. 1-й способ. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом: o
o y y k(x x )



, где o
o
(x , y ) – координаты произвольной фиксированной точки o
M , лежащей на данной прямой, k – её угловой коэффициент. Прямая про- ходит через точку М(–1; 0) и мы можем положить o
o x
1, y
0
 
 . Уг- ловой коэффициент известен: k
2
  . Подставляя эти данные в урав- нение прямой, получаем: y
2(x 1)
 
 .
Раскрывая скобки, находим искомое уравнение: y
2x 2
 
 .
2-й способ. Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффици- ентом: y kx b

 .
Угловой коэффициент дан по условиям задачи: k
2
  . Подставляя его в уравнение, получаем: y
2x b
 
 .
По условию задачи прямая проходит через точку М(–1; 0), следова- тельно, её координаты должны удовлетворять уравнению искомой прямой. Подставляя в предыдущее уравнение x
1, y 0
 
 , получаем уравнение с одной неизвестной b:
0 2( 1) b
    .
Решая последнее уравнение, находим b
2
 
Подставляем найденное значение b в уравнение с угловым коэффици- ентом: y
2x 2
 
 .
Ответ: y
2x 2
 
 .
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 14
Пример 6.
Найти нормальный вектор и общее уравнение прямой x 6
y 2 5
4




Решение. 1-й способ. Нормальный и направляющий векторы прямой ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю. Из канони- ческого уравнения прямой находим s ( 5;4)
n (4;5)
 
 
Точка (6; –2) лежит на данной прямой, поэтому мы можем воспользо- ваться уравнением прямой, проходящей через данную точку, и пер- пендикулярную данному вектору: o
o
A(x x ) B(y y ) 0



 , или, после подстановки координат нормального вектора и точки, ле- жащей на прямой:
4(x 6) 5(y 2) 0 4x 5y 14 0
 

 


 .
2-й способ. Умножим обе части канонического уравнения прямой на общий знаменатель. Получаем,
4x 24 5y 10 4x 5y 14 0

  



 .
Ответ: 4x 5y 14 0, n (4;5)




Пример 7.
Найти направляющий вектор и каноническое уравнение прямой 3x 2y 1 0

  .
Решение. 1-й способ:
1
y
1
x
2 3x 2y 1 3x 2(y
)
2 2
3


 


 
2-й способ. Выписываем координаты нормального вектора, и находим координаты направляющего вектора: n (3; 2)
s (2;3)

  
Находим какое-нибудь решение уравнения 3x 2y 1 0

  : x 1, y 2

 , и записываем каноническое уравнение данной прямой: x 1 y 2 2
3



Ответ: x 1 y 2
s (2;3),
2 3





Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 15
Пример 8.
Найти параметрическое уравнение прямой x 1 y 2 2
3



Решение. Пусть x 1
t
2

 , тогда y 2
t
3

 . Отсюда находим: x 2t 1
y 3t 2



  

Ответ: x 2t 1
, t R
y 3t 2




  

Пример 9.
Найти каноническое уравнение прямой x
t 4
, t R
y 2
  





Решение. Запишем данное уравнение в виде: x
t 4
y 2 0 t
  

   

Тогда, s ( 1;0)
 
или s (1;0)

– направляющий вектор данной прямой, точка с координатами (–4; 2) лежит на данной прямой. Осталось запи- сать каноническое уравнение данной прямой: x 4
y 2 1
0




Ответ: x 4
y 2 1
0



Пример 10.
Убедиться, что прямые x y 1 0
   и x 2y 3 0

  пере- секаются и найти острый угол между ними.
Решение. Так как коэффициенты при неизвестных не пропорциональ- ные
1 1
1 2


, то прямые пересекаются. Один из углов между прямыми будет равен углу между их нормальными векторами:
1 2
n
(1, 1), n
(1, 2)



:
1 2
1 2
1 2
n n
1 2 1
cos(n ^ n )
| n | | n |
2 5
10




 


Следовательно, острый угол между данными прямыми равен
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 16 1
1
arc cos arccos
10 10


 






Ответ:
1
arccos
10
Пример 11.
Выяснить взаимное расположение двух прямых
1
L : 3x 4y 11 0


 и
2
L : 2x 3y 8 0

  , и если они пересекаются, найти точку их пересечения.
Решение. Так как коэффициенты при неизвестных не пропорциональ- ны:
3 4
2 3



, то прямые пересекаются. Для вычисления координат точки их пересе- чения решим систему

3x 4y
11 2x 3y
8

 

  с помощью формул Крамера. Определитель системы
3 4
9 8 1 0 2
3

 
     

, следовательно, система имеет единственное решение, т.е. данные прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения: x
y
11 4
3 11 1,
2 8
3 2
8



 
  
 



, y
x x
1, y
2



 




Ответ: прямые пересекаются в точке (–1; 2).
Пример 12.
Найти точку пересечения прямых:
1
L : 3x 4y 11 0


 и
2
x 2t 1
L :
y 3t 2



  

Решение. Решаем систему уравнений x 2t 1
y 3t 2 3x 4y 11 0




 

   


Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 17
Подставляем неизвестные х и у из первых уравнений системы в по- следнее уравнение, и находим:
3(2t 1) 4(3t 2) 11 0
 
   или t 1

Подставляя найденное значение параметра t в первые два уравнения системы, находим: x 3, y 5

 .
Ответ: (3; 5).
п.4. Задачи
Задачи для аудиторного решения 18
1. Построить прямую, заданную уравнением 2x y 4 0
   , и записать уравнение этой прямой в отрезках.
2. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 3) перпендикулярно вектору n (1; 2)
  .
3. Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом, если её угло- вой коэффициент равен
2
k
3
 и известно, что прямая проходит че- рез точку С(0; –1).
4. Найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, прохо- дящей через точку А(–1; 2) параллельно вектору s (3; 4)

 .
5. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точки А(–3; 4) и
В(1; –2).
6. Найти точку пересечения двух прямых 3x 4y 29 0


 и
2x 5y 19 0


 и угол между ними.
7. Выяснить взаимное расположение прямых: а) x 3 y 1 0, 3x y 3 1 0
  

  ; б) x 3 y 1 0, x y 3 1 0
  

  ; в)
2
x y
x 1, y
1 2
2



 ; г)
2
y x 1, y x 2 1 2


 
 ; д)

x 1
x 7 3t y 1,
, t R
y 1 t
3

 
 

 
; е)

x 1
y 6 x
1 3t
,
, t R
y 1 4t
4 3


  


 
8. Найти все виды уравнений прямой 4x 3y 12 0


 , ее угловой ко- эффициент, нормальный и направляющий векторы, точки пересе- чения с координатными осями, и постройте её чертеж на коорди-
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22 18
натной плоскости.
9. Дана прямая 2x 3y 4 0

  . Составить уравнение прямой, прохо- дящей через точку М(–2; 0): а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой.