АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
п.1.3. Применение векторного произведения векторов 1. Вычисление площади треугольника. Пусть даны координаты вершин треугольника: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 A(x , y , z ), B(x , y , z ), C(x , y , z ) . Тогда ABC 1 S | AB AC | 2 , где 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 i j k AB AC x x y y z z x x y y z z 2. Вычисление момента силы относительно точки. Пусть F AB – вектор силы, приложенный к точке А и пусть С – произвольная точка. В механике моментом силы F относительно точ- ки С называется вектор M равный векторному произведению вектора CA на вектор силы F AB : M CA F Величина момента равна величине силы на плечо h M F h . Рис.2. B A F M C h Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 4 3. Вычисление линейной скорости точки тела вращения. Пусть М точка тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угло- вой скоростью , О – произвольная точка этой оси, v – вектор ли- нейной скорости точки М. Тогда v OM Величина линейной скорости v r | | | OM | sin ( ^ OM) Рис.3. п.2. Список задач Список №1 1. Построить векторное произведение двух данных векторов. 2. Вычислить модуль векторного произведения векторов, если извест- ны их модули и угол между ними. 3. Задачи на использование свойства линейности векторного произве- дения. 4. Вычислить векторное произведение векторов заданных в коорди- натной форме. 5. Вычислить модуль векторного произведения векторов, заданных в координатной форме. 6. Вычислить синус угла между векторами заданными в координатной форме. 7. Вычислить площадь треугольника с известными координатами его вершин. 8. Вычислить момент силы относительно точки. Список №2 1. Найти вектор, ортогональный двум данным векторам. О М v r Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 5 п.3. Примеры Пример 1. Угол между векторами a и b равен 6 . Зная, что | a | 6, | b | 5 , вычислить | a b | . Решение. | a b | | a | | b | sin (a ^ b) 6 5 sin 15 6 . Ответ: 15. Пример 2. Векторы a и b ортогональны. Зная, что | a | 3, | b | 4 , вы- числить | (a b) (a b) | Решение. Вычисляем векторное произведение, стоящее под знаком модуля, используя свойство линейности векторного произведения. Раскрываем скобки, сохраняя порядок сомножителей: (a b) (a b) a a a b b a b b . Так как a || a и b || b , то по свойству векторного произведения a a b b 0 . По свойству антикоммутативности b a a b . По- лучаем (a b) (a b) a b a b 2a b , | (a b) (a b) | | 2a b | 2 | a b | 2 | a | | b | sin(a ^ b) 2 3 4 sin 24. 2 Ответ: 24. Пример 3. Угол между векторами a и b равен 3 4 . Зная, что | a | 3, | b | 2 2 , вычислить 2 ((2a b) (2a b)) Решение. Выражение, которое нам нужно вычислить есть скалярный квадрат вектора c (2a b) (2a b) . Раскрываем скобки: c (2a b) (2a b) (2a) (2a) (2a) b b (2a) b b 4(a b). Находим модуль вектора c : 3 | c | | 4(a b) | 4 | a | | b | sin (a ^ b) 4 3 2 2 sin 24 4 Вычисляем скалярный квадрат вектора c : Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 6 2 2 2 c | c | 24 576 Ответ: 576. Пример 4. Вычислить векторное произведение векторов a (7; 2; 2), b ( 3; 0;1) Решение. Воспользуемся формулой вычисления векторного произве- дения векторов, заданных в координатной форме: 1 1 1 2 2 2 i j k i j k a b x y z 7 2 2 x y z 3 0 1 2 2 7 2 7 2 i j k 2i j 6k. 0 1 3 1 3 0 Ответ: a b (2; 1;6) Пример 5. Даны точки А(0; 1; 2), В(–3; 3; 0) и С(6; 5; 2). Вычислить площадь треугольника АВС. Решение. Площадь треугольника АВС находим по формуле: ABC 1 S | AB AC | 2 Вычисляем координаты векторов AB и AC : AB ( 3;2; 2), AC (6;4;0) Вычисляем векторное произведение AB AC : i j k 2 2 3 2 3 2 AB AC 3 2 2 i j k 4 0 6 0 6 4 6 4 0 8i 12j 24k 4(2i 3j 6k) Вычисляем модуль вектора AB AC : 2 2 2 | AB AC | 4 2 3 6 4 7 28 Находим площадь треугольника: ABC 1 S | AB AC | 14 2 Ответ: 14. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 7 Пример 6. Дано: | a | 3, | b | 26 и | a b | 72 . Вычислить a b Решение. Из определения векторного произведения находим синус угла между векторами: | a b | 72 12 sin (a ^ b) 3 26 13 | a | | b | Используя основное тригонометрическое тождество, находим косинус угла между векторами и искомое скалярное произведение: 2 2 12 5 cos(a ^ b) 1 sin (a ^ b) 1 13 13 , 5 a b | a | | b | cos(a ^ b) 3 26 30 13 Ответ: a b 30 п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 16 1. Изобразить два произвольных вектора, отложенные от одной точки под углом o 45 между ними. Построить векторные произведения этих векторов. 2. Угол между векторами a и b равен 5 6 . Зная, что | a | 2 6, | b | 7 2 , вычислить | a b | . 3. Угол между векторами a и b равен 2 3 . Зная, что | a | 1 , | b | 2 , вычислить: а) 2 (a b) ; б) 2 ((2a b) (a 2b)) 4. Даны векторы a (3; 1; 2), b (1; 2; 1) . Найти: а) a b ; б) (2a b) b ; в) (2a b) (2a b) . 5. Даны векторы a (3; 1; 2), b (1; 2; 1) . Найти | a b | и синус уг- ла между данными векторами. 6. Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; –3) и С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС. 7. Сила P (2; 4; 5) приложена к точке М(4; –2; 3). Найти момент этой силы относительно точки А(3; 2; –1). Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 8 Задачи повышенного уровня сложности 16 8. Вектор x , ортогональный векторам a (4; 2; 3) и b (0;1; 3) об- разует с осью Оу тупой угол. Зная, что | x | 26 , найти его коорди- наты. 9. Найти вектор x , зная, что он ортогонален векторам a (2; 3;1) и b (1; 2; 3) и удовлетворяет условию x (i 2j 7k) 10 Домашнее задание 16. Векторное произведения векторов 1. Постройте чертеж ПДСК Oxyz и орты i, j,k координатных осей. На этом же чертеже изобразите вектор i j и постройте векторы i (i j) и (i j) k , найдите их модули, используя только опреде- ление векторного произведения. 2. Дано: | a | 2, | b | 3, (a ^ b) 3 . Найти | a b | . 3. Векторы a и b ортогональны. Зная, что | a | | b | 10 , вычислить: а) | (a b) (a b) | ; б) | (3a b) (a 2b) | 4. Найти векторное произведение векторов a ( 1;2; 2) и b (2; 2;1) 5. Даны вершины треугольника А(1; –1; 2), В(5; –6; 2) и С(1; 3; –1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. Самостоятельная работа 16 Вариант 1. 1. Геометрический смысл модуля векторного произведения. 2. a b, | a | | b | 1 . Найдите | (3a) (a b) | 3. Даны точки А(–1; –2; 4), В(–4; –2; 1) и С(3; –1; 4). Найдите | AB AC | Вариант 2. 1. Ориентация тройки {a, b, a b} . 2. a b, | a | | b | 1 . Найдите | (a b) (2b) | 3. Даны точки А(1; –2; 2), В(1; 4; 0), С(–4; 1; 1). Найдите | BC BA | Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 9 Вариант 3. 1. Определение момента силы относительно данной точки. 2. Система векторов {a,b} образует ортонормированный базис на плоскости. Образует ли тройка векторов {a,b,a b} ортонормиро- ванный базис пространства? Ответ обоснуйте. 3. Найдите площадь треугольника АВС, если А(2; –3), В(3; 2), С(–2; 5). Вариант 4. 1. Определение векторного произведения двух векторов. 2. o (a ^ b) 45 , | a | | b | 1 . Образует ли тройка векторов {a,b,a b} нормированный базис пространства? Ответ обоснуйте. 3. Найдите площадь треугольника АВС, если А(–3; 2), В(5; –2), С(1; 3). п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 16 Обозначения 1. Обозначение векторного произведения. Определения 1. Определение векторного произведения векторов. Теоремы 1. Простейшие свойства векторного произведения. 2. Свойство линейности векторного произведения. 3. Формула вычисления векторного произведения векторов, заданных в координатной форме. 4. Вычисление момента силы относительно точки. Тест 16 1. Дано: (a ^ b) , | a | 3, | b | 2 6 . Вычислить | a b | и изобразить на рисунке векторы a, b, a b , отложив их от одной точки. 2. Дан правильный треугольник АВС со стороной 1. Вычислите мо- дуль векторного произведения вектора AB на вектор BC 3. Пусть BD – высота правильного треугольника АВС со стороной 1. Вычислите модуль векторного произведения вектора AB на вектор Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 16, с.10 10 BD . 4. Дан квадрат ABCD со стороной 1. Изобразите на чертеже данный квадрат и векторное произведение AC AB , отложив его от точки А, вычислите его модуль. 5. Векторы a и b ортогональны. Зная, что | a | | b | 10 , вычислить: а) | (a b) (a b) | ; б) | (3a b) (a 2b) | 6. Даны векторы: a (3; 1; 2), b (1; 2; 1) . Найти: а) a b ; б) | a b | . 7. Вычислите векторное произведение вектора a на вектор b , если a (1; 2; 2), b (2; 2;1) 8. С помощью векторного произведения двух векторов найдите пло- щадь треугольника А(–1; 2; –2), В(0; 4; –7), С(0; –5; 8). 9. Сила P (2; 4;5) приложена к точке М(4; –2; 3). Найдите момент этой силы относительно точки А(3; 2; –1). 10. В ПДСК Охуz дан тетраэдр ОАВС и координаты его вершин: А(1; 0; 0), В(0; 4; 0), С(0; 0; 2). Постройте чертеж, и изобразите на этом же чертеже векторное произведение вектора OB на вектор OC Найдите координаты этого векторного произведения. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 1 Практическое занятие 17 Смешанное произведение векторов Краткое содержание: определение и простейшие свойства смешанного произведения, модуль и знак смешанного произведения, перестановка векторов в смешанном произведении, свойст- во линейности смешанного произведения, смешанное произведение векторов в координатной форме, вычисление объема пирамиды. п.1. Теория п.1.1. Определение и свойства смешанного произведения Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов (a, b, c) называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается a b c a (b c) Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.) 1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах: | a b c | V(a, b, c) 2) Тройка векторов {a, b, c} – правоориентированная тогда и только тогда, когда a b c 0 3) Тройка векторов {a, b, c} – левоориентированная тогда и только то- гда, когда a b c 0 4) Тройка векторов {a, b, c} – компланарная тогда и только тогда, ко- гда a b c 0 Определение. Любое изменение порядка следования векторов в трой- ке векторов {a, b, c} называется её перестановкой. Определение. Транспозицией в тройке векторов {a, b, c} называется такая её перестановка, при которой только один из векторов остается на своём месте, а два других вектора меняются местами. Определение. Круговой перестановкой тройки векторов {a, b, c} на- зывается такая её перестановка, при которой ни один из векторов не остается на своём месте. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 2 Рис.1. Лемма. Круговая перестановка в тройке векторов не изменяет её ори- ентацию, а транспозиция любых двух векторов данной тройки изме- няет её ориентацию на противоположную. Следствие. 1) a b c с a b b c a ; 2) a b c b a c c b a a c b ; 3) a b c (a b) c . Теорема. (Свойство линейности смешанного произведения.) Для лю- бых векторов и действительных чисел справедливы следующие ра- венства: 1) 1 2 1 2 (a a ) b c a b c a b c ; 2) ( a) b c (a b c) ; 3) 1 2 1 2 a (b b ) c a b c a b c ; 4) a ( b) c (a b c) ; 5) 1 2 1 2 a b (c c ) a b c a b c ; 6) a b ( c) (a b c) . п.1.2. Смешанное произведение векторов в координатной форме Теорема. Пусть 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a (x , y , z ), b (x , y , z ), c (x , y , z ) Тогда a c b Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x y z a b c x y z x y z п.1.3. Применение смешанного произведения векторов 1. Вычисление объема параллелепипеда 1 1 1 1 ABCDA B C D : 1 V | AB AD AA | 2. Вычисление объема треугольной пирамиды SАВС: 1 V | AB AC AS | 6 3. Вычисление высоты треугольной пирамиды SАВС, опущенной из вершины S: | AB AC AS | H | AB AC | п.2. Список задач Список №1 1. Определить ориентацию данной тройки векторов, используя свой- ства смешанного произведения. 2. Вычисление смешанного произведения с использованием его опре- деления и свойств. 3. Вычислить смешанное произведение векторов, заданных в коорди- натной форме. 4. Определить ориентацию данной тройки векторов, заданных в коор- динатной форме. 5. Выяснить, компланарная ли данная тройка векторов, если известны их координаты. 6. Выяснить, лежат ли данные четыре точки с известными координа- тами в одной плоскости. 7. Вычислить объем тетраэдра с известными координатами его вер- шин. 8. Найти длину высоты тетраэдра с известными координатами его вершин. Список №2 1. Задачи на доказательство и повышенного уровня сложности. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 4 п.3. Примеры Пример 1. Определить ориентацию тройки векторов: а) {i, j, k} ; б) {i, k, j} ; в) {j, k, i} . Решение. а) Определяем ориентацию тройки векторов, используя оп- ределение ориентированной тройки векторов. Рис.2. Смотрим на рисунке 2 с конца третьего вектора – вектора k , на плос- кость, в которой лежат первые два вектора – i и j . Осуществляем кратчайший поворот первого вектора i до совпадения со вторым век- тором j и определяем направление вращения – против часовой стрел- ки. Из определения следует, что данная тройка является правой. б) Тройка {i, k, j} получается из тройки {i, j, k} транспозицией второ- го и третьего векторов – j и k . Транспозиция меняет ориентацию тройки векторов. Так как тройка {i, j, k} правая, то отсюда следует, что тройка {i, k, j} является левой. в) Тройка {j, k, i} получается из тройки {i, j, k} круговой перестанов- кой. Вектор i с первого места переходит на третье, сдвигая векторы j и k влево. Круговая перестановка не меняет ориентацию тройки векторов, следовательно, тройка {j, k, i} является правой, как и тройка {i, j, k} . Ответ: а), в) тройка правая; б) тройка левая. Пример 2. Векторы a, b, c образуют левую тройку и взаимно ортого- нальны. Вычислить a b c , если | a | 4, | b | 2, | c | 3 . Решение. По теореме о геометрическом смысле смешанного произве- k i j Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 5 дения | a b c | V(a,b,c) Так как параллелепипед прямоугольный, то его объем равен произве- дению длин трех его ребер пересекающихся в одной вершине, т.е. произведению модулей векторов, на которых он построен: V(a,b,c) | a | | b | | c | 4 2 3 24 По условию задачи тройка векторов {a, b, c} левая, следовательно, по той же теореме, a b c 0 . Число, равное смешанному произведению a b c отрицательное, а его модуль равен 24, т.е. a b c 24 Ответ: a b c 24 Пример 3. Вектор c ортогонален векторам a и b , угол между кото- рыми равен o 45 . Вычислить a b c , если | a | 6, | b | | c | 3 , тройка {b, a, c} левая. Решение. По условию задачи параллелепипед, построенный на векто- рах a,b,c , является прямым. Смотрите рисунок 3. Рис.3. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: осн V(a,b,c) S H Высота параллелепипеда H | c | 3 . Основанием параллелепипеда яв- ляется параллелограмм, площадь которого o осн S | a b | | a | | b | sin (a ^ b) 6 3 sin135 9 2 Отсюда находим | a b c | V(a,b,c) 27 2 o 135 c a b Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 17, с.11 6 Тройка {b, a, c} левая, следовательно, тройка {a, b, c} является правой и a b c 0 Ответ: a b c 27 2 |