АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Пример 5. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых (2x 3y 1) (x 4y 6) 0 и проходящей параллельно прямой 3x 7y 8 0 . Решение. Искомая прямая имеет вид (2x 3y 1) (x 4y 6) 0 или (2 )x (3 4 )y 6 0 , где значения параметров и нам предстоит найти. Эта прямая па- раллельна прямой 3x 7y 8 0 . Следовательно, их нормальные век- торы должны быть коллинеарные: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 4 1 2 n (2 ; 3 4 ) || n (3; 7) . Из условия коллинеарности векторов следует, что 2 3 4 3 7 Отсюда находим: 14 7 9 12 или 23 5 0 . Полагаем, 5, 23 . Подставляя в уравнение искомой прямой (в уравнение пучка), получаем: (2 5 23)x (3 5 4 23)y 5 6 23 0 , 33x 77y 133 0 . Ответ: 33x 77y 133 0 . Пример 6. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку (x 3y 1) (2x y 2) 0 и проходящей перпендикулярно прямой x 7y 2 0 . Решение. Запишем уравнение искомой прямой в виде: ( 2 )x ( 3 )y 2 0 . Эта прямая перпендикулярна прямой x 7y 2 0 . Следовательно, их нормальные векторы должны быть ортогональны: 1 2 n ( 2 ; 3 ) n (1; 7) Условием ортогональности векторов является равенство нулю их ска- лярного произведения: 1 2 n n ( 2 ) 7( 3 ) 0 или 20 5 0 или 4 . Подставляя в искомое уравнение пря- мой, получаем: ( 8 )x ( 3 4 )y 8 0 . Так как параметры и одновременно не могут быть равными нулю и 4 , то 0 . Сокращая последнее уравнение на , получаем: 9x 7y 7 0 . Ответ: 9x 7y 7 0 . Пример 7. Найти прямую, принадлежащую двум пучкам: (x y 1) (x 1) 0, (2x 3y) (y 1) 0 . Решение. 1-й способ. Находим центры обоих пучков: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 5 1) x y 1 0 x 1 0 . Откуда находим центр 1-го пучка: А(1; 0). 2) 2x 3y 0 y 1 0 . Точка 3 B( ; 1) 2 – центр 2-го пучка. Искомая прямая проходит через точки А и В, поэтому используем уравнение прямой, проходящей через 2 точки: 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y Получаем, x 1 y 3 1 1 2 или 5 x 1 y 2 или 2x 5y 2 0 . 2-й способ. Запишем искомую прямую в виде: ( )x y 0, 2 x ( 3 )y 0 . Исходим из того, что две данные прямые совпадают. Следовательно, их коэффициенты пропорциональны: 2 3 Решаем данную систему уравнений: 2 2 2 5 , Полагая 1, 2 , находим из последнего равенства 5 5 2 или 5 7 . Полагаем 5, 7 . Найденные зна- чения подставляем в уравнение: ( 5 7)x 5y ( 5) 7 0 или 2x 5y 2 0 . Ответ: 2x 5y 2 0 . Замечание. Вычисления будут еще проще, если уравнения данных пучков записать в виде: x y 1 (x 1) 0, 2x 3y (y 1) 0 . В этом случае уравнения пучков не описывают только прямые x 1 и y 1 . Легко проверить, что обе эти прямые не являются искомыми. Впрочем, эта проверка понадобится лишь в том случае, если поиск нужных значений параметров и не увенчается успехом. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 6 Пример 8. Найти прямую, принадлежащую пучку (21x 8y 18) (11x 3y 12) 0 и отсекающую от координатного угла треугольник площадью 9 кв. ед. Решение. Легко проверить, что уравнение 11x 3y 12 0 не являет- ся искомым, поэтому пучок можно записать с одним параметром: 21x 8y 18 t(11x 3y 12) 0 . Запишем искомую прямую в виде уравнения прямой в отрезках: (21 11t)x (8 3t)y 18 12t , x y 1 18 12t 18 12t 21 11t 8 3t Из уравнения прямой в отрезках мы находим 18 12t a 21 11t – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох, 18 12t b 8 3t – ордината точки пересечения прямой с осью Оу. Из ус- ловия задачи следует, что 18 12t 18 12t | ab | 18 21 11t 8 3t , 2 2 36(3 2t) 18 168 151t 33t Получаем совокупность двух уравнений 2 2 2(4t 12t 9) (33t 151t 168) , решая которые, находим значения параметра t. Квадратное уравнение 2 2 8t 24t 18 (33t 151t 168) , 2 41t 127t 177 0 имеет отрицательный дискриминант и действительных корней не имеет. Решаем второе уравнение. После очевидных преобразований получаем 2 t 7t 6 0 , 1 2 t 6, t 1 . Подставляя найденные значения t в уравнение пучка, получаем два уравнения прямых, удовлетворяющих условию задачи. Ответ: 2x y 6 0, 9x 2y 18 0 . п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 20 1. Найти центр пучка (2x 3y 1) (x 2y 4) 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 7 2. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых (x 2y 5) (3x 2y 1) 0 и проходящей: а) через точку А(3; –1); б) через начало координат; в) параллельно оси Ох; г) параллельно оси Оу; д) параллельно прямой 4x 3y 5 0 ; е) перпендикулярно прямой 2x 3y 7 0 . 3. Докажите, что прямая x 8y 7 0 принадлежит пучку (2x y 2) (x 2y 1) 0 . 4. При каком значении С прямая 4x 3y C 0 принадлежит пучку (3x 2y 9) (2x 5y 5) 0 . 5. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку (3x 4y 3) (2x 3y 1) 0 и проходящей через центр тяжести треугольника с вершинами А(–1; 2), В(4; –4) и С(6; –1). 6. Даны уравнения сторон треугольника x 2y 1 0, 5x 4y 17 0, x 4y 11 0 . Найти уравнения высот треугольника, не определяя координат его вершин. Задачи повышенного уровня сложности 20 7. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку (2x 7y 8) (3x 2y 5) 0 и проходящей под углом o 45 к прямой 2x 3y 7 0 . (Решить, не находя центр пучка.) 8. Найти уравнение сторон треугольника, если известны координаты одной из его вершин (2; –1), и уравнения высоты 7x 10y 1 0 и биссектрисы 3x 2y 5 0 , проведенных из одной вершины. (Ре- шить, не вычисляя координат других вершин треугольника.) 9. Луч света, пройдя через точки А(4; 6) и В(5; 8), упал на прямую x 2y 2 0 и отразился от нее. Составить уравнение прямой, по которой направлен отраженный луч. 10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1; –1) так, что середина ее отрезка между прямыми 2x 3y 6 0 и 2x 3y 6 0 лежала бы на прямой 2x 15y 42 0 . 11. Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны треуголь- ника АВС, если задана его вершина А(1; 3) и уравнения медиан x 2y 1 0 и y 1 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 8 Домашнее задание 20. Пучок прямых на плоскости 1. Найти центр пучка (3x 4y 29) (2x 5y 19) 0 . 2. Дано уравнение пучка прямых (5x 3y 7) (3x 10y 4) 0 . Найти все значения а, при которых прямая ax 5y 9 0 не при- надлежит данному пучку. 3. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку (2x y 2) (x 5y 23) 0 и делящей пополам отрезок пря- мой, ограниченный точками А(5; –6) и В(–1;–4). Решить зада- чу, не находя центр пучка. 4. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку (3x 2y 1) (4x 5y 8) 0 и проходящей через середину от- резка прямой x 2y 4 0 , заключенного между прямыми 2x 3y 5 0 и x 7y 1 0 . 5*. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку 2x y 1 t(x 3y 10) 0 , которая отсекает от координатных осей (считая от начала координат) отрезки равной длины. Самостоятельная работа 20 Вариант 1. 1. Определение пучка прямых на плоскости. 2. Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух прямых из этого пучка: 3x 2y 6 0, 7x y 31 0 , и найдите его центр. Вариант 2. 1. Напишите общий вид уравнения пучка прямых на координатной плоскости Оху. 2. Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух прямых из этого пучка: 3x 2y 6 0, 2x 7y 38 0 , и найдите его центр. Вариант 3. 1. Напишите уравнение пучка прямых с одним параметром. 2. Напишите уравнение пучка прямых с центром пучка в точке (–3; 2). 3. Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС лежат соответственно на прямых: 3x 2y 6 0, 7x y 31 0 и 2x 7y 38 0 . Не вычис- ляя координат вершин треугольника, найдите уравнение высоты АD. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 9 Вариант 4. 1. Напишите уравнение пучка прямых с заданным центром пучка o o (x , y ) . 2. Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух прямых из этого пучка: x 2, y 3 . 3. Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС лежат соответственно на прямых 3x 2y 6 0, 7x y 31 0 и 2x 7y 38 0 . Не вычис- ляя координат вершин треугольника, найдите уравнение высоты ВD. п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 20 Определения 1. Определение пучка прямых на плоскости. 2. Определение уравнения пучка прямых. 3. Определение уравнения пучка прямых с одним параметром. Теоремы 1. Теорема об уравнении пучка прямых на плоскости. 2. Теорема об уравнении пучка прямых с данным центром пучка. 3. Следствие об уравнении пучка прямых с одним параметром и дан- ным центром пучка. Тест 20 1. Напишите уравнение пучка прямых, в котором находятся прямые x 2y 1 0 и 2x y 1 0 . 2. Дан пучок прямых (x 4y 1) (2x y 11) 0 . Найдите его центр. 3. Напишите уравнение пучка прямых с центром в точке М(–1; 3). 4. Напишите уравнение пучка прямых на координатной плоскости Оху, проходящих через начало координат. 5. Из пучка прямых (2x 4y 13) (2x y 2) 0 выберите пря- мую, проходящую через точку А(1; 3). 6. Из пучка прямых (2x 4y 1) (2x y 2) 0 выберите прямую параллельную прямой x y 1 0 . 7. Из пучка прямых (2x y 1) (2x y 2) 0 выберите прямую перпендикулярную прямой x y 1 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10 10 8. Из пучка прямых (2x y 1) (2x y 2) 0 выберите две вза- имно перпендикулярных прямых. 9. Докажите, что прямая x 8y 7 0 принадлежит пучку (2x y 2) (x 2y 1) 0 . 10. При каком значении С прямая 4x 3y C 0 принадлежит пучку (3x 2y 9) (2x 5y 5) 0 . Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 1 Практическое занятие 21 Общее уравнение плоскости Краткое содержание: общее уравнение плоскости, нормальный вектор плоскости, неполные уравнения, уравнение плоскости в отрезках, угол между плоскостями, условия параллельно- сти и перпендикулярности двух плоскостей, взаимное расположение двух плоскостей. п.1. Теория п.1.1. Уравнение плоскости Определение. Уравнение F(x, y,z) 0 , где F(x, y,z) некоторая функция трёх действительных переменных, называется уравнением поверхности в координатном пространстве Охуz, если точка пространства лежит на поверхности тогда и толь- ко тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному урав- нению, т.е. a,b,c R, M(a,b,c) F(a,b,c) 0 . Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоско- сти, называется её нормальным вектором, и обозначается n (A, B, C) Теорема. (Геометрический смысл алгебраического уравнения 1-й сте- пени с тремя неизвестными.) Алгебраическое уравнение 1-й степени Ax By Cz D 0 , где коэффициенты А, В, С, D – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, является уравнением плоскости коор- динатного пространства Охуz, а вектор n (A, B, C) является её нор- мальным вектором. Обратно, в координатном пространстве Охуz уравнение любой плоскости с нормальным вектором n (A, B, C) может быть записано в виде такого алгебраического уравнения. Определение. Уравнение плоскости вида Ax By Cz D 0 , где коэффициенты А, В, С, D – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, называется общим уравнением плос- кости. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 2 Определение. Общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0 , в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С, D равен нулю, на- зывается неполным. Виды неполных уравнений y b, b 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Охz; y 0 – уравнение координатной плоскости Охz; x a, a 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Оуz; x 0 – уравнение координатной плоскости Оуz; z c, c 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Оху; z 0 – уравнение координатной плоскости Оху; Ax By D 0, D 0 – уравнение плоскости, параллельной коорди- натной оси Оz; Ax By 0 – уравнение плоскости, содержащей координатную ось Оz; Ax Cz D 0, D 0 – уравнение плоскости, параллельной коорди- натной оси Оу; Ax Cz 0 – уравнение плоскости, содержащей координатную ось Оу; By Cz D 0, D 0 – уравнение плоскости, параллельной коорди- натной оси Ох; By Cz 0 – уравнение плоскости, содержащей координатную ось Ох; Ax By Cz 0 – уравнение плоскости, содержащей начало коорди- нат. Определение. Уравнение плоскости вида x y z 1 a b c , где а, b и с – произвольные, не равные нулю действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 3 Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов в уравнении плос- кости в отрезках.) Пусть x y z 1 a b c – уравнение плоскости в отрез- ках. Тогда (а; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; с) – координаты точек её пересече- ния с осями координат. Рис. 1 Определение. Уравнение плоскости вида o o o A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 , где o o o (x , y , z ) – координаты её произвольной фиксированной точки o M , (A, B, C) n – координаты её нормального вектора, называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором. п.1.2. Взаимное расположение двух плоскостей Две плоскости либо совпадают, либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.. Теорема. Пусть плоскости заданы общими уравнениями: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 : A x B y C z D 0, : A x B y C z D 0 . Тогда: 1) если 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D , то плоскости совпадают; 2) если 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D , то плоскости параллельные; 3) если 1 1 2 2 A B A B или 1 1 2 2 B C B C то плоскости пересекаются по прямой, с b а х у z Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13 4 уравнением которой служит система уравнений: 1 1 1 1 2 2 2 2 A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 п.1.3. Угол между двумя плоскостями, условие перпендикулярно- сти двух плоскостей Теорема. Пусть 1 2 n n – нормальные векторы двух плоскостей, тогда один из двух углов между данными плоскостями равен: 1 2 1 2 n n arc cos | n | | n | Следствие. (Условие перпендикулярности двух плоскостей.) Пусть 1 2 1 1 1 2 2 2 n (A ; B ;С ), n (A ; B ;С ) – нормальные векторы двух данных плоскостей. Если скалярное произведение 1 2 1 2 1 2 1 2 n n A A B B С С 0 , то данные плоскости являются перпендикулярными. п.1.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки |