АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Теорема. Пусть – нормирующий множитель общего уравнения плоскости Ax By Cz D 0 . Тогда уравнение Ax By Cz D 0 является нормированным уравнением данной плоскости. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 2 п.1.2. Невязка и отклонение Определение. Пусть : Ax By Cz D 0 – произвольное общее уравнение плоскости, 1 1 1 1 M (x , y , z ) – произвольная фиксированная точка. Число 1 1 1 1 (M ; ) Ax By Cz D называется невязкой точки 1 M относительно плоскости Определение. Пусть : Ax By Cz D 0 – произвольное общее уравнение плоскости с нормальным вектором n (A,B,C) , и 1 1 1 1 M (x , y , z ) – произвольная фиксированная точка. Число 1 1 1 1 1 2 2 2 (M ; ) Ax By Cz D (M ; ) | n | A B C называется отклонением точки 1 M от плоскости п.1.3. Расстояние от точки до плоскости и между параллельными плоскостями Теорема. Расстояние d от точки 1 1 1 1 M (x , y , z ) до плоскости : Ax By Cz D 0 равно 1 1 1 1 1 2 2 2 | Ax By Cz D | d d (M ; ) | (M ; ) | A B C или 1 1 1 d | x cos y cos z cos p | , где x cos y cos z cos p 0 – нормированное уравнение дан- ной плоскости. Теорема. Пусть 1 1 1 1 1 : x cos ycos zcos p 0 , 2 2 2 2 2 : x cos ycos zcos p 0 – нормированные уравнения двух параллельных плоскостей, где o o 1 2 1 1 1 2 2 2 n (cos ,cos ,cos ), n (cos ,cos ,cos ) – их нормальные векторы. Обозначим через 1 2 d ( ; ) расстояние ме- жду данными плоскостями. Тогда: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 3 а) если o o 1 2 n n , то 1 2 1 2 d ( ; ) | p p | ; б) если o o 1 2 n n , то 1 2 1 2 d ( ; ) p p . (Смотрите рисунки 1 и 2.) Рис. 1 Рис. 2 Следствие. Пусть даны общие уравнения двух параллельных плоско- стей с одинаковыми коэффициентами при переменных: 1 1 2 2 : Ax By Cz D 0, : Ax By Cz D 0 . Тогда: 1) если 1 2 D D 0 , то начало координат лежит не между плоскостями и 1 2 1 2 2 2 2 | D D | d ( ; ) A B C ; 2) 1) если 1 2 D D 0 , то начало координат лежит между плоскостями и 1 2 1 2 2 2 2 | D | | D | d ( ; ) A B C 2 1 2 p 1 p o 1 n О o 2 n 2 p 1 p 2 1 o o 1 2 n n О Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 4 п.1.4. Взаимное расположение плоскости и двух точек Пусть даны точки 1 1 1 1 M (x ; y ; z ) , 2 2 2 2 M (x ; y ; z ) и плоскость : Ax By Cz D 0 . Любая плоскость делит пространство на два полупространства. Если ни одна из точек не лежит на данной плоско- сти, то возможны два случая: 1) обе точки лежат в одном полупространстве (по одну сторону от плоскости); 2) точки лежат в разных полупространствах (по разные стороны от плоскости). Теорема. Пусть 1 1 1 1 1 (M ; ) Ax By Cz D и 2 2 2 2 2 (M ; ) Ax By Cz D – невязки данных точек относи- тельно данной плоскости. Тогда 1) если 1 2 0 , то обе точки лежат в одном полупространстве от- носительно данной плоскости (по одну сторону от плоскости); 2) если 1 2 0 , то обе точки лежат в разных полупространствах относительно данной плоскости (по разные стороны от плоскости). п.1.5. Биссекторные плоскости двугранного угла Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся плоско- стей: 1 1 1 1 1 : A x B y C z D 0 и 2 2 2 2 2 : A x B y C z D 0 , причем 1 2 1 2 1 2 A A B B C C 0 . Тогда: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D 0 A B C A B C – уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла, обра- зованного пересечением данных плоскостей; 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D 0 A B C A B C – уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла. Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся плоско- стей: 1 1 1 1 1 : A x B y C z D 0 и 2 2 2 2 2 : A x B y C z D 0 , Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 5 причем направления их нормальных векторов 1 1 1 1 n (A ,B ,C ) и 2 2 2 2 n (A ,B ,C ) выбраны так, что угол между ними является острым, т.е. 1 2 1 2 1 2 1 2 n n A A B B C C 0 Тогда: 1) точка o o o o M (x , y ,z ) находится внутри острого двугранного угла тогда и только тогда, когда невязки точки o M относительно данных плоскостей имеют противоположные знаки o 1 o 2 (M , ) (M , ) 0 ; 2) точка o o o o M (x , y ,z ) находится внутри тупого двугранного угла то- гда и только тогда, когда невязки точки o M относительно данных плоскостей имеют одинаковые знаки. o 1 o 2 (M , ) (M , ) 0 . п.1.6. Пересечение трех плоскостей в единственной общей точке Теорема. Пусть даны общие уравнения трех плоскостей: 1 1 1 1 1 : A x B y C z D 0 , 2 2 2 2 2 : A x B y C z D 0 , 3 3 3 3 3 : A x B y C z D 0 , i i i i n (A ; B ;C ), i 1, 2,3 – их соответст- вующие нормальные векторы. Для того, чтобы три данные плоскости пересекались в единственной точке необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение их нормальных векторов не равнялось нулю: 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 3 3 A B C n n n A B C 0 A B C . В этом случае, координаты их единственной общей точки являются единственным решением системы уравнений: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 п.2. Список задач Список №1 1. Определить, является ли данное уравнение нормированным уравне- нием плоскости. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 6 2. Найти нормирующий множитель для данного общего уравнения плоскости. 3. Привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, и найти расстояние до неё от начала координат. 4. Найти невязку и отклонение точки от плоскости. 5. Найти расстояние от точки до плоскости. 6. Убедиться, что три данные плоскости пересекаются в единственной точке и найти её координаты. Список №2 1. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями. 2. Определить взаимное расположение двух точек и плоскости. 3. Определить, внутри острого или тупого двугранного угла, образо- ванным двумя пересекающимися плоскостями, лежит данная точка. 4. Найти уравнение биссекторной плоскости острого (тупого) дву- гранного угла между двумя пересекающимися плоскостями. п.3. Примеры Пример 1. Определить, какие из следующих уравнений прямых яв- ляются нормированными: а) x 2y 3z 1 0 ; б) 2 2 1 x y z 0 3 3 3 ; в) y 1 0 ; г) 4 1 2 x y z 1 0 3 3 3 ; д) 3 4 x y 6 0 4 5 ; е) 6 7 6 x y z 3 0 11 11 11 ; ё) x 3 0 Решение. Пользуемся определением нормированного уравнения плос- кости. а) 2 2 2 A 1, B 2, C 3, A B C 1 , уравнение не нормированное; б) свободный член D 0 , уравнение не нормированное; в) свободный член D 1 0 , уравнение не нормированное; г) коэффициент 2 2 2 4 A 1 A B C 1 3 , уравнение не нормиро- ванное; д) 2 2 2 2 2 3 4 D 6 0, A B C 0 1 4 5 – уравнение норми- Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 7 рованное; е) 2 2 2 2 2 2 6 7 6 A B C 1 11 11 11 , свободный член D 3 0 – уравнение нормированное; ё) свободный член D 3 0 , 2 2 2 A 1, B 0, C 0, A B C 1 – уравнение нормированное. Ответ: д), е) и ё). Пример 2. Записать нормированное уравнение плоскости, если его общее уравнение имеет вид: 3x 4y 12z 26 0 , и найти расстояние от начала координат до плоскости. Решение. Имеем, n (3; 4; 12) , 2 2 2 | n | 3 ( 4) 12 13 Для получения нормированного уравнения плоскости умножим обе части общего уравнения на нормирующий множитель 1 1 13 | n | , который имеет знак, противоположный знаку свободного члена: 3 4 12 x y z 2 0 13 13 13 . Ответ: 3 4 12 x y z 2 0 13 13 13 – нормированное уравнение плоско- сти. Расстояние от начала координат до плоскости равно 2. Пример 3. Найти расстояние между двумя параллельными плоско- стями 3x 2y 6z 5 0 и 3x 2y 6z 2 0 . Решение. 1-й способ. Найдем нормальный вид уравнений плоскостей: 3 2 6 5 3 2 6 2 x y z 0, x y z 0 7 7 7 7 7 7 7 7 . Здесь, o o 1 2 3 2 6 n , , n 7 7 7 , следовательно, начало координат нахо- дится между плоскостями и расстояние между плоскостями равно Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 8 1 2 5 2 d p p 1 7 7 . 2-й способ. Воспользуемся следствием пункта 3. Так как соответст- вующие коэффициенты при переменных равны, а свободные члены уравнений имеют противоположные знаки, то начало координат нахо- дится между плоскостями и 1 2 2 2 2 2 2 2 | D | | D | 5 2 d 1 A B C 3 2 6 Ответ: 1. Пример 4. Найти расстояние от точки А (2; –2; 0) до плоскости x 2y 2z 12 0 . Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости: 1 1 1 2 2 2 | Ax By Cz D | | 2 2( 2) 2 0 12 | d 2 1 4 4 A B C Ответ: 2. Пример 5. Найти взаимное расположение плоскости x y 2z 7 0 и точек А (0; –1; 4), В(2; 3; 0). Решение. Найдем невязки точек А и В относительно данной плоско- сти: A A A A Ax By Cz D 1 0 ( 1) 2 4 7 2 0 , B B B B Ax By Cz D 1 2 3 2 0 7 8 0 . Невязки имеют противоположные знаки, поэтому точки А и В распо- ложены в разных полупространствах относительно данной плоскости. Ответ: данные точки расположены по разные стороны от данной плоскости. Пример 6. Найти биссекторную плоскость острого двугранного угла образованного плоскостями: 2x 14y 15z 3 0 , 2x 2y 3z 3 0 . Решение. Чтобы скалярное произведение нормальных векторов дан- ных плоскостей было положительным перепишем уравнения плоско- стей в виде: 2x 14y 15z 3 0 , 2x 2y 3z 3 0 . Теперь, согласно теореме п.5, уравнение Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 9 2x 14y 15z 3 2x 2y 3z 3 0 4 196 225 4 4 9 есть уравнение биссекторной плоскости острого угла. После очевид- ных преобразований получаем 4x 2y 15z 9 0 . Ответ: 4x 2y 15z 9 0 . Пример 7. Найти биссекторную плоскость того двугранного угла об- разованного плоскостями x z 5 0 и 3x 5y 4z 0 , внутри кото- рого лежит точка М(1; 1; 1). Решение. Умножим первое уравнение на (–1), чтобы выполнялось ус- ловие теоремы п.6 1 2 1 2 1 2 1 2 n n A A B B C C 0 Имеем, уравнения двух плоскостей: x z 5 0 и 3x 5y 4z 0 , для которых 1 2 1 2 1 2 1 2 n n A A B B C C 3 4 1 0 . Находим не- вязки данной точки относительно этих плоскостей: 1 2 1 1 5 5, 3 5 4 12 Так как знаки невязок одинаковы, то точка М лежит в тупом двугран- ном угле. Искомая биссекторная плоскость является биссекторной плоскостью тупого двугранного угла. Применяя теорему п.5, получа- ем x z 5 3x 5y 4z 0 2 5 2 . Умножая уравнение на ( 5 2) и приводя подобные члены, получаем 8x 5y z 25 0 . Ответ: 8x 5y z 25 0 . Пример 8. Убедиться, что плоскости 1 2 3 : 7x 2y z 1 0, : 6x 3y 2z 5 0, : x y 0 пересекаются в одной точке и найти её координаты. Решение. Выписываем нормальные векторы данных плоскостей: 1 2 3 n (7; 2; 1), n (6;3; 2), n (1; 1;0) . Замечаем, что среди них нет коллинеарных. Находим их смешанное произведение: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 10 1 2 3 7 2 1 n n n 6 3 2 1 0 1 1 0 Следовательно, плоскости пересекаются в одной точке. Для вычисле- ния координат точки пересечения решаем систему 7x 2y z 1 0 6x 3y 2z 5 0 x y 0 , и находим x y 7, z 34 . Ответ: плоскости пересекаются в точке (–7; –7; –34). п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 22 1. Определить, какие из уравнений плоскостей являются нормальны- ми: а) 1 2 2 x y z 5 0 3 3 3 ; б) 2 1 1 x y z 3 0 3 3 3 ; в) 6 3 2 x y z 5 0 7 7 7 ; г) 6 6 7 5 x y z 0 11 11 11 11 ; д) 3 4 x y 3 0 5 5 ; е) 5 12 y z 1 0 13 13 ; ё) z 1 0 2. Найти нормирующий множитель и привести уравнения плоскостей к нормальному виду: а) 2x 2y z 18 0 ; б) 3 6 2 x y z 3 0 7 7 7 ; в) 4x 6y 12z 11 0 ; г) 6x 6y 7z 11 0 ; д) 5y 12z 26 0 ; е) 3x 4y 1 0 ; ё) 2z 1 0 3. Для каждой плоскости вычислить углы между нормалью к плоско- сти и осями координат, и расстояние от начала координат до плос- кости: а) x y 2 z 10 0 ; б) x y z 2 16 0 ; в) x z 6 0 ; г) y z 2 0 ; д) x 3 y 10 0 ; е) x 2 0 ; ё) 2y 1 0 . 4. Вычислить невязку, отклонение и расстояние от данной точки до данной плоскости: а) А(3; –6; 7), 4x 3z 1 0 ; б) В(–2; –4; 3), 2x y 2z 3 0 ; в) С(2; –1; –1), 16x 12y 15z 4 0 . 5. Убедиться, что данные плоскости пересекаются в одной точке, и найти её координаты: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14 11 2x 4y z 4 0, 3x 6y 2z 4 0, 4x y 3z 1 0 . 6. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями: а) x 2y 2z 12 0, x 2y 2z 6 0 ; б) 2x 3y 6z 14 0, 4x 6y 12z 21 0 ; в) 2x y 2z 9 0, 4x 2y 4z 21 0 . 7. Определить, лежит ли точка D(2; –1; 1) и начало координат в одном полупространстве или в разных относительно данной плоскости: а) 5x 3y z 18 0 ; б) 2x 7y 3z 1 0 ; в) x 5y 12z 1 0 . 8. На оси ординат найти точку, отстоящую от плоскости x 2y 2z 2 0 на расстоянии, равном 4. Задачи повышенного уровня сложности 22 9. Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла между плоскостями x z 5 0 и 3x 5y 4z 0 . 10. Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупо- го угла, образованного плоскостями x 2y 3z 5 0 и 2x y z 3 0 . 11. Определить, лежат ли точки А(2; –1; 1) и В(1; 2; –3) в одном, смежном или вертикальных двугранных углах, образованных плос- костями x 2y 3z 5 0 и 2x y z 3 0 . 12. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями 2x y 2z 3 0 и 3x 2y 6z 1 0 , в котором лежит точка М(1; 2; –3). 13. Грани тетраэдра заданы уравнениями x 2y 2z 3 0 , 4x 4y 7z 9 0, 8x 4y z 3 0, y z 0 . Составить уравнение биссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между пер- выми двумя гранями. |