АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 35 из 44

Список №2.
1. Найти уравнение касательной к параболе, удовлетворяющей дан- ному условию.
2. Определить взаимное расположение параболы и прямой.
3. Различные задачи, раскрывающие дополнительные свойства пара- болы, задачи повышенного уровня сложности.
п.3. Примеры
Пример 1.
Для параболы, заданной каноническим уравнением
2
y
4x

, найти: фокальный параметр, координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы. Построить чертеж.
Решение. Находим фокальный параметр p 2
 , координаты фокуса
F(1; 0) и уравнение директрисы x
1
  . Строим чертеж (смотрите ри-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 5 сунок 2).
Ответ: p 2, F(1;0), x
1

  , рисунок 2.
Пример 2.
Составить уравнение параболы, вершина которой находит- ся в начале координат, расположена симметрично оси абсцисс и про- ходит через точку А(9; 6).
Решение. Подставляем координаты данной точки в каноническое уравнение параболы
2
y
2px

2 6
2p 9

 .
Из полученного уравнения находим фокальный параметр: p 2
 .
Ответ:
2
y
4x

Пример 3.
Убедиться, что точка М(5; 10) лежит на параболе
2
y
20x

, и найти её фокальный радиус.
Решение. Подставляем координаты точки М в уравнение параболы:
2 10 20 5

 .
Так как получили верное равенство, то данная точка М лежит на дан- ной параболе. Находим фокальный параметр p 10

. Для вычисления фокального радиуса точки М используем формулу: p
10
r x
5 10 2
2
   

Ответ: 10.
Пример 4.
Найти уравнение касательной к параболе
2
y
20x

, прове- денной в точке М(5; 10).
Решение. Фокальный параметр параболы p 10

. Воспользуемся урав- нением касательной, проведенной к параболе в точке
0 0
(x , y ) o
o y y p(x x )


Имеем, 10y 10(x 5)

 или y x 5
  .
Ответ: y x 5
  .
Пример 5.
Найти фокальный параметр и определить расположение относительно координатных осей следующих парабол: а)
2
y
6x

; б)
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 6
2
x
4y

; в)
2
y
4x
 
; г)
2
x
2y
 
Ответ: а) p 3
 , парабола с вершиной в начале координат, расположе- на симметрично относительно оси абсцисс, ветви параболы направле- ны вправо; б) p 2
 , парабола с вершиной в начале координат, расположена сим- метрично относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх; в) p 2
 , парабола с вершиной в начале координат, расположена сим- метрично относительно оси абсцисс, ветви параболы направлены вле- во; г) p 1
 , парабола с вершиной в начале координат, расположена сим- метрично относительно оси ординат, ветви параболы направлены вниз.
Пример 6.
Составить уравнение параболы, если известны координаты её фокуса F(–6; 0) и уравнение директрисы x 6 0
 
Решение. Так как начало координат находится на фокальной оси па- раболы посередине между фокусом и директрисой, а направление фо- кальной оси противоположно направлению оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид:
2
y
2px
 
где фокальный параметр р равен расстоянию от фокуса до директри- сы: p 12

Ответ:
2
y
24x
 
Пример 7.
Установите, что уравнение
2
y
4 6x
 
определяет парабо- лу, найдите её фокальный параметр, координаты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Определите её ось симметрии и направление ветвей.
Решение. Запишем данное уравнение в виде:
2 2
y
6(x
)
3
 

Если взять параболу
2
y
6x
 
и выполнить её параллельный перенос по оси абсцисс вправо на величину, равную
2 3
, то получаем параболу

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 7 с данным уравнением. Следовательно, данное уравнение является уравнением параболы.
Далее, для параболы
2
y
6x
 
имеем: фокальный параметр p 3
 , координаты вершины (0; 0), координаты фокуса
3
(
;0)
2

, уравнение директрисы
3
x
2
 .
После параллельного переноса параболы вдоль оси абсцисс на
2 3
, величина её фокального параметра не изменится, а абсциссы коорди- нат вершины параболы и её фокуса увеличатся на
2 3
:
2 5
A( ;0), F(
;0)
3 6

. Директриса параболы также сдвинется по оси абс- цисс вправо на
2 3
:
13
x
6

Ответ: p 3
 , координаты вершины
2
A( ;0)
3
, координаты фокуса
5
F(
;0)
6

, уравнение директрисы
13
x
6

, осью симметрии является ось абсцисс, ветви направлены влево.
Пример 8.
Установите, что уравнение
2 1
y x
x 2 4

  определяет па- раболу, найдите её фокальный параметр, координаты вершины и фо- куса, и уравнение директрисы. Определите её ось симметрии и на- правление ветвей.
Решение. Данное уравнение можно рассматривать как квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола. Так как старший коэффициент положительный, то ветви параболы направле- ны вверх. Для нахождения координат её вершины можно использо- вать формулы: в
b
1
x
2 1
2a
2 4
 
 
 

,
2
в в
в
1
y x
x
2 1 4


  .
Отсюда следует, что осью симметрии (фокальной осью) является пря-
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 8
мая x
2
  , координаты вершины А(–2; 1). Для нахождения фокаль- ного параметра выделим в квадратном трехчлене полный квадрат:
2 2
1 1
y x
x 2
(x 2)
1 4
4

  

 .
Заметим, что из последнего уравнения сразу же следуют координаты вершины параболы А(–2; 1). Перепишем последнее уравнение в сле- дующем виде:
2
(x 2)
4(y 1)


 .
Это уравнение параболы, которое получается из уравнения параболы
2
x
4y

после её параллельного переноса, сначала, вдоль оси абсцисс влево на 2 единицы, а затем вдоль оси ординат вверх на одну единицу.
Так как фокальный параметр параболы при этом не изменится, то p 2
 .
Фокус параболы
2
x
4y

имеет координаты (0; 1), её директриса име- ет уравнение y
1
  . После параллельного переноса, получаем коор- динаты фокуса F(–2; 2), уравнение директрисы y 0
 .
Ответ: p 2
 , координаты вершины А(–2; 1), координаты фокуса F(–2;
2), уравнение директрисы y 0
 , ось симметрии x
2
  , ветви направ- лены вверх.
п.4. Задачи
Задачи для аудиторного решения 27
1. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, ес- ли она симметрична относительно оси абсцисс и её ветви направ- лены вправо, зная, что: а) фокальный параметр p 3
 ; б) парабола проходит через точку с координатами М(1; 2).
2. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, ес- ли она симметрична относительно оси абсцисс и её ветви направ- лены влево, зная, что: а) фокальный параметр p 0,5

; б) парабола проходит через точку с координатами М(–1; 3).
3. Определите, какие линии определяются следующими уравнениями: а) y 2 x

; б) y 2
x

 ; в) x
3
y
  
4. На параболе
2
y
16x

найдите точки, фокальный радиус которых равен 13.
5. Найдите фокальный параметр параболы, координаты её вершины и

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 9 фокуса, уравнение её директрисы, и изобразите на чертеже: а)
2
y
4x 8

 ; б)
2
x
2 y
  ; в)
2
y 4x
8x 7


 ; г)
2
x 2y
12y 14



6. Составьте уравнение параболы, если известны координаты её фоку- са F(7; 2) и уравнение её директрисы x 5

. Изобразите чертеж данной параболы.
7. Определите взаимное расположение параболы
2
y
5x
 
и прямой
5x y 15 0
 
 .
8. При каких значениях углового коэффициента прямая y kx 2

 : а) пересекает параболу
2 4x y
0

 ; б) касается ее; в) проходит вне этой параболы.
Задачи повышенного уровня сложности 27
9. Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе
2 4x y

. Со- ставьте уравнение хорды, соединяющей точки касания.
10. Определите точки пересечения параболы
2
y
3x

и гиперболы
2 2
5x
20y
100

 
. Выполните чертеж.
11. Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления располо- жены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 м.
Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, счи- тая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы. (Ответ: 40 см.)
12. Доказать, что две параболы, имеющие общую ось симметрии и общий фокус, расположенный между их вершинами, пересекаются под прямым углом.
13. Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.
Домашнее задание 27. Парабола
1. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, ес- ли она симметрична относительно оси ординат и её ветви направ- лены вверх, зная, что: а) фокальный параметр p 5
 ; б) парабола проходит через точку с координатами М(1; 2).
2. Вычислите фокальный радиус точки М параболы
2
y
12x

, если ор- дината точки М равна 6.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 10 3. Для параболы
2 1
y x
2x 7 6
 

 найдите её фокальный параметр, координаты её вершины и фокуса, уравнение её директрисы. Най- дите ось симметрии данной параболы, и изобразите её на чертеже.
4. Составьте уравнение параболы, если известны координаты её фоку- са F(4; 3) и уравнение её директрисы y
1
  . Изобразите чертеж данной параболы.
Самостоятельная работа 27
Вариант 1.
1. Определение фокального радиуса точки параболы.
2. Для параболы
2
y
16x

найдите фокальный параметр, координаты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Постройте чертеж.
Вариант 2.
1. Определение фокального параметра параболы.
2. Для параболы
2
y
8x
 
найдите фокальный параметр, координаты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Постройте чертеж.
Вариант 3.
1. Определение канонической для параболы системы координат.
2. Для параболы
2
x
12y 6

 найдите фокальный параметр, координа- ты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Постройте чертеж.
Вариант 4.
1. Определение параболы.
2. Для параболы
2
x
10 5y


найдите фокальный параметр, координа- ты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Постройте чертеж.
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 27
Обозначения
1. Обозначение фокального радиуса точки параболы.
2. Обозначение фокального параметра гиперболы.
3. Обозначение расстояния от точки параболы до её директрисы.
Определения
1. Определение параболы.
2. Определение фокального радиуса точки параболы.
3. Определение фокальной оси параболы.
4. Определение фокального параметра параболы.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11 11 5. Определение канонической для параболы системы координат.
6. Определение главных осей параболы.
7. Определение вершины параболы.
8. Определение канонического уравнения параболы.
9. Определение ветвей параболы.
Теоремы
1. Каноническое уравнение параболы.
2. Свойства параболы.
3. Фокальный радиус точки параболы.
4. Уравнение директрисы параболы.
5. Уравнение касательной к параболе.
6. Зеркальное свойство параболы. Физическая и математическая фор- мулировки.
Тест 27
1. Найдите фокальный параметр параболы
2
y
32x

2. Найдите координаты вершины и координаты фокуса параболы
2
y
22x

3. Найдите уравнение директрисы параболы
2
y
13x

4. Найдите уравнение оси симметрии параболы
2
(y 1)
x

 .
5. Найдите координаты вершины параболы
2
(y 1)
2x 2


 .
6. Найдите уравнение параболы, если известно, что её вершина нахо- дится в начале координат, осью её симметрии является ось абсцисс, и парабола проходит через точку М(–2; 1).
7. Напишите уравнение касательной к параболе
2
y x
  в точке М(–1;
–1).
8. На параболе
2
y
5x
 
найдите точку с ординатой, равной –10, и найдите её фокальный радиус.
9. Постройте чертеж параболы
2
x
8x 9y 29 0



 .
10. Составьте уравнение параболы, если известны координаты её фо- куса F(2; 1) и уравнение директрисы y 2
 .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 1
Практическое занятие 28
Алгебра матриц
Краткое содержание: основные определения, действия с матрицами и их свойства, нулевая и единичная матрицы, противоположная матрица.
п.1 Теория
п.1.1 Основные определения
Пусть  – поле, элементы которого мы будем называть скалярами.
Определение.__Матрица_размеров_1_n_:_1_2n(a_,_a_,_..._,_a_)_называется_строкой_длины_n._Определение.'>Определение.'>Определение. Матрицей размера m n
 над полем  называется таб- лица элементов поля  , имеющую m строк и n столбцов:
11 12 1n
21 22 2n ij i 1,...,m ij j 1,...,n m1
m2
mn a
a
... a a
a
... a
A
(a )
(a )
a a
... a

















Определение. Элементы ij a
  называются элементами матрицы, где i – номер строки, в которой находится элемент ij a , j – номер столбца.
Определение.
Матрица размеров n 1
 :
1 2
n a
a a
 
 
 
 
 
 

называется столбцом высоты n.
Определение.
Матрица размеров
1 n
 :
1 2
n
(a , a , ... , a ) называется строкой длины n.
Определение.
Матрица размеров n n
 называется квадратной матри- цей n-го порядка.
Определение.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называет- ся нулевой и обозначается буквой О.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 2
В квадратной матрице выделяют две диагонали, как диагонали квад- рата: главную диагональ и побочную диагональ. Главную диагональ образуют элементы
11 22
nn a , a , ... , a , т.е. элементы с одинаковыми нижними индексами. Побочную диаго- наль образуют элементы
1n
2,n 1
n1
a , a
, ... , a

Определение.
Квадратная матрица, в которой все элементы вне глав- ной диагонали равны 0, называется диагональной:
11 22
nn a
0 0
0
a
0 0
0
... a












Определение.
Матрица t
A размера n m
 называется транспониро- ванной по отношению к матрице А размера m n
 , если к-й столбец матрицы t
A состоит из элементов к-й строки матрицы А, для всех k 1, 2, ... , m

:
11 21
m1 12 22
m2
t
1n
2n mn a
a
... a a
a
... a
A
a a
... a













Определение.
Процесс (процедура) получения транспонированной матрицы из данной называется транспонированием матрицы.
Определение.
Две матрицы ij
A (a )

и ij
B (b )

называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для всех значений индексов выполняется равенство ij ij a
b

п.1.2 Сложение матриц
Определение.
Суммой матриц ij
A (a )

и ij
B (b )

одинаковой раз-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 3 мерности m n
 называется третья матрица ij
C (c )

такой же размер- ности m n
 , где ее элементы ij c определяются равенством ij ij ij c
a b

 для всех значений индексов, и обозначается
C A B
 
Замечание.
Сложение матриц различных размеров не определено.
(Их нельзя складывать!)
Другими словами, для того, чтобы найти сумму двух матриц одинако- вой размерности, нужно сложить соответствующие элементы (т.е. элементы, имеющие одинаковые нижние индексы) этих матриц:
A B
 
11 12 1n
11 12 1n
21 22 2n
21 22 2n m1
m2
mn m1
m2
mn a
a
... a b
b
... b a
a
... a b
b
... b a
a
... a b
b
... b

 


 


 





 


 


 

11 11 12 12 1n
1n
21 21 22 22 2n
2n m1
m1
m2
m2
mn mn a
b a
b
... a b
a b
a b
... a b
a b
a b
... a b






















Определение.
Матрица В называется противоположной матрице А, если она удовлетворяет равенству
A B B A O
   
, где О – нулевая матрица, и обозначается:
A
 .
Множество всех матриц размера m n
 над полем  обозначим через m,n m,n
M
( ) M


Теорема.
(Свойства сложения матриц.) Множество матриц m,n
M
от- носительно сложения является абелевой группой.
Иначе говоря, сложение матриц подчиняется следующим законам:
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 4
1) ассоциативность: m,n
A,B,C M


(A B) C A (B C)

  

;
2) существование нулевой матрицы: m,n
O M
 
– нулевая матрица, та- кая, что m,n
A M
 
верны равенства
O A A O A
   
;
3) существование противоположной матрицы: m,n m,n
A M
, ( A) M
 
  
:
( A) A A ( A) O

   
 ;
4) коммутативность: m,n
A,B M


A B B A
   .