АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Практическое занятие 25 Эллипс Краткое содержание: определение кривой 2-го порядка, окружность и ее уравнение, опреде- ление эллипса, основная терминология, каноническая для эллипса система координат и кано- ническое уравнение эллипса, параметрическое уравнение эллипса, касательная к эллипсу, зеркальное свойство эллипса, директрисы и фокальный параметр эллипса. п.1. Теория п.1.1. Кривые 2-го порядка Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек координатной плоскости, координаты которых удовле- творяют алгебраическому уравнению 2-й степени с двумя неизвест- ными: 2 2 Ax By Cxy Dx Ey F 0 . п.1.2. Окружность Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности. Определение. Расстояние от любой точки окружности до ее центра называется радиусом окружности. Теорема. Окружность является кривой 2-го порядка и в ПДСК ее уравнение имеет вид: 2 2 2 0 0 (x x ) (y y ) R , где 0 0 (x , y ) – координаты центра окружности, R – радиус окружности. Определение. Если центр окружности находится в начале ПДСК, то такая система координат называется канонической для окружности, а уравнение 2 2 2 x y R называется каноническим уравнением окружности. п.1.3. Эллипс Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 2 Фокусы эллипса принято обозначать буквами 1 F и 2 F . Расстояния от любой точки М до фокусов обозначаются 1 1 r (M) MF и 2 2 r (M) MF Определение. Расстояния от точки М, лежащей на эллипсе, до фоку- сов 1 1 r (M) MF и 2 2 r (M) MF называются фокальными радиусами точки М. Замечание. Из определения эллипса следует, что точка М является точкой эллипса тогда и только тогда, когда сумма её фокальных ра- диусов 1 2 r (M) r (M) есть величина постоянная для данного эллипса. Эту константу принято обозначать через 2а: 1 2 2a r (M) r (M) Определение. Расстояние между фокусами эллипса называется фо- кусным расстоянием. Фокусное расстояние для данного эллипса есть величина постоянная и ее принято обозначать через 2с: 1 2 2c F F Рис. 1 Из определения эллипса и из неравенства треугольника (смотрите ри- сунок 1) следует, что 2a 2c Определение. Число 2а называется большой осью эллипса, число 2b, где 2 2 b a c , называется малой осью эллипса. Числа а и b называ- ются соответственно большой и малой полуосью эллипса. Определение. Отношение фокусного расстояния эллипса к его боль- шой оси называется эксцентриситетом эллипса, и обозначается буквой 1 F 2 r 1 r М 2 F Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 3 е или : 2c c 2a a Определение. Ось, на которой лежат фокусы эллипса называется фо- кальной осью эллипса. Определение. ПДСК, ось абсцисс которой является фокальной осью эллипса, а начало координат лежит посередине между фокусами, на- зывается канонической для эллипса. Определение. В канонической для эллипса системе координат, оси координат называются главными осями эллипса, а начало координат называется центром эллипса. Ось абсцисс называется большой осью эллипса, а ось ординат называется малой осью эллипса. Определение. Точки эллипса, лежащие на его главных осях называ- ются вершинами эллипса. Теорема. (Каноническое уравнение эллипса.) Эллипс является кривой 2-го порядка, и в канонической для эллипса системе координат его уравнение имеет вид: 2 2 2 2 x y 1 a b . Определение. Уравнение 2 2 2 2 x y 1 a b называется каноническим урав- нением эллипса. Следствие. (Свойства эллипса.) 1) Главные оси эллипса являются его осями симметрии, а центр эл- липса является его центром симметрии. 2) Точки 1 1 2 2 A ( a,0), B (0,b), A (a,0), B (0, b) являются вершинами эл- липса. 3) Все точки эллипса находятся внутри прямоугольника | x | a, | y | b . Теорема. (Фокальные радиусы точки эллипса.) Пусть в канонической Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 4 для эллипса системе координат точка М(х,у) лежит на эллипсе. Тогда ее фокальные радиусы равны: 1 2 r a x, r a x , где а – большая полуось эллипса, – его эксцентриситет. Определение. В канонической для эллипса системе координат пря- мые a x называются директрисами эллипса. Рис. 2 Теорема. (Свойство директрис эллипса.) Пусть М -- произвольная точка эллипса, 1 r и 2 r – ее фокальные радиусы. Обозначим через 1 d и 2 d , соответственно, расстояния от точки М до левой и правой дирек- трисы эллипса. Тогда 1 2 1 2 r r d d . Определение. Фокальным параметром эллипса называется длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с эл- липсом, и обозначается буквой р. Теорема. Фокальный параметр эллипса равен 2 b p a Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение М –b а –а a x a x b у х с 1 r –с 2 r Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 5 касательной к эллипсу в точке 0 0 (x , y ) имеет вид: 0 0 2 2 x x y y 1 a b . Теорема. (Зеркальное свойство эллипса.) Луч света, выпущенный из одного фокуса эллипса после отражения от зеркала эллипса проходит через второй его фокус. Математическая формулировка зеркального свойства эллипса имеет следующий вид. Теорема. (Зеркальное свойство эллипса.) Касательная к эллипсу име- ет равные углы с фокальными радиусами точки касания. Теорема. (Параметрическое уравнение эллипса.) В канонической для эллипса системе координат его параметрическое уравнение имеет вид: x a cos t y b sin t , где параметр t [0; 2 ) . п.2. Список задач Список №1. 1. Написать уравнение окружности данного радиуса с центром в дан- ной точке. 2. Определить, лежит ли данная точка на данной окружности, вне ее или внутри ее. 3. Найти центр и радиус окружности, уравнение которой задано в виде 2 2 Ax Ay Bx Cy D 0 . Изобразить данную окружность на чертеже в ПДСК. 4. Определить, лежит ли данная точка на данном эллипсе, вне его или внутри его. 5. Зная каноническое уравнение эллипса, найти все его параметры: большую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокус- ное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр. 6. Изобразить эллипс в ПДСК на плоскости, зная его каноническое или параметрическое уравнение. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 6 7. Зная каноническое уравнение эллипса найти фокальные радиусы данной точки эллипса. 8. Зная каноническое уравнение эллипса найти уравнение касательной к эллипсу в его заданной точке. 9. Найти каноническое уравнение эллипса, если известны некоторые из его параметров (большая или малая полуось, фокусное расстоя- ние, эксцентриситет, расстояние между директрисами, фокальный параметр), или в канонической для эллипса системе координат из- вестны координаты одной или двух из его точек. 10. Найти центр и главные оси эллипса, заданного уравнением 2 2 Ax By Cx Dy E 0 . Список №2. 1. Найти уравнение касательной к данной окружности, проведенной через данную точку плоскости. 2. Нахождение центра и радиуса окружности, если ее положение на координатной плоскости задается другими данными. 3. Построение эллипса и вычисление всех его остальных параметров, если его большой осью является ось ординат, а малой – ось абс- цисс. 4. Найти уравнение эллипса после выполнения параллельного перено- са канонической системы координат на заданный вектор. 5. Найти уравнение касательной к эллипсу, проведенной через данную точку плоскости. 6. Определить взаимное расположение эллипса и прямой. 7. Различные задачи, раскрывающие дополнительные свойства эллип- са, задачи повышенного уровня сложности. п.3. Примеры Пример 1. Написать уравнение окружности радиуса 3 с центром в точке С(2; –1), и найти координаты точек пересечения окружности с осями координат. Решение. Уравнение данной окружности имеет вид: 2 2 (x 2) (y 1) 9 . Полагая в уравнении окружности х 0 , находим координаты точек пересечения окружности с осью ординат: 2 2 2 (0 2) (y 1) 9 (y 1) 5 y 1 5 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 7 Полагая в уравнении окружности y 0 , находим координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс: 2 2 2 (x 2) (0 1) 9 (x 2) 8 x 2 2 2 Ответ: 2 2 (x 2) (y 1) 9 , (0, 1 5), (2 2 2,0) Пример 2. Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением 2 2 3x 3y 6x 8y 7 0 . Решение. Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты: 2 2 8 3(x 2x) 3(y y) 7 0 3 , 2 2 2 2 4 4 4 3(x 2x 1 1) 3(y 2 y ) 7 0 3 3 3 , 2 2 2 2 4 4 4 3(x 2x 1) 3 3(y 2 y ) 3 7 0 3 3 3 , 2 2 4 16 3(x 1) 3(y ) 4 0 3 3 , 2 2 4 4 3(x 1) 3(y ) 3 3 , 2 2 2 4 2 (x 1) (y ) 3 3 Ответ: радиус окружности 2 R 3 , центр 4 C(1; ) 3 Пример 3. Какие из следующих точек лежат на эллипсе 2 2 x y 1 9 4 , какие из них лежат внутри него, какие – вне: А(–4; 0), В(0; 2), 9 8 3 2 3 C( ; ), D( ; ), E( ; 3) 5 5 2 3 2 ? Решение. Эллипс является замкнутой кривой, которая разделяет все точки плоскости на точки, лежащие на эллипсе, точки, лежащие внут- ри эллипса, и точки, лежащие вне эллипса. Если точка лежит на эл- липсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Если точка (х, у) лежит внутри эллипса, тогда 2 2 2 2 x y 1 a b . Если же точка с координатами (х, у) лежит вне эллипса, то Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 8 2 2 2 2 x y 1 a b . Подставляя координаты данных точек в уравнение эллипса, находим, что точками эллипса являются все данные точки, кроме точек А и D. Так как 2 ( 4) 0 16 1 9 4 9 , то точка А лежит вне эллипса. Для точки D имеем: 2 2 3 2 1 1 2 3 1 9 4 4 9 , то точка D лежит внутри эллипса. Ответ: точки В, С и Е лежат на эллипсе, точка А лежит вне эллипса, точка D лежит внутри эллипса. Пример 4. Для эллипса, заданного каноническим уравнением 2 2 x y 1 9 4 , найти все его основные параметры: большую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, экс- центриситет, уравнения директрис и расстояние между ними, фокаль- ный параметр. Построить чертеж, отметить на нем найденные пара- метры. Решение. Находим большую и малую полуоси эллипса: 2 2 a 9, b 4 a 3, b 2 . Находим координаты вершин эллипса и отмечаем их на чертеже: 1 2 1 2 A ( 3;0), A (3;0), B (0;2), B ( 2;0) Рисуем прямоугольник (штриховой линией) со сторонами x 3, y 2 , и вписываем в него эллипс. После построения эллипса штриховые стороны прямоугольника можно с чертежа удалить. Смотрите рису- нок 3. Найдем координаты фокусов эллипса и фокусное расстояние: 2 2 1 2 c a b 9 4 5 F ( 5;0), F ( 5;0) , 2c 2 5 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 9 Рис. 3 Отмечаем точки 1 F и 2 F на оси абсцисс. Находим эксцентриситет: c 5 a 3 Находим уравнения директрис и расстояние между ними: a 9 5 2a 18 5 x , 2d 5 5 , и изображаем их на чертеже (смотрите рисунок 4). Рис. 4 Находим фокальный параметр эллипса 2 b 4 p a 3 . Ответ: 5 18 4 a 3, b 2, c 5, , 2d , p 3 3 5 , рисунок 4. –2 3 –3 9 x 5 9 x 5 2 у х 5 5 1 F 2 F 2 B ( 2) 1 B (2) 2 A (3) 1 A ( 3) у х Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 10 Пример 5. Найти каноническое уравнение эллипса, если его эксцен- триситет равен 0,6 и расстояние между директрисами равно 16. Решение. Так как 2 c 3 2a , 2d 16 a 5 c , где 2d обозначает расстоя- ние между директрисами, то отсюда получаем систему двух уравне- ний с двумя неизвестными а и с: 2 5c 3a a 8c , решая которую, получаем 24 72 a , c 5 25 . Вычисляем 2 b : 2 2 2 2 2 2 2 24 72 (5 24) 72 b a c 25 625 625 2 (120 72)(120 72) 48 192 96 625 625 25 Ответ: 2 2 2 2 x y 1 24 96 5 25 Пример 6. Дано уравнение эллипса 2 2 x y 1 16 9 . Найдите фокальные радиусы точек эллипса, лежащие на прямой y x . Решение. Находим координаты точек пересечения данного эллипса с данной прямой: 2 2 y x x y 1 16 9 Решая систему, находим 1 1 12 12 12 12 M ( ; ), M ( ; ) 5 5 5 5 . Фокальные радиу- сы точки М(х,у) находим по формулам: 1 2 r a x, r a x . Вычисляем эксцентриситет: 2 2 c a b 16 9 7 a a 4 4 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 11 Получаем 1 1 2 1 7 12 20 3 7 20 3 7 r (M ) 4 , r (M ) 4 5 5 5 , 1 2 2 2 7 12 20 3 7 20 3 7 r (M ) 4 , r (M ) 4 5 5 5 Ответ: 1 1 2 1 20 3 7 20 3 7 r (M ) , r (M ) 5 5 , 1 2 2 2 20 3 7 20 3 7 r (M ) , r (M ) 5 5 Пример 7. Найти каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между его директрисами равно 10 и в канонической для данного эллипса системе координат точка M( 5; 2) лежит на эллип- се. Решение. Из условий задачи следует, что 2 2 2a 2d 10 a 5c c и 2 2 5 4 1 a b . Так как а, b и с связаны соотношением 2 2 2 b a c , то получаем сис- тему из трех уравнений с тремя неизвестными. Исключим из этой сис- темы 2 a и 2 b . Получаем 2 2 b 5c c и 2 5 4 1 5c 5c c Решая последнее уравнение, получаем c 3 . Далее, находим 2 2 2 2 a 15, b a c 15 9 6 . Ответ: 2 2 x y 1 15 6 . Пример 8. Найти уравнение касательной, проведенной к эллипсу 2 2 x y 1 15 6 в точке M( 5; 2) Решение. Так как данная точка лежит на эллипсе (смотрите предыду- щий пример), то воспользуемся уравнением касательной к эллипсу, проведенной в данной точке эллипса: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 12 0 0 2 2 x x y y 1 a b . Подставляя в это уравнение данные задачи, получаем 5 2 x y 1 15 6 или 5x 5y 15 0 . Ответ: x y 3 5 . Пример 9. Найти уравнение главных осей и координаты центра эл- липса, если его уравнение имеет вид 2 2 9x 25y 18x 100y 116 0 . Решение. Группируем переменные и выделяем полные квадраты: 2 2 9(x 2x) 25(y 4y) 116 , 2 2 9(x 2x 1) 9 25(y 4y 4) 100 116 , 2 2 2 9(x 1) 25(y 2) 15 , 2 2 (x 1) (y 2) 1 25 9 . Следовательно, фокальная (большая) ось эллипса имеет уравнение y 2 , малая ось эллипса имеет уравнение x 1 , С(1; –2) – центр эл- липса. Ответ: x 1, y 2, C(1; 2) . Пример 10. Из левого фокуса эллипса 2 2 x y 1 45 20 под тупым углом к оси абсцисс выпущен луч света. Найдите уравнение прямой, на ко- торой лежит отраженный от зеркала эллипса луч, если известно, что tg 2 . Решение. Найдем уравнение прямой, на которой лежит выпущенный из левого фокуса 1 F ( c;0) луч. Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку 0 0 (x , y ) : 0 0 y y k(x x ) или y 2(x c) . Находим с: 2 2 2 c a b 45 20 25 c 5 , уравнение выпущенного луча y 2(x 5) . Находим точку отраже- ния: Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 13 2 2 y 2(x 5) x y 1 45 20 Решая систему, приходим к квадратному уравнению: 2 x 9x 18 0 . Решая уравнение, находим его корни 1 2 x 6, x 3 . Из условия за- дачи следует, что второй корень уравнения является посторонним, так как абсцисса точки отражения луча находится левее первого фокуса 1 F ( 5;0) . Таким образом, абсцисса точки отражения x 6 . Находим ординату точки отражения y 2(x 5) 2( 6 5) 2 . Получаем, что точка С(–6; 2) есть точка отражения луча. Согласно зеркальному свойству эллипса, выпущенный из левого фокуса луч света отразившись от зеркала эллипса проходит через фокус 2 F (5;0) . Таким образом, прямая, на которой лежит отраженный луч проходит через фокус 2 F (5;0) и точку С(–6; 2). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки: 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y Подставляя координаты точек 2 F и С, получаем: x 5 y 6 5 2 или 2x 11y 10 0 . Ответ: 2x 11y 10 0 . |