АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 29 из 44

п.2. Список задач
Список №1
1. Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, прохо- дящей через данную точку, и параллельную данному вектору или данной прямой.
2. Найти параметрическое уравнение прямой, зная её каноническое уравнение, и наоборот.
3. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две дан- ные точки.
4. Зная каноническое уравнение прямой, задать прямую пересечением
2
s
1
s
2
L
2
M
1
L
1
M o
M


1
o
1 1
1 1
n s
M M
(A ,B ,C )

 


2
o
2 2
2 2
n s
M M
(A ,B ,C )

 


Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 10
двух плоскостей.
5. Найти каноническое уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей.
6. Найти угол между двумя прямыми.
7. Определить взаимное расположение двух пространственных пря- мых.
8. Найти точку пересечения двух пересекающихся пространственных прямых.
Список №2
1. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми в про- странстве.
2. Найти расстояние от точки до прямой.
3. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
4. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную пространственную прямую.
5. Найти проекцию точки на прямую.
6. Найти каноническое уравнение общего перпендикуляра, проведен- ного к двум скрещивающимся прямым.
7. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку, и пере- секающую две данные скрещивающиеся прямые.
п.3. Примеры
Пример 1.
Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку М(–2; 4; 0), если вектор s (1, 0, 3)

 является её направляющим вектором.
Решение. Подставляем в каноническое уравнение прямой o
o o
x x y y z z m
n p





координаты точки М: o
o o
x
2, y
4, z
0
 

 , и координаты направ- ляющего вектора прямой: m 1, n 0, p
3


  . x 2
y 4
z
1 0
3





Аналогично получаем параметрическое уравнение прямой.
Ответ: x 2
y 4
z
1 0
3





– каноническое уравнение прямой;

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 11 x
2 t y 4
z
3t
  




  

, t R

– параметрическое уравнение прямой.
Пример 2.
Найти параметрическое уравнение прямой x 2
y 1 z
3 4
0





Решение. Положим x 2
y 1 z t, t R
3 4
0



 


и выразим переменные х, у и z через параметр t: x 2
t, x
3t 2 3


  

, y 1
t, y 4t 1 4



 , z
t, z 0 0

 .
Ответ: x 2 3t y
1 4t , t R
z 0
 

   





Пример 3.
Найти каноническое уравнение прямой x
5 t y
1 , t R
z 2 t
  


 


  

Решение. Из параметрического уравнения прямой сразу же находим координаты точки, лежащей на этой прямой. Их можно найти, поло- жив t 0

: o
o o
(x , y ,z ) ( 5; 1;2)
  
. Коэффициенты при параметре t да- ют соответствующие координаты направляющего вектора этой пря- мой: s ( 1;0;1)
 
. Составляем каноническое уравнение данной прямой.
Ответ: x 5
y 1 z 2 1
0 1






Замечание.
Каноническое уравнение можно получить, если из каждо- го уравнения системы выразить параметр t: x 5
t x 5 1

   

,
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 12
z 2
t z 2 1

  
. Второе уравнение запишем в виде: y 1
y
1 0 t t
0

     
, где последнее равенство нужно понимать формально, как картинку, а не как действие деления. Приравнивая правые части полученных ра- венств, получаем ответ.
Пример 4.
Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(–1; 2; –5) и В(2; 6; 7).
Решение. Воспользуемся каноническим уравнением прямой, прохо- дящей через две данные точки:
1 1
1 2
1 2
1 2
1
x x y y z z x
x y
y z
z








Подставляем в это уравнение координаты точек А и В:
1 1
1 2
2 2
x
1, y
2, z
5, x
2, y
6, z
7
 

 


 . Получаем: x 1 y 2
z 5 2 1 6 2 7 5








Ответ: x 1 y 2
z 5 3
4 12





Пример 5.
Найти точку пересечения двух пересекающихся простран- ственных прямых
1
x
4 t
L :
y 7 t , t R
z 2 3t
  


 


  

и
2
x
2k
L :
y 3 2k , k R
z
1 k
 

  


   

Решение. Так как их направляющие вектора
1
s
(1; 1; 3)


,
2
s
( 2; 2; 1)
 

не коллинеарные, то прямые либо скрещивающиеся, либо пересекающиеся. Решаем систему
4 t
2k
7 t 3 2k
2 3t
1 k
   

   

    

Выражаем t из первого уравнения и подставляем во второе и третье уравнения:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 13 t 4 2k
7 (4 2k) 3 2k
2 3(4 2k)
1 k
 

    

 

  

Вычисляем k: t 4 2k
0 0
k 3
 







или t
2
k 3
 

 

– система имеет единственное решение, следовательно, прямые пере- секаются. Подставляем найденные значения t и k в параметрические уравнения прямых и находим координаты общей точки.
Ответ: (– 6; 9; – 4).
Пример 6.
Задать прямую x 2
y 3
z 5 3
4 5







пересечением двух плоскостей.
Решение. Записываем каноническое уравнение прямой в виде систе- мы: x 2
y 3 3
4
y 3
z 5 4
5






 



 


или
4(x 2) 3(y 3)
5(y 3) 4(z 5)










,
4x 3y 1 0 5y 4z 5 0

 



 

Ответ:
4x 3y 1 0 5y 4z 5 0

 



 

Пример 7.
Определить взаимное расположение двух пространствен- ных прямых x 2
y z 1 2
3 4





и x 3
y 1 z 7 1
4 2






Решение. Из канонического уравнения 1-й прямой находим координа- ты точки, лежащей на ней и координаты её направляющего вектора:
1 1
M ( 2;0;1), s
(2; 3;4)



. Аналогично, находим для 2-й прямой:
2 2
M (3;1;7), s
( 1;4;2)
 
. Так как направляющие вектора прямых не коллинеарные, то прямые либо пересекающиеся, либо скрещиваю- щиеся. Вычислим смешанное произведение векторов
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 14 1
1 1
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
m n
p
2 3 4
s s M M
m n
p
1 4
2
x x
y y
z z
5 1
6

 

 




4 2 1 2 1 4 2
3 4
44 48 84 88 0 1 6 5
6 5
1








   .
Ответ: прямые скрещивающиеся.
Пример 8.
Найти каноническое уравнение прямой, заданной пересе- чением плоскостей: x 2y z 1 0
L :
2x y 2z 3 0

  


 
 

Решение. Найдем координаты какой-нибудь точки, лежащей на дан- ной прямой. Исключим из уравнения одно из переменных. Умножим, например, первое уравнение на 2 и сложим оба уравнения. Получаем
4x 3y 1 0

 
. Положим в этом уравнении y 3

. Получаем x
2
 
Подставляя найденные значения х и у в первое уравнение, находим z 5
 . Таким образом, точка с координатами
( 2;3;5)

лежит на дан- ной прямой, т.е. o
o o
x
2, y
3, z
5
 

 . Найдем ее направляющий век- тор. Выписываем нормальные векторы данных плоскостей и вычисля- ем их векторное произведение:
1
n
(1, 2, 1)


,
2
n
(2, 1, 2)


,
1 2
s n n
(3; 4; 5)



 
Таким образом, s (3, 4, 5)

 
, т.е. m 3, n
4, p
5

 
 
и, подставляя эти числа в каноническое уравнения, получаем ответ.
Ответ: x 2
y 3
z 5 3
4 5







Пример 9.
Найти расстояние между параллельными прямыми
1 2
x y 1 z 1
x 2
y z
L :
, L :
3 2
2 3
2 2





 



Решение. Выписываем направляющие векторы прямых:
1 2
1
s
(3; 2; 2), s
( 3; 2; 2)
s


 
   .
Отсюда следует, что прямые либо совпадают, либо параллельные.
Пусть

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 15 s (3; 2; 2)


– их общий направляющий вектор. Из канонических уравнений пря- мых находим, что точки
1 1
2 2
M (0;1; 1) L , M (2; 0; 0) L
 

Находим координаты вектора
1 2
M M
(2; 1;1)


Видим, что
1 2
M M || s

, т.е. данные прямые не совпадают, а параллель- ные. Вычисляем векторное произведение
1 2
i j
k s M M
3 2 2
j k
2 1 1



 

, и его модуль
1 2
| s M M |
2


Вычисляем модуль направляющего вектора и искомое расстояние ме- жду данными параллельными прямыми:
1 2
1 2
s M M
2
d (L ; L )
| s |
17



Ответ:
2 17
Пример 10.
Установить, что прямые
1
x 1
y 1
z
L :
2 1
0





и
2
L : x y z 1
  
скрещивающиеся, и найти расстояние между ними.
Решение. Находим координаты точек, лежащих на данных прямых
1 1
2 2
M (1; 1;0) L , M (0;0; 1) L


  , и координаты вектора
1 2
M M
( 1; 1; 1)
 
 . Выписываем координаты направляющих векторов данных прямых:
1
s
(2; 1; 0)


,
2
s
(1; 1; 1)

, и вычисляем смешанное произведение
1 2
1 2
s s M M
4
 
  . Так как оно не равно нулю, то делаем вывод, что данные прямые скрещивающиеся. Вычисляем векторное произведение направляющих векторов и его модуль:
1 2
s s
i 2 j 3k

  

,
1 2
| s s |
14


. Найденные значения модулей смешанного и векторного произведения векторов, подставляем в фор-
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 16
мулу расстояния между скрещивающимися прямыми:
1 2
1 2
1 2
| s s M M |
4
d
| s s |
14
 



Ответ:
2 14 7
Пример 11.
Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
А(1; 1; 1) на прямую x 2y 2z


, и координаты проекции точки А на эту прямую.
Решение. Воспользуемся теоремой пункта 6. Искомый перпендикуляр является прямой пересечения двух плоскостей, одна из которых про- водится через точку А и данную прямую, другая проводится через точку А перпендикулярно данной прямой. Смотрите рисунок 2. Урав- нение искомой прямой имеет вид:
A(x 1) B(y 1) C(z 1) 0
m(x 1) n(y 1) p(z 1) 0
 
 
 


 
 
 

, где (1;1;1) – координаты точки А, s (m,n,p)

– координаты направ- ляющего вектора данной прямой, (A,B,C) s OA
 
, О – начало коор- динат, это точка лежащая на данной прямой.
Запишем данную прямую в каноническом виде: x
y z
2
  .
Отсюда находим координаты её направляющего вектора: s (2,1,1)

Вычисляем векторное произведение i
j k s OA
2 1 1
(0; 1;1)
1 1 1




Теперь мы можем записать уравнение искомого перпендикуляра:
(y 1) (z 1) 0 2(x 1) (y 1) (z 1) 0
    


 
   

, y z
2x y z 4 0



   

, y z x 2
y
1








Отсюда находим каноническое и параметрическое уравнение перпен- дикуляра:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 17 x 2
y z
1

 

, x 2 t y t z t
 







Теперь найдем точку пересечения В этого перпендикуляра и данной прямой. Точка В и будет проекцией точки А на данную прямую. За- пишем данное уравнение в параметрической форме и воспользуемся теоремой пункта 3: x 2k y k z k


 

 

Решаем систему:
2 t 2k t k t k
 







Отсюда находим, что система имеет единственное решение
2 2
(t,k)
;
3 3


 



. Подставляя найденное значение t или k в соответст- вующее параметрическое уравнение, находим координаты проекции точки А на данную прямую:
4 2 2
B
; ;
3 3 3






Ответ: x 2
y z
1

 

– каноническое уравнение перпендикуляра;
4 2 2
B
; ;
3 3 3






– координаты проекции точки А на данную прямую.
п.4. Задачи
Задачи для аудиторного решения 23
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 0; –3), и параллельной: а) вектору a (2; 3; 5)


; б) оси Ох; в) оси Оу; г) оси Oz; д) прямой x 3t 1, y
2t 3, z 5t 2
 
  
  .
2. Составить уравнение движения точки, которая двигается прямоли- нейно и равномерно из точки М(3; –1; –5) в направление вектора
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 18
s ( 2; 6; 3)
 
со скоростью v 21

3. Найдите параметрическое уравнение прямой: а) x 2
y z 1 2
3 4





; б) x 3
z 1
y
2 0


 
4. Найдите каноническое уравнение прямой: а) x 5 3t y
2 2t z 4 7t
 

   

  

; б) x t y
2
z 1 t


  

  

; в) x 0
y 0
z t


 

 

5. Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой, про- ходящей через точки: а) (1; –2; 1), (3; 1; –1); б) (3; 1; 0), (1; 0; –3).
6. Найдите острый угол между прямыми: а) z
x 3
y 2 2
    
и z 5
x 2 y 3 2

   
; б) x 3t 2, y 0, z 3 t
 

  и x 2t 1, y 0, z t 3



  .
7. Найдите координаты точки пересечения прямых: x 2t 3, y 3t 2, z 6 4t


 
  и x t 5, y
4t 1, z t 4
 
  
  .
8. Найдите значение параметра m, при котором прямые x 2
y z 1 2
3 4





и x 3
y 1 z 7
m
4 2





пересекаются, и вычислите координаты их общей точки.
9. Задайте прямую x 2t 3, y 3t 2, z 6 4t


 
 
пересечением двух плоскостей.
10. Выясните взаимное расположение прямых: x 1 y 3
z 2 3
2 1







и x 2
y 1 z 1 2
3 5






11. Найдите каноническое уравнение прямой: а) x 2y 3z 4 0 3x 2y 5z 4 0


 

    

; б) x 2y 3z 1 0 2x y 4z 8 0


 


 
 

12. Найдите расстояние между параллельными прямыми x 2
y 1 z 3
x 1 y 2
z 3
,
3 2
2 3
2 2












Задачи повышенного уровня сложности 23
13. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 19 x 2t 4, y t 4, z
2t 1


  
   , x 4t 5, y
3t 5, z
5t 5


  
   .
14. Вычислить расстояние от точки Р(1; –1; –2) до прямой x 3
y 2
z 8 3
2 2






, и найдите проекцию точки Р на эту прямую.
15. Найдите уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(2; –2;
1) на прямую x 2t 1, y
3t 2


   , z 2t 3


16. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А(–4; –5; 3), и пересекающую прямые x 1 y 3
z 2
x 2
y 1 z 1
,
3 2
1 2
3 5













17. Найдите параметрическое уравнение общего перпендикуляра пря- мых x 3t 7, y 4 2t, z 3t 4
 
 
  и x 1 t, y 2t 8, z t 12
 


  
Домашнее задание 23. Уравнение прямой в пространстве
1. Даны вершины треугольника А(3; 6; –7), В(–5; 2; 3) и С(4; –7; –2).
Составить каноническое и параметрическое уравнения его медиа- ны, проведенной из вершины С. Задайте найденное уравнение ме- дианы пересечением плоскостей.
2. Выясните взаимное расположение двух данных прямых. Если они пересекаются, найдите координаты точки пересечения; если парал- лельные или скрещивающиеся – найдите расстояние между ними: а) x z 1 0 3x y z 13 0
  

    

и x 2y 3 0
y 2z 8 0

 

   

; б) x 3 t y 2t 1
z 4
 

  




и x y z 0 2x y 2z 0
  


 


; в) x 2 4t, y
6t, z
8t 1
 
 
   и x 7 6t, y 2 9t, z 12t
 
 

Самостоятельная работа 23
Вариант 1.
1. Определение канонического уравнения прямой в координатном пространстве Oxyz.
2. Найдите параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки А(3; 6; –7) и В(–5; 2; 3).
3.
Найдите каноническое уравнение прямой x 7 6t, y 2 9t, z 12t
 
 

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 20
Вариант 2.
1. Определение параметрического уравнения прямой в координатном пространстве Oxyz.
2. Найдите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки
А(4; –7; –2) и В(–5; 2; 3).
3. Найдите параметрическое уравнение прямой x 1
y z 2 3
2 0





Вариант 3.
1. Определение уравнения линии в координатном пространстве Oxyz.
2. Через вершину С(4; –7; –2) треугольника АВС проведите прямую
(найдите её уравнение), параллельную стороне АВ, если А(3; 6; –7),
В(–5; 2; 3).
3. Найдите каноническое уравнение прямой x 1 t, y 9t, z 1
 

 .
Вариант 4.
1. Определение параметрического уравнения линии в координатном пространстве Охуz.
2. Через вершину А(3; 6; –7) треугольника АВС проведите прямую
(найдите её уравнение), параллельную стороне ВС, если В(–5; 2; 3),
С(4; –7; –2).
3. Найдите уравнение перпендикуляра, проведенного из точки А(1; 2;
3) к оси Ох.