АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 30 из 44

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 23
Обозначения
1. Обозначение направляющего вектора прямой в пространстве.
2. Обозначение расстояния между двумя параллельными или скрещи- вающимися прямыми.
Определения
1. Определение уравнения линии в пространстве.
2. Определение параметрического уравнения линии в пространстве.
3. Определение направляющего вектора прямой.
4. Определение параметрического уравнения прямой в пространстве.
5. Определение канонического уравнения прямой в пространстве.
6. Определение уравнения прямой, проходящей через две точки.
7. Определение перпендикуляра, проведенного из данной точки на данную прямую.
8. Определение длины перпендикуляра, проведенного из данной точ-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 21 ки на данную прямую.
9. Определение общего перпендикуляра двух скрещивающихся пря- мых.
Теоремы
1. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
2. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, заданных ка- ноническими уравнениями.
4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, заданных па- раметрическими уравнениями.
5. Формула расстояния между двумя параллельными прямыми.
6. Формула расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.
7. Прямая в пространстве, как результат пересечения двух плоскостей.
8. Приведение канонического уравнения прямой к уравнению прямой, заданной пересечением двух плоскостей.
9. Уравнение перпендикуляра, проведенного из данной точки на дан- ную прямую.
10. Теорема об уравнении общего перпендикуляра двух скрещиваю- щихся прямых.
11. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, и пересе- кающая две данные прямые.
Тест 23
1. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точ- ку М(2; 0; –3), и параллельной вектору a (2; 3; 5)


2. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точ- ку М(0; 0; 3), и параллельной оси Ох.
3. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точ- ку
М(2; 1; –3), и параллельной прямой x 3t 1, y
2t 3, z 5t 2
 
  
  .
4. Найти каноническое уравнение прямой, если её параметрическое уравнение имеет вид: x t 1, y t, z 2
 

 .
5. Найти параметрическое уравнение прямой, если её каноническое уравнение имеет вид: x 1 y 2
z
3 2
6



 .
6. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точ- ки А(1; –2; 1) и В(3; 1; –1).
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22 22 7. Задайте прямую x 3
y 1 z 2 1
2 2






пересечением двух плоскостей.
8. Найдите каноническое уравнение прямой x y 2 0
y z 1 0
  

   

9. Определите взаимное расположение прямых, заданных канониче- скими уравнениями: x 13
y 1
z
6 3
2



  и x 3
y 1 z 2 1
2 2






, и найдите угол между ними.
10.
Убедитесь, что прямые x 6t 1, y 2t 1, z 2t
 



и x 3 t, y 1 2t, z 2 2t
 
 
  пересекаются, и найдите координаты точки пересечения.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 1
Практическое занятие 24
Прямая в пространстве и плоскость
Теорминимум: взаимное расположение прямой в пространстве и плоскости, угол между прямой и плоскостью, точка встречи прямой с плоскостью, проекция точки на плоскость, проекция точки на прямую, расстояние между параллельными прямой и плоскостью, связка и пучок плоскостей, решение основных задач на прямую в пространстве и плоскость.
п.1. Теория
п.1.1. Связка и пучок плоскостей
Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плос- костей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки.
Теорема. Пусть
1 1
1 1
1
: A x B y C z D
0




 ,
2 2
2 2
2
: A x B y C z D
0




 ,
3 3
3 3
3
: A x B y C z D
0





– три плоскости в ПДСК Охуz, имеющие единственную общую точку o
M . Тогда уравнение
1 1
1 1
2 2
2 2
(A x B y C z D )
(A x B y C z D )




 




3 3
3 3
(A x B y C z D ) 0




 , где
, ,
R
    – произвольные действительные параметры одновре- менно не равные нулю, есть уравнение связки плоскостей с центром связки в точке o
M .
Теорема.
Уравнение o
o o
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0





 , где А, В и С произвольные действительные параметры, одновременно не равные нулю, является уравнением связки плоскостей с центром связки в точке o
o o
o
M (x , y ,z ) .
Определение.
Пучком плоскостей называется множество всех плос- костей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.
Теорема.
Пусть
1 1
1 1
1
: A x B y C z D
0




 и
2 2
2 2
2
: A x B y C z D
0





Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 2
– две плоскости, пересекающиеся по прямой L. Тогда уравнение
1 1
1 1
2 2
2 2
(A x B y C z D )
(A x B y C z D ) 0




 



 , где ,
R
  – произвольные действительные параметры одновремен- но не равные нулю, есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка L.
Теорема.
Пусть o
o o
x x y y z z
L :
m n
p





– каноническое уравнение произвольной прямой в пространстве, и пусть m 0

. Тогда уравнение o
o o
o x x y y x x z z
0
m n
m p










 










является уравнением пучка плоскостей, осью которого является дан- ная прямая L.
п.1.2. Взаимное расположение 3-х плоскостей
Возможны следующие случаи взаимного расположения трех плос- костей в пространстве:
1) все три плоскости совпадают;
2) две плоскости совпадают, а третья параллельна им;
3) две плоскости совпадают, а третья не параллельна им;
4) все три плоскости параллельны друг другу;
5) две плоскости параллельные, а третья пересекает их;
6) все три плоскости пересекаются по одной прямой, т.е. находятся в одном пучке плоскостей;
7) все три плоскости попарно пересекаются по трем параллельным прямым (случай треугольной «трубы»);
8) все три плоскости пересекаются в одной точке.
Теорема.
Пусть даны общие уравнения трех плоскостей:
1 1
1 1
1
: A x B y C z D
0




 ,
2 2
2 2
2
: A x B y C z D
0




 ,
3 3
3 3
3
: A x B y C z D
0




 , i
i i
i n
(A ; B ;C ), i 1, 2,3


– их соответст- вующие нормальные векторы. Тогда:
1) если
1 2
3
n || n || n , то все три плоскости совпадают или попарно па- раллельные, или две из них совпадают, а третья параллельна им (в этом случае определяется взаимное расположение каждой пары плос- костей по отдельности);
2) если среди трех нормальных векторов
1 2
3
n , n , n имеются ровно два

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 3 коллинеарных, то две плоскости пересекаются, а третья либо совпада- ет с одной из них, либо параллельна одной из них (в этом случае так- же по отдельности определяется взаимное расположение каждой пары плоскостей);
3) если среди трех нормальных векторов
1 2
3
n , n , n нет коллинеарных, а их смешанное произведение равно нулю,
1 2
3
n n n
0



, то плоско- сти пересекаются либо по одной прямой, и в этом случае система уравнений
1 1
1 1
2 2
2 2
A x B y C z D
0
A x B y C z D
0











является уравнением этой прямой, либо плоскости пересекаются по трем параллельным прямым (образуя треугольную «трубу»), и в этом случае система
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
A x B y C z D
0
A x B y C z D
0
A x B y C z D
0















не имеет решений;
4) если смешанное произведение нормальных векторов не равно нулю
1 2
3
n n n
0



, то плоскости пересекаются в одной точке, координаты которой являются единственным решением последней системы из трех уравнений.
п.1.3. Взаимное расположение прямой в пространстве и плоскости
Возможны три случая взаимного расположения прямой в про- странстве и плоскости:
1) прямая лежит на плоскости;
2) прямая параллельна плоскости;
3) прямая пересекает плоскость в некоторой точке.
Определение.
Точка пересечения прямой и плоскости называется точкой встречи прямой с плоскостью.
Теорема.
Пусть плоскость

задана общим уравнением
: Ax By Cz D 0



  , а прямая L задана каноническим или параметрическим уравнениями
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 4
o o
o o
o o
x x mt x x y y z z
,
y y nt , t R
m n
p z z pt













  

, в которых n (A, B, C)

– координаты нормального вектора плоскости

, o
o o
o
M (x , y , z ) – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, s (m, n, p)

– координаты её направляющего вектора. То- гда:
1) если n s Am Bn Cp 0
 


 , то прямая L пересекает плоскость

в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений o
o o
o o
o
A(x mt) B(y nt) C(z pt) D 0
x x mt y y nt z z pt





 













; (1)
2) если n s Am Bn Cp 0
 


 и o
o o
Ax
By
Cz
D 0


  , то прямая лежит на плоскости;
3) если n s Am Bn Cp 0
 


 и o
o o
Ax
By
Cz
D 0


  , то прямая параллельна плоскости.
Следствие.
Если система (1) имеет единственное решение, то прямая пересекается с плоскостью; если система (1) не имеет решений, то прямая параллельная плоскости; если система (1) имеет бесконечно много решений, то прямая лежит на плоскости.
п.2. Список задач
Список №1
1. Определить взаимное расположение прямой и плоскости.
2. Найти угол между прямой и плоскостью.
3. Найти точку встречи прямой с плоскостью.
4. Найти точки пересечения данной плоскости с координатными ося- ми.
5. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку, и перпендикулярной данной плоскости.
6. Найти проекцию точки на плоскость.
7. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через данную точ-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 5 ку, и перпендикулярной данной прямой.
8. Найти расстояние между параллельными прямой и плоскостью.
9. Составить уравнение пучка плоскостей, если известны уравнения двух плоскостей из этого пучка.
10. Найти каноническое уравнение оси данного пучка плоскостей.
11. Найти уравнение пучка плоскостей с заданной осью пучка.
12. Написать уравнение связки плоскостей, если известны три плоско- сти из этой связки.
13. Найти центр данной связки плоскостей.
14. Найти уравнение связки плоскостей с заданным центром.
Список № 2
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную прямую, и параллельную другой прямой.
2. Найти проекцию точки на плоскость.
3. Найти точку, симметричную данной относительно данной плоско- сти.
4. Найти проекцию прямой на плоскость.
5. Найти проекцию точки на прямую в пространстве.
6. Найти точку, симметричную данной относительно данной прямой в пространстве.
7. Найти уравнение плоскости, принадлежащей данному пучку плос- костей и проходящей через данную прямую, параллельную оси пучка.
8. Найти уравнение плоскости, принадлежащей данному пучку плос- костей и проходящей параллельно данной плоскости.
9. Найти уравнение плоскости, принадлежащей данной связке плоско- стей, если известны координаты её нормального вектора.
10. Найти уравнение плоскости, принадлежащей данной связке плос- костей и проходящей параллельно данной плоскости.
11. Найти уравнение плоскости, принадлежащей данной связке плос- костей и проходящей через две данные точки.
12. Найти уравнение плоскости, принадлежащей данной связке плос- костей и проходящей через данную прямую.
13. Найти уравнение плоскости, принадлежащей данной связке и дан- ному пучку плоскостей, не находя при этом центра связки и оси пучка.
14. Определить взаимное расположение трех плоскостей.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 6
п.3. Примеры
Пример 1.
Определить взаимное расположение прямой и плоскости: а) x 3t 2, y
4t 1, z 4t 5
 
  

 и 4x 3y 6z 5 0


  ; б)
5x 3y 2z 5 0 2x y z 1 0


 


   

и 4x 3y 7z 7 0


  ; в) x 1 y 1 z
1 2
6





и 2x 3y z 1 0

   .
Решение. а) Выписываем направляющий вектор s
прямой L и нор- мальный вектор n плоскости

: s (3; 4;4), n (4; 3; 6)



  .
Вычисляем их скалярное произведение s n 12 12 24 0
 



Следовательно, векторы ортогональны, и либо прямая параллельна плоскости, либо лежит на ней. Смотрите следующие рисунки.
Рис. 1
Рис. 2
Выпишем координаты точки, лежащей на прямой o
M ( 2;1; 5)

 . Их можно получить, полагая t 0

в параметрическом уравнении прямой.
Подставим координаты точки o
M в уравнение плоскости s
n
L

o
M s
n
L

o
M

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 7
4( 2) 3 1 6( 5) 5 14 0
      
 .
Точка o
M не лежит на плоскости, следовательно, прямая параллельна плоскости. б) Прямая задана пересечением двух плоскостей с нормальными век- торами
1 2
n
(5; 3;2), n
(2; 1; 1)



  . Задачу можно решать двумя спо- собами.
1-й способ. Решим систему уравнений
5x 3y 2z 5 0 2x y z 1 0 4x 3y 7z 7 0


 


   




 

Определитель этой системы равен смешанному произведению векто- ров
1 2
n n n
 
, где n (4; 3;7)


– нормальный вектор данной плоско- сти:
5 3
2 2
1 1
5( 7 3) 3(14 4) 2( 6 4) 0 4
3 7


    
   


Согласно теореме пункта 2, либо все три плоскости лежат в одном пучке, и в этом случае данная прямая лежит на данной плоскости, ли- бо все три плоскости пересекаются по параллельным прямым, и в этом случае данная прямая параллельна данной плоскости. В послед- нем случае рассматриваемая система решений не имеет. Однако, ре- шая систему, убеждаемся в том, что она имеет решения, например, (–
2; –5; 0). Следовательно, данная прямая лежит на данной плоскости.
2-й способ. Смотрите рисунок 3.
Рис. 3
M(–2; –5;0)
L
1 2
s n n
 
2
n
1
n


Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 8
Найдем каноническое уравнение данной прямой. Векторное произве- дение
1 2
n n

является направляющим вектором данной прямой. Вы- числяем векторное произведение
1 2
s n n
(5;9;1)
 

, и находим част- ное решение (–2; –5; 0) системы
5x 3y 2z 5 0 2x y z 1 0


 


   

Точка М(–2; –5; 0) лежит на данной прямой. Составляем каноническое уравнение данной прямой: x 2
y 5
z
5 9
1



 .
Направляющий вектор прямой s (5;9;1)

ортогонален нормальному вектору данной плоскости n (4; 3;7)


: n s 20 27 7 0
 

 
Следовательно, прямая лежит на плоскости или параллельная ей.
Подставляем координаты точки прямой (–2; –5; 0) в уравнение плос- кости:
4( 2) 3( 5) 7 0
     .
Делаем вывод, что прямая лежит на плоскости. в) 1-й способ. Выписываем направляющий вектор прямой и нормаль- ный вектор плоскости: s (1; 2;6), n (2;3;1)
 

Их скалярное произведение n s 2 6 6 2 0
     
, следовательно, прямая пересекается с плоскостью. Смотрите следующий рисунок.
Рис. 4 n
o
M s
L

M

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 9
2-й способ. Воспользуемся следствием теоремы пункта 3. Запишем параметрическое уравнение данной прямой и подставим неизвестные х, у, z в уравнение плоскости: x 1 t y 1 2t , 2(1 t) 3(1 2t) 6t 1 0
z 6t
 

  
 

  




Решая последнее уравнение, получаем единственное решение t
2
 
Следовательно, прямая пересекается с плоскостью в точке с коорди- натами (–1; 5; –12).
Ответ: а) прямая и плоскость параллельные; б) прямая лежит на плос- кости; в) прямая пересекается с плоскостью в точке с координатами (–
1; 5; –12).
Пример 2.
Найти угол между прямой x 1 y 2
z
3 2
6



 и плоскостью x 2y 3 0

  .
Решение. Обозначим прямую буквой L, плоскость – буквой

(смот- рите рисунок 5).
Рис. 5
Тогда искомый угол
(L ^ )
(n ^ s)
2

  
, где n (1;2;0)

– нормальный вектор плоскости

, s (3;2;6)

– на- правляющий вектор прямой L. Вычисляем угол между нормальным и направляющим векторами:
M
M
s
L n

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 24, с.21 10
n s
7 5
(n ^ s) arccos arccos arccos
5
| n | | s |
5 7






Отсюда находим,
5 5
(L ^ )
arccos arcsin
2 5
5

  

Ответ:
5
arcsin
5