АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена

• Название: Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
• Анкор: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Дата: 23.02.2018
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: АГ ПЗ 1-35 (полный вариант).pdf
• Тип: Занятие; #15834
• страница: 33 из 44

Пример 11.
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, если из- вестно его фокусное расстояние
2c 24

и эксцентриситет
12 13
 
Решение. Для данного расположения эллипса сохраняем все старые обозначения всех его параметров. Тогда искомое уравнение будет иметь вид
2 2
2 2
x y
1
b a

 , где а – большая полуось эллипса, b – его малая полуось,
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 14 2
2 2
2
c b
2a b
a c ,
, p
, 2d a
a


 



, уравнения директрис имеют вид: a
y
 

Имеем,
2 2
2
c 12
c 12,
a 13, b a
c
169 144 25
a 13

  
 





Ответ:
2 2
x y
1 25 169

 .
п.4. Задачи
Задачи для аудиторного решения 25
1. Напишите уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке С(–3;
2).
2. Дано уравнение окружности
2 2
x y
7x 0


 . Найдите координаты его центра и радиус.
3. Определите, какие из следующих точек лежат на эллипсе
2 2
8x
5y
77


, какие внутри и какие вне его: А(–2; 3), В(2; –2), С(2;
–4); D(–1; 3), E(–4; –3) , F(3; –1), G(3; –2).
4. Для эллипса
2 2
9x
25y
225


найдите все его параметры: большую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное рас- стояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.
5. Дано уравнение эллипса
2 2
12x
36y
432


. Убедитесь, что точка
М(3; –3) лежит на эллипсе и найдите её фокальные радиусы. Най- дите уравнение касательной к данному эллипсу, проходящей через точку М. Постройте чертеж.
6. Дано уравнение
2 2
16x
25y
32x 100y 284 0




 . Убедитесь, что оно определяет эллипс, и найдите координаты его центра и уравне- ния главных осей.
7. Найдите каноническое уравнение эллипса, если: а) его полуоси рав- ны 5 и 2; б) его большая ось
2a 10

, а расстояние между фокусами
2c 8

; в)
2c 6

и эксцентриситет
3 / 5
 
; г) расстояние между его директрисами
2d 5

и
2c 4

; д) 2a 8, 2d 16


;

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 15 е) М( 2 5; 2)

– точка эллипса и его малая полуось b 3

;
ё)
1 2
M (4;
3), M (2 2; 3)

суть точки эллипса.
Задачи повышенного уровня сложности 25
8. Дано уравнение
2 2
x y
4x 8y 2 0



  . Убедитесь, что оно опре- деляет окружность, и найдите уравнения касательных к ней, прохо- дящих через начало координат.
9. Найдите уравнение окружности, касающейся осей координат, и проходящей через точку А(8; 9).
10. Постройте чертеж эллипса
2 2
16x y
16


, и найдите все его пара- метры: большую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и рас- стояние между директрисами, фокальный параметр.
11. Найдите уравнение эллипса, фокальной осью которого является ось ординат, и центр лежит в начале координат, если известно, что: а) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8; б) его малая ось равна 16, а эксцентриситет 0,6
 
; в) фокусное расстояние равно 6, а расстояние между директрисами равно
2 16 3
; г) расстояние между директрисами равно
2 10 3
и эксцентриситет
0,75
 
12. Определите взаимное расположение прямой и эллипса:
2 2
2x y 3 0, 9x
16y
144
  


13. Из точки
10 5
A
;
3 3






проведены касательные к эллипсу
2 2
x
4y
20


. Найдите уравнения этих касательных.
14. Докажите, что произведение расстояний от центра эллипса до точ- ки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до ос- нования перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокаль- ную ось, есть величина постоянная, равная квадрату большой по- луоси эллипса.
15. Докажите, что произведение расстояний от фокусов до любой ка- сательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.
16. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 16
прямого угла. Определить кривую, описываемую любой точкой М, лежащей на этом отрезке.
Домашнее задание 25. Эллипс
1. Для эллипса
2 2
36x
100y
3600


найдите все его параметры: боль- шую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.
2. Дано уравнение
2 2
5x
9y
30x 18y 9 0



  . Убедитесь, что оно оп- ределяет эллипс, и найдите координаты его центра и уравнения главных осей.
3. Найдите каноническое уравнение эллипса, если: а) его малая ось
2b 24

, фокусное расстояние
2c 10

; б) большая ось
2a 20

, эксцентриситет
0,6
 
; в) 2b 6, 2d 13


; г) М(2; –2)
– точка эллипса и его большая полуось а = 4; д)
5
M(2;
)
3

– точка эллипса и его эксцентриситет
2 / 3
 
;
4. Определите, при каких значениях m прямая y
x m
  
пересекает эллипс, касается его, проходит вне эллипса.
Самостоятельная работа 25
Вариант 1.
1. Определение окружности.
2. Для эллипса
2 2
x
4y
16


найдите: а) большую и малую оси; б) фо- кусное расстояние.
Вариант 2.
1. Определение радиуса окружности.
2. Для эллипса
2 2
4x
9y
36


найдите: а) большую и малую оси; б) эксцентриситет.
Вариант 3.
1. Определение эллипса.
2. Для эллипса
2 2
x
9y
36


найдите эксцентриситет и расстояние между директрисами.
Вариант 4.
1. Определение кривой 2-го порядка.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 17 2. Для эллипса
2 2
4x
25y
100


найдите уравнения его директрис и фокальный параметр.
п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 25
Обозначения
1. Обозначение фокальных радиусов точки эллипса.
2. Обозначение большой оси эллипса.
3. Обозначение большой полуоси эллипса.
4. Обозначение фокусного расстояния эллипса.
5. Обозначение малой оси эллипса.
6. Обозначение малой полуоси эллипса.
7. Обозначение эксцентриситета.
8. Обозначение расстояния между директрисами эллипса.
9. Обозначение фокального параметра эллипса.
10. Обозначение расстояния от точки эллипса до его директрис.
Определения
1. Определение кривой 2-го порядка.
2. Определение окружности.
3. Определение радиуса окружности.
4. Определение канонической для окружности системы координат.
5. Определение эллипса.
6. Определение фокальных радиусов эллипса.
7. Определение фокусного расстояния эллипса.
8. Определение большой оси и полуоси эллипса.
9. Определение малой оси и полуоси эллипса.
10. Определение эксцентриситета эллипса.
11. Определение фокальной оси эллипса.
12. Определение канонической для эллипса системы координат.
13. Определение главных осей и центра эллипса.
14. Определение вершин эллипса.
15. Определение канонического уравнения эллипса.
16. Определение директрис эллипса.
17. Определение фокального параметра эллипса.
Теоремы
1. Теорема об уравнении окружности.
2. Каноническое уравнение эллипса.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18 18 3. Свойства эллипса.
4. Фокальные радиусы точки эллипса.
5. Свойство директрис эллипса.
6. Фокальный параметр эллипса.
7. Уравнение касательной к эллипсу.
8. Зеркальное свойство эллипса. Физическая формулировка.
9. Зеркальное свойство эллипса. Математическая формулировка.
10. Параметрическое уравнение эллипса.
Тест 25
1. Напишите каноническое уравнение окружности, радиус которой равен 2.
2. Напишите уравнение окружности радиуса 3 с центром в точке С(0;
2).
3. Найдите центр и радиус окружности
2 2
x y
2x


4. Напишите каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 4, а малая ось равна 2.
5. Определите взаимное расположение точки М(4, –2) и эллипса
2 2
x
5y
25


6. Объясните, почему через внутреннюю точку эллипса нельзя про- вести к нему касательную.
7. Найдите фокусное расстояние эллипса
2 2
x
2y
1

 .
8. Найдите эксцентриситет эллипса
2 2
x
2y
2

 .
9. Найдите директрисы эллипса
2 2
x
2y
4

 .
10. Найдите фокальный параметр эллипса
2 2
x
3y
9

 .
11. Напишите уравнение касательной проходящей через точку М(1; 1) к эллипсу
2 2
x
2y
3

 .
12. Найдите каноническое уравнение эллипса, если известны расстоя- ние между директрисами и эксцентриситет: 2d 32,
1/ 2

 
13. Найдите каноническое уравнение эллипса, если известны малая ось и эксцентриситет: 2b 10,
12 /13

 

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 1
Практическое занятие 26
Гипербола
Краткое содержание: определение гиперболы, каноническая для гиперболы система коорди- нат и каноническое уравнение гиперболы, асимптоты гиперболы, касательная к гиперболе, зеркальное свойство гиперболы, директрисы и фокальный параметр гиперболы.
п.1. Теория
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксирован- ных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоян- ная.
Фокусы гиперболы принято обозначать буквами
1
F и
2
F . Расстояния от точки М, лежащей на гиперболе, до фокусов обозначаются
1 1
r (M) MF

и
2 2
r (M) MF

, и называются её фокальными радиусами.
Замечание. Из определения гиперболы следует, что точка М является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда модуль разности её фо- кальных радиусов
1 2
| r (M) r (M) |

есть величина постоянная для дан- ной гиперболы. Эту константу принято обозначать через 2а:
1 2
2a | r (M) r (M) |


Определение. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием.
Фокусное расстояние для данной гиперболы есть величина постоян- ная и ее принято обозначать через 2с:
1 2 2c F F

Рис. 1
Так как сторона треугольника больше модуля разности двух его дру-
1
F
2
r
1
r
М
2
F
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 2
гих сторон, то отсюда и из определения гиперболы следует, что
2c 2a

Определение. Число 2а называется действительной осью гиперболы, число 2b, где
2 2
b c
a


, называется мнимой осью гиперболы. Числа а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосью гиперболы.
Определение. Отношение фокусного расстояния гиперболы к её дей- ствительной оси называется эксцентриситетом гиперболы, и обозна- чается буквой е или

:
2c c
2a a



Определение.
Ось, на которой лежат фокусы гиперболы называется фокальной осью гиперболы.
Определение.
ПДСК, ось абсцисс которой является фокальной осью гиперболы, а начало координат лежит посередине между фокусами, называется канонической для гиперболы.
Определение.
В канонической для гиперболы системе координат, оси координат называются главными осями гиперболы, а начало коорди- нат называется центром гиперболы. Ось абсцисс называется действи- тельной осью гиперболы, а ось ординат называется мнимой осью ги- перболы.
Теорема.
(Каноническое уравнение гиперболы.) Гипербола является кривой 2-го порядка, и в канонической для гиперболы системе коор- динат её уравнение имеет вид:
2 2
2 2
x y
1
a b

 .
Определение.
Уравнение
2 2
2 2
x y
1
a b

 называется каноническим урав- нением гиперболы.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 3
Определение.
Точки гиперболы, лежащие на её действительной оси называются действительными вершинами гиперболы. Две точки плоскости
(0, b)
 (в канонической для гиперболы системе координат), лежащие на мнимой оси гиперболы называются мнимыми вершинами гиперболы.
Определение.
Две пары прямых, параллельных главным осям гипер- болы x
a, y b
 
  , высекают прямоугольник, который называется основным прямо- угольником гиперболы.
Следствие.
(Свойства гиперболы.)
1) Главные оси гиперболы являются её осями симметрии, а центр ги- перболы является его центром симметрии.
2) В канонической для гиперболы системе координат точки
1 2
A ( a,0), A (a,0)

являются действительными вершинами гипербо- лы, и в полосе | x | a
 нет точек гиперболы.
3) Гипербола состоит из двух кривых, называемых её ветвями, кото- рые в канонической системе координат описываются уравнениями
2 2
a x
y b
b
 

Теорема.
Прямые b
y x
a
 
являются асимптотами гиперболы.
Теорема.
(Фокальные радиусы точек гиперболы.) Пусть в канониче- ской для гиперболы системе координат точка М(х,у) лежит на гипер- боле. Тогда ее фокальные радиусы равны:
1 2
r | a x |, r
| a x |
  
   , где а – действительная полуось гиперболы,

– её эксцентриситет.
Определение.
В канонической для гиперболы системе координат прямые a
x
 

называются директрисами гиперболы.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 4
Теорема.
(Свойство директрис гиперболы.) Пусть М -- произвольная точка гиперболы,
1
r и
2
r – ее фокальные радиусы. Обозначим через
1
d и
2
d , соответственно, расстояния от точки М до левой и правой ди- ректрисы гиперболы. Тогда
1 2
1 2
r r
d d

  .
Рис. 2
Определение.
Фокальным параметром гиперболы называется длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с ги- перболой, и обозначается буквой р.
Теорема.
Фокальный параметр гиперболы равен
2
b p
a

Теорема.
В канонической для гиперболы системе координат уравне- ние касательной к гиперболе в точке
0 0
(x , y ) имеет вид:
0 0
2 2
x x y y
1
a b

 .
2
F (c)
1
F ( c)
 a
x


a x
 

b y
x a
 
b y
x a

2
B ( b)

1
B (b)
2
A (a)
1
A ( a)
 у х

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 5
Теорема.
(Зеркальное свойство гиперболы.) Луч света, выпущенный из одного фокуса гиперболы после отражения от зеркала гиперболы кажется наблюдателю идущим из второго её фокуса.
Математическая формулировка зеркального свойства гиперболы име- ет следующий вид.
Теорема.
(Зеркальное свойство гиперболы.) Касательная к гиперболе является биссектрисой угла, образованного фокальными радиусами точки касания.
п.2. Список задач
Список №1
1. Определить, лежит ли данная точка на данной гиперболе или нет.
2. Зная каноническое уравнение гиперболы, найти все её параметры: действительную и мнимую полуоси, координаты вершин и фоку- сов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и расстояние между ними, фокальный пара- метр.
3. Изобразить гиперболу в ПДСК на плоскости, зная его каноническое уравнение.
4. Зная каноническое уравнение гиперболы и координаты какой- нибудь её точки, найти фокальные радиусы этой точки.
5. Зная каноническое уравнение гиперболы и какой-нибудь её точки, найти уравнение её касательной в этой точке.
6. Найти каноническое уравнение гиперболы, если известны некото- рые из её параметров (действительная или мнимая полуось, фокус- ное расстояние, эксцентриситет, расстояние между директрисами, уравнения асимптот, фокальный параметр), или в канонической для гиперболы системе координат известны координаты одной или двух из её точек.
7. Найти центр и главные оси гиперболы, заданной уравнением
2 2
Ax
By
Cx Dy E 0



  .
Список №2
1. Построение гиперболы и вычисление всех её остальных парамет- ров, если её действительной осью является ось ординат, а мнимой – ось абсцисс.
Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 6
2. Найти уравнение гиперболы после выполнения параллельного пе- реноса канонической системы координат на заданный вектор.
3. Найти уравнение касательной к гиперболе, проведенной через дан- ную точку плоскости, или параллельной (перпендикулярной) дан- ной прямой.
4. Определить взаимное расположение гиперболы и прямой.
5. Различные задачи, раскрывающие дополнительные свойства гипер- болы, задачи повышенного уровня сложности.
п.3. Примеры
Пример 1.
Для гиперболы, заданной каноническим уравнением
2 2
x y
1 9
4

 , найти все её основные параметры: действительную и мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстоя- ние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и рас- стояние между ними, фокальный параметр. Построить чертеж, отме- тить на нем найденные параметры.
Решение. Смотрите рисунок 3.
Рис. 3
Находим действительную и мнимую полуоси гиперболы:
2 2
a
9, b
4
a 3, b 2

  
 .
Находим координаты вершин гиперболы и отмечаем их на чертеже:
1 2
1 2
A ( 3;0), A (3;0), B (0;2), B ( 2;0)


Рисуем основной прямоугольник гиперболы (штриховой линией) со сторонами x
3, y
2
 
  ,
2
y x
3
 
2
y x
3

2
B ( 2)

1
B (2)
2
A (3)
1
A ( 3)
 у х

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15 7 проводим его диагонали, и продолжаем их, изображая асимптоты ги- перболы:
2
y x
3
 
Осталось изобразить ветви гиперболы (смотрите рисунок 2). Найдем координаты фокусов гиперболы и фокусное расстояние:
2 2
1 2
c a
b
9 4 13
F (
13;0), F ( 13;0)



 


,
2c 2 13

Отмечаем точки
1
F и
2
F на оси абсцисс. Находим эксцентриситет: c
13
a
3
  
Находим уравнения директрис и расстояние между ними: a
9 13 2a 18 13
x
, 2d
13 13
   




, и изображаем их на чертеже. Находим фокальный параметр гипербо- лы
2
b
4
p a
3

 .
Ответ:
13 18 13 4
a 3, b 2, 2c 2 13,
, 2d
, p
3 13 3



 

 , рисунок 3.