АГ ПЗ 1-35 (полный вариант). Практическое занятие 1 Решето Эратосфена
 Скачать 2.3 Mb.
|
Задачи для аудиторного решения 32 1. Дана система линейных уравнений: 1 2 3 4 1 2 3 4 x x 2x 3x 1 3x x x 2x 4 Выписать матрицу системы, столбец свободных членов, расширен- ную матрицу системы, столбец неизвестных, и записать систему в векторной и матричной форме. 2. Дана матрица: 1 2 A 1 1 2 5 Запишите в скалярной, векторной и матричной форме однород- ную систему линейных уравнений с данной матрицей коэффици- ентов. 3. Решить систему линейных уравнений двумя способами – матричным методом и по формулам Крамера: а) 3x 4y 1 5x 7y 19 ; б) 4x 7y 13 9x 16y 6 4. Представьте столбец А в виде линейной комбинации столбцов В и С, если 7 5 6 A , B , C 8 6 7 5. Представьте столбец D в виде линейной комбинации столбцов А, В и С, если 1 2 3 6 A 2 , B 1 , C 2 , D 2 3 2 1 4 6. Решить систему линейных уравнений матричным методом или по формулам Крамера: а) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x 2x 1 2x x 2x 4 4x x 4x 2 ; б) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 2x 4x 31 5x x 2x 29 3x x x 10 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 12 Задачи повышенного уровня сложности 32 1. При каком значении параметра следующая система линейных уравнений будет: а) определенной; б) неопределенной: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x 12 3x 4x 2x 11 3x 4x 7x 10 2. Каков геометрический смысл определенной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными? 3. Решите систему линейных уравнений над полем комплексных чи- сел: 1 2 3 1 2 2 3 i x 2x x 1 x x i x x 1 4. Решите систему линейных уравнений над конечным полем 2 { 0,1} : 1 2 1 3 1 2 3 x x 1 x x 1 x x x 0 Домашнее задание 32 1. Решите одну систему матричным методом, а другую по формулам Крамера: а) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2x x x 3 x 2x x 0 x x 2x 9 ; б) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3x 2x x 5 2x 3x x 1 2x x 3x 11 2. Решить матричное уравнение АХВ = С, где 2 3 1 9 7 6 2 0 2 A 4 5 2 , B 1 1 2 , C 18 12 9 5 7 3 1 1 1 23 15 11 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 13 п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 32 Обозначения 1. Обозначение одного линейного уравнения с n неизвестными над произвольным полем. 2. Обозначение произвольной системы линейных уравнений над про- извольным полем. 3. Обозначение матрицы системы линейных уравнений. 4. Обозначение столбца неизвестных системы линейных уравнений. 5. Обозначение столбца свободных членов системы линейных уравне- ний. 6. Обозначение расширенной матрицы системы линейных уравнений. 7. Обозначение системы линейных уравнений в матричной форме. 8. Обозначение системы линейных уравнений в векторной форме. Определения 1. Определение линейного уравнения с n неизвестными. 2. Определение однородного линейного уравнения с n неизвестными. 3. Определение матрицы системы линейных уравнений. 4. Определение столбца свободных членов системы линейных урав- нений. 5. Определение расширенной матрицы системы линейных уравнений. 6. Определение решения системы линейных уравнений. 7. Определение однородной системы линейных уравнений. 8. Определение неоднородной системы линейных уравнений. 9. Определение совместной системы линейных уравнений. 10. Определение несовместной системы линейных уравнений. 11. Определение определенной системы линейных уравнений. 12. Определение неопределенной системы линейных уравнений. Теоремы 1. Формулы Крамера решения определенной системы линейных урав- нений. Самостоятельная работа 32 Вариант 1 1. Определение однородной системы линейных уравнений. 2. Дана система линейных уравнений: 9x 10y 8 10x 11y 9 . а) Запишите систему в мат- ричной форме. б) Решите данную систему по формулам Крамера. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 14 Вариант 2 1. Определение совместной системы линейных уравнений. 2. Дана система линейных уравнений: 16x 17y 15 17x 18y 16 . а) Запишите систему в век- торной форме. б) Решите данную систему по формулам Крамера. Вариант 3 1. Определение несовместной системы линейных уравнений. 2. Пусть 22 23 A 23 24 – матрица системы линеных уравнений, столбец свободных членов 21 B 22 . Запишите систему в скалярной форме и решите её по форму- лам Крамера или матричным методом. Вариант 4 1. Определение неопределенной системы линейных уравнений. 2. Представьте столбец 20 B 21 в виде линеной комбинации столбцов 1 18 A 19 и 2 19 A 20 , и найдите её коэффициенты. Тест 32 1. Запишите в скалярной форме однородную систему линейных уравнений с матри- цей коэффициентов 1 0 1 A 3 2 4 2. Запишите в векторной форме систему линейных уравнений, если её расширенная матрица равна 0 2 1 5 (A | B) 7 3 1 1 3. Совместна ли система x 7y 9 6x 3y 5 ? Ответ обоснуйте. 4. Используя геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, докажите, что система x 2y 9 2x 4y 1 является несовместной. 5. Решите систему 7x 4y 3 9x 5y 2 матричным методом. 6. Решите систему 7x 4y 3 3x 3y 1 по формулам Крамера. 7. Найдите коэффициенты х и у из равенства 9 19 10 x y 10 21 11 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15 15 8. Докажите, что система линейных уравнений 2 A X B , где 1 2 A 9 8 , 10 B 10 является определенной. 9. Решите систему 8 x 8 x 10 x 3 6 x 4 x 6 x 2 4 x 3 x 2 x 3 2 1 3 2 1 3 2 1 10. Решите систему x iy 3 i ix 2y 1 i над полем комплексных чисел. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 1 Практическое занятие 33 Метод Гаусса Теорминимум: элементарные преобразования строк матрицы, эквивалентные мат- рицы, ступенчатый вид матрицы, метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк, равносильные системы, решение оп- ределенных систем с треугольной матрицей коэффициентов. п.1 Теория п.1.1 Элементарные преобразования. Определение. Следующие преобразования строк матрицы называют элементарными. 1) Любая перестановка строк матрицы. 2) Умножение любой строки на число, отличное от нуля. 3) Прибавление к элементам любой строки соответствующих элемен- тов любой другой строки. 4) Вычеркивание нулевой строки. Определение. Матрица В называется эквивалентной матрице А если она получена из матрицы А с помощью элементарных преобразований строк, и обозначается А В. Теорема. Определенное на множестве матриц бинарное отношение эквивалентности действительно является отношением эквивалент- ности, то есть оно рефлексивно, симметрично и транзитивно: 1) рефлексивность: для любой матрицы А, верно А А. 2) симметричность: если верно, что А В, то верно и В А. 3) транзитивность: если А В и В С, то А С. п.1.2 Ступенчатые матрицы. Следующие определения являются авторскими. Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если эле- менты матрицы стоящие на главной диагонали отличны от нуля, а стоящие ниже главной диагонали равны нулю. Определение. Булем говорить, что ненулевая строка вида k 1 n k 1 k штук (0,0,...,0,a ,...,a ), a 0 Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 2 содержит ступеньку длины k, 0 k n . Если k 0 , то есть 1 a 0 , то будем говорить, что строка не имеет ступеньки. Определение. Матрица называется ступенчатой, если: 1) первая (и может быть единственная) строка матрицы является не- нулевой; 2) каждая ее строка, начиная со второй, имеет бóльшую ступеньку, чем предыдущая, или является нулевой; 3) ниже нулевой строки нет ненулевых строк. Определение. Ступенчатая матрица с размерами m n , где n m 1 , называется трапециевидной, если она не содержит нулевых строк и каждая ее строка, содержит ступеньку точно на 1 больше предыду- щей. Замечание. Если А В и В – ступенчатая матрица, то говорят, что матрица А приведена к ступенчатому виду элементарными преобра- зованиями строк (столбцов). Заметим также, что треугольные и трапе- циевидные матрицы являются частными случаями ступенчатой мат- рицы. Теорема. Любая ненулевая матрица может быть приведена к ступен- чатому виду элементарными преобразованиями строк (или столбцов). Теорема. Пусть А – невырожденная квадратная матрица и A B . То- гда матрица В также является невырожденной. Следствие. Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов можно привести к единичной. п.1.3 Приведение матрицы к ступенчатому виду Метод приведения матрицы к ступенчатому виду носит название ме- тода Гаусса. Историки математики утверждают, что этод метод был известен в древнем Китае еще до рождества Христова, но в Европе он был неизвестен и впервые описан Гауссом в 1849 г. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 3 Описание метода Гаусса 1–й шаг. Выбираем (слева направо) первый ненулевой столбец и если первый (сверху) элемент в нем нулевой, то с помощью переста- новки строк добиваемся, чтобы первый элемент в этом столбце был ненулевой. 2–й шаг. С помощью ЭП (элементарных преобразований строк) добиваемся того, чтобы все элементы в выбранном столбце ниже са- мого первого элемента были равны нулю. Это достигается умножени- ем первой строки на подходящее число и прибавлением полученного результата ко 2–й строке, затем первая строка снова умножается на соответствующее число и прибавляется к третьей строке, и т.д. В дальнейшем первая строка более в работе не участвует! 3–й шаг. Выбираем следующий ненулевой столбец и переходим к 1-му шагу, т.е. перестановкой строк (кроме первой строки, которую больше не трогаем) добиваемся, чтобы во второй строке выбранного столбца был ненулевой элемент. 4–й шаг. Повторяет 2-й шаг. С помощью ЭП добиваемся того, что- бы все элементы в выбранном столбце ниже второго сверху элемента были равны нулю. Процесс продолжается, пока не будут исчерпаны все ненулевые столбцы. п.1.4 Треугольные системы линейных уравнений Системы линейных уравнений получают такое же название, как и их матрица коэффициентов: квадратные, диагональные, треугольные, трапециевидные, ступенчатые. Говорят также о приведении системы линейных уравнений к соответствующему виду, понимая под этим приведение к этому виду её матрицы. Определение. Две системы уравнений, имеющие одно и то же мно- жество решений, называют равносильными. Теорема. Две системы линейных уравнений являются равносильны- ми, если их расширенные матрицы эквивалентны. На последней теореме и основан метод Гаусса решения систем линейных уравнений, который позволяет нам вместо решения исходной системы решать равносильную ей систему со ступенчатой матрицей коэффициен- тов, что значительно облегчает процесс нахождения всех решений. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 4 Пусть дана треугольная система линейных уравнений: 11 1 12 2 1n n 1 22 2 2n n 2 nn n n a x a x ... a x b a x ... a x b a x b , где все элементы, стоящие на главной диагонали отличны от нуля. То- гда матрица коэффициентов является невырожденной, то есть 11 12 1n det A a a ... a 0 . Как мы уже знаем, квадратная система с не- вырожденной матрицей имеет единственное решение. Находим это решение: 1) находим неизвестное n n nn b x a и подставляем его во все оставшиеся уравнения; 2) решаем второе снизу уравнение, из которого находим неизвестное n 1 x и подставляем его во все оставшиеся уравнения; 3) решаем третье снизу уравнение и так далее, движемся снизу вверх последовательно находя все неизвестные. п.1.5 Алгоритм решения определенных систем 1) выписываем расширенную матрицу системы линейных уравнений; 2) с помощью элементарных преобразований строк приводим расши- ренную матрицу системы к трапециевидному виду, в которой мат- рица системы будет треугольной; 3) по полученной трапециевидной матрице записываем систему ли- нейных уравнений, равносильную исходной; 4) решаем последнюю систему, начиная с последнего уравнения, дви- гаясь снизу вверх; 5) записывам полученные значения неизвестных в виде столбца решений. Замечание. Может получиться так, что последнее уравнение в тре- угольной системе имеет вид n n 0 x b , где n b 0 . Это равенство не может быть верным ни при каком значении переменной n x . Это озна- чает, что данная система линейных уравнений решений не имеет, то есть является несовместной. Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 5 п.2 Список задач Список №1 1. Определить вид матрицы. 2. Привести матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса. 3. Методом Гаусса привести данную систему линейных уравнений к ступенчатому виду, и выяснить является ли данная система совме- стной и определенной или нет. 4. Решить определенную систему линейных уравнений методом Гаусса. п.3 Примеры. Пример 1. Определить в следующих строках длину ступеньки: а) (1,2,3) ; б) (0, 1,1) ; в) (0,0,0,2,0,0,0,0) . Ответ: а) 0; б) 1; в) 3. Пример 2. Какая из следующих матриц является ступенчатой: (1, 1) , (0, 1, 0) , 0 3 2 3 0 0 0 3 , 1 2 3 4 0 6 0 7 0 0 0 0 , 1 0 0 , 1 2 0 0 0 0 , 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 , 1 2 3 0 1 2 0 0 1 ? Ответ: все. Пример 3. Какая из следующих матриц является трапециевидной: а) (1,2,3) ; б) 0 0 2 3 4 3 0 1 ; в) 1 2 0 0 0 2 0 3 0 0 3 4 ? Ответ: в). Пример 4. С помощью элементарных преобразований строк привести Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14 6 к ступенчатому виду матрицу 1 2 3 4 1 1 2 1 3 4 2 8 A 3 1 1 2 1 3 4 3 4 2 2 2 Решение. 1) Умножаем первую строку на (–2) и прибавляем ко вто- рой строке, затем умножаем первую строку на (–3) и прибавляем к третьей строке, затем умножаем первую строку на (–4) и прибавляем к четвертой строке: 1 2 3 4 1 1 2 1 ( 2) ( 1) 2( 2) 3 6 4 8 2 2 8 2 3 1 ( 3) 1 2( 3) 1 9 2 12 1 3 3 3 4 1 ( 4) 3 2( 4) 4 12 2 16 2 4 2 4 1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 5 8 10 2 6 0 5 16 14 6 2 2) Умножаем вторую строку на (-1) и прибавляем ее ко второй и третьей строкам: 1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 0 1 2 2 4 0 0 7 2 2 8 3) Умножаем третью строку на 7 и прибавляем ее к четвертой: 1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 0 1 2 2 4 0 0 0 12 12 36 4) Сокращая последнюю строчку на 12, получаем ответ. |